2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知直線l1：ax+2y0與直線l2：2x+（2a+2）y+10垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A2BC1D1或2【答案】B【分析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，計(jì)算求得a的值【詳解】直線l1：ax+2y0與直線l2：2x+（2a+2）y+10垂直，a×2+2×（2a+2）0，求得a，故選：B2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，則（）A+B+C+D+【答案】B【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，

2、+，又，+，故選：B3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線xy+10的對(duì)稱點(diǎn)為（）A(1,2)B(2,1)C(1,3)D(3,1)【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線xy+10的對(duì)稱點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D4已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則|（）ABC5D5【答案】C【分析】先求出B（3，4，0），由此能求出|【詳解】解：點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，B（3，4，0），則|5故選：C5已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A外離B外切C相交D內(nèi)

3、切【答案】C【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C6已知m是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x21的離心率是（）A或BCD或【答案】A【分析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項(xiàng)，可得m±4，當(dāng)m=4時(shí),圓錐曲線為雙曲線x21, 它的離心率為：,當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線x21為橢圓，離心率：，故選：A7橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線（不經(jīng)過焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若ABF的面積是20，則直線AB的

4、斜率為（）ABCD【答案】A【分析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿足條件，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程ykx，聯(lián)立橢圓方程，可求ABF2的面積為S2代入可求k【詳解】由橢圓1，則焦點(diǎn)分別為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x0，此時(shí)AB4，AB5×510，不符合題意；可設(shè)直線AB的方程ykx，由，可得(4+9k2)x2180，xA6，yA，ABF2的面積為S22××5×20，k±故選：A81202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的算盤全書他在書中收

5、錄了一些有意思的問題，其中有一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對(duì)兔子每月生1對(duì)小兔子（一雌一雄），而每1對(duì)小兔子出生后的第3個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子的總對(duì)數(shù)，則有(n2)，設(shè)數(shù)列an滿足：an，則數(shù)列an的前36項(xiàng)和為（）A11B12C13D18【答案】B【分析】由奇數(shù)+奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)奇數(shù)可知，數(shù)列Fn中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，再根據(jù)an，即可求出數(shù)列an的前36項(xiàng)和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)奇數(shù)可知，數(shù)列Fn中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù)，數(shù)

6、列an的前36項(xiàng)和為12×1+24×012.故選：B二、多選題9關(guān)于無窮數(shù)列an，以下說法正確的是（）A若數(shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列B若數(shù)列an為等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列C若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且是等差數(shù)列，則an為等差數(shù)列D若數(shù)列an為等差數(shù)列，則依次取出該數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的定義可判斷A，利用特例可判斷B，利用與的關(guān)系可判斷C，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若數(shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，則q，則有，即也是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，設(shè)ann，數(shù)列an為等差數(shù)列，但不是等差數(shù)列

7、，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且是等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，不一定等于，an不一定為等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，依次取出該數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列為，有，則組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列，D正確；故選：AD10關(guān)于曲線：，下列說法正確的是（       ）A曲線圍成圖形的面積為B曲線所表示的圖形有且僅有條對(duì)稱軸C曲線所表示的圖形是中心對(duì)稱圖形D曲線是以為圓心，為半徑的圓【答案】AC【分析】根據(jù)曲線解析式特征畫出圖形，逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】曲

8、線：如圖所示：對(duì)于A：圖形在各個(gè)象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以為圓心，為半徑的圓的一半加一個(gè)直角三角形所得，所以曲線圍成圖形的面積為,故A正確；對(duì)于B，由圖可知，曲線所表示的圖形對(duì)稱軸有軸，軸，直線，直線四條，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，曲線所表示的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，故C正確；對(duì)于D，曲線的圖形不是一個(gè)圓，故D錯(cuò)誤.故選：AC11正四棱錐所有棱長(zhǎng)均為，為正方形的中心，分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，則（       ）AB直線與夾角的余弦值為C平面平面D直線與平面所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A和C運(yùn)

9、用立體幾何相關(guān)性質(zhì)和定理直接判斷；對(duì)于B和D運(yùn)用空間向量法結(jié)合相關(guān)公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以不?huì)平行于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以直線與夾角的余弦值為：，故B正確；對(duì)于C，由題意得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故C正確；對(duì)于D，由已知得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，由圖可知，則，所以直線與平面所成角的余弦值為，故D正確故選：BCD12已知點(diǎn)P在雙曲線上，分別是左、右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（    &

10、#160;  ）A點(diǎn)P到x軸的距離為BC為鈍角三角形D【答案】BC【解析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線方程得，則，由的面積為20，得，得，即點(diǎn)到軸的距離為4，故錯(cuò)誤，將代入雙曲線方程得，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則，由雙曲線的定義知，則，則，故正確，在中，則，為鈍角，則為鈍角三角形，故正確，則錯(cuò)誤，故正確的是，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更

11、要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.三、填空題13已知（3，a+b，ab）（a，bR）是直線l的方向向量，（1，2，3）是平面的法向量，若l，則5a+b_【答案】36【分析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進(jìn)而求出5a+b的值【詳解】l，解得，故答案為：3614已知拋物線C：y22px（p0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y00）到焦點(diǎn)的距離為2，則p_【答案】2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解【詳解】解：拋物線C：y22px（p0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y00）

12、到焦點(diǎn)的距離為2，由拋物線的定義可得，解得p2故答案為：215已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：y21（a0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過F1作F1PF2的角平分線的垂線，垂足為H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)若|F1F2|6|OH|，則雙曲線C的方程為 _【答案】8x2y21【分析】延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由三角形的中位線定理和雙曲線的定義、垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的a，b，c的關(guān)系，可得雙曲線方程【詳解】解：延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由題意可得PH為邊KF1的垂直平分線，則|PF1|PK|，且H為KF1的中點(diǎn)，|OH|KF2|，由雙曲線的定義可得|PF1|

13、PF2|PK|PF2|F2K|2a，則|OH|a，又|F1F2|6|OH|，所以2c6a，即c3a，b2a，又雙曲線C：y21，知b1，所以a，所以雙曲線的方程為8x2y21故答案為：8x2y21四、雙空題16傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3，他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）如前四個(gè)四棱錐數(shù)為第n個(gè)四棱錐數(shù)為1+4+9+n2中國(guó)古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法商功中，后人稱

14、為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，若一個(gè)“三角垛”共有20層，則第6層有 _個(gè)球，這個(gè)“三角垛”共有_個(gè)球【答案】     21     1540【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，由此可求的值，以及前20層的總球數(shù)【詳解】由題意可知，故，所21，所以S20a1+a2+a3+a4+a20（12+22+32+202）+（1+2+3+20）×+×1540故答案為：21；1540五、解答題17定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則

15、稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)已知是空間的單位正交基底， 是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為(1)求向量在基底下的坐標(biāo)；(2)求向量在基底下的模【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)為，得出向量在基底下的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)直接計(jì)算模即可(1)因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，則 ，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.(2)因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以向量在基底下的模為.18已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)(1)求直線yx被圓C所截得的弦長(zhǎng)；(2)圓M過點(diǎn)A，B，且圓心在直線yx+1上，求圓M的方程【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，

16、以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解（2）根據(jù)已知圓的方程，令y0，結(jié)合韋達(dá)定理，求出圓心的橫坐標(biāo)，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理，即可求出半徑(1)圓C：，即圓心為(1,1)，半徑r3，直線yx，即xy0，圓心(1,1)到直線xy0的距離d，直線yx被圓C所截得的弦長(zhǎng)為(2)設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，x22x70，則，|x1x2|，圓心的橫坐標(biāo)為x，圓心在直線yx+1上，圓心為(1,2)，半徑r，故圓M的方程為19已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn滿足：點(diǎn)（n，bn）在曲線y上，a1b4，_，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn從S420，S32a3，3a3a

17、5b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上并作答(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)k，使得Tk，且bk？若存在，求出滿足題意的k值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)條件選擇見解析；an2n，bn25n.(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）把點(diǎn)（n，bn）代入曲線y可得到bn25n，進(jìn)而求出a1，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，選S420，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出d，從而得到an；若選S32a3，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出d，從而得到an；若選3a3a5b2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式可求出d，從而得到an；（2）由（1）可知Snn（1+n），再利用裂項(xiàng)

18、相消法求出Tn1，不等式無解，即不存在正整數(shù)k，使得Tk，且bk(1)解：點(diǎn)（n，bn）在曲線y上，25n，a1b42542，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若選S420，則S420，解得d2，an2+2（n1）2n；若選S32a3，則S3a1+a2+a32a3，a1+a2a3，2+2+d2+2d，解得d2，an2+2（n1）2n；若選3a3a5b2，則3（a1+2d）（a1+4d）2528，2a1+2d8，即2×2+2d8，d2，an2+2（n1）2n；(2)解：由（1）可知Snn（1+n），Tn（1）+（）+（）1，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得Tk，且bk，即，此不等式無解，不存在正整數(shù)k，

19、使得Tk，且bk20在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于軸(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問：是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)為定值，該定值為2【分析】（1）先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過和半焦距為3易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分別表示出直線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可表示出，即可求得答案(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓：，焦距為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)

20、設(shè)，由橢圓的方程可知，因?yàn)?，則直線，由已知得，直線斜率均存在，則直線，令得，直線，令得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，則，又因?yàn)?，即，所以所以為定值，該定值?.21如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD平面ACEF(1)證明：ABCF；(2)求點(diǎn)C到平面BEF的距離；(3)求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的

21、距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.(1)在中，AB=1，BC=2，ABC=60°，由余弦定理得，即，有，則，即，因平面ABCD平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.(2)因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.(3)由(2)知，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為，則有，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算22已知拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在