巴特沃茲濾波器

1、巴特沃茲濾波器 (Butterworth) 特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f單調(diào) 其幅度平方函數(shù)具有如下形式：式中，N為整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)，N越大，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶也越陡。如下圖所示：圖 巴特沃茲filter 振幅平方函數(shù)過渡帶：通帶阻帶間過渡的頻率范圍，c：截止頻率。理想濾波器的過渡帶為O，阻帶|H(j)|=0，通帶內(nèi)幅度|H(j)|=常數(shù)，H(j)線性相位。通帶內(nèi)，分母/c1，隨N的增加，e/c1，所以A(2)快速下降。=c時，幅度衰減，相當(dāng)于3bd衰減點(diǎn)。振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)可寫成：Ha(-s).Ha(s)=可分解為2N個一次因式令分母為零，可見，Butterw

2、orth 濾波器的振幅平方函數(shù)有2N個極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|s|=c的圓周上。例：如圖為N=3階Butterworth 濾波器振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布。圖 三階A(-s)的極點(diǎn)分布 2考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性， Butterworth 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是由s平面左半部分的極點(diǎn)（SP3，SP4，SP5）組成的，它們分別為：所以系統(tǒng)函數(shù)為：式中是為使S=0時Ha(s)=1而引入的。如用歸一化s，即s=s/c，得歸一化的三階BF：如果要還原的話，則有關(guān)于數(shù)字濾波器濾波器有很多種，討論下對信號頻率具有選擇性的濾波器。這又分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。模擬濾波器是在傳統(tǒng)模擬電路中發(fā)展起來的，其實(shí)就是RC電路

3、網(wǎng)絡(luò)。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器則越來越受到青睞。數(shù)字濾波器分為遞歸型和非遞歸型，所謂遞歸即濾波器內(nèi)部存在反饋回路，這種濾波器對單位沖擊響應(yīng)可以延續(xù)到無限長的時間，所以也叫 IIR (infinite impulse response filter) ；相應(yīng)的，非遞歸型即內(nèi)部不存在反饋，也叫 FIR(finite impulse response filter)，其傳遞函數(shù)不存在除零點(diǎn)意外的極點(diǎn)。數(shù)字濾波器的一般形式為：a(0)*y(n) = b(0)*x(n) + b(1)*x(n-1) + . + b(nb)*x(n-nb)- a(1)*y(n-1) - . - a(na)*y(n-n

4、a)相應(yīng)于上面的討論，則a都為零則為IIR，a 有非零的則為FIR。顯然，a(0)=1 方便討論和設(shè)計濾波器，所以在matlab中濾波器設(shè)計都是 a(0)=1。容易看出，無內(nèi)部反饋的FIR總是穩(wěn)定的，具有IIR所沒有的特點(diǎn)，但也可以證實(shí)，客觀模擬電路中，F(xiàn)IR是無法實(shí)現(xiàn)的，只有通過數(shù)字處理技術(shù)設(shè)計，而且，要獲得性能符合要求的FIR，濾波器的階數(shù)必須設(shè)計得非常高，比如，一個常用的矩形窗，一般性能下就要求有100階左右來擬合，計算代價太大。一般情況下，n階IIR與2n階FIR性能相同。實(shí)際情況下，20階的Butterworth IIR 濾波器可以實(shí)現(xiàn)近似理想相位線性。頻率濾波器大概分為帶通、帶阻、

5、高通、低通。特性不同的模擬濾波器中經(jīng)典濾波器有Butterworth 和 Chebyshev 。其中，Butterworth 濾波器特點(diǎn)是通帶處幅值特性平坦，而 Chebyshev 濾波器則比前者的截至特性要好，但通帶處的幅值有振蕩。前面提到，對于數(shù)字濾波器而言，可以采用不同階數(shù)逼近相應(yīng)濾波器，濾波器性能還與濾波器的階數(shù)有關(guān)，一般而言，階數(shù)越高，則逼近越精確，但計算代價也隨之上升，所以性能與代價總需要尋求一個平衡點(diǎn)。對性能要求一定的情況下，如果對頻率截至特性沒有特殊要求，考慮采用Butterworth IIR濾波器。因?yàn)?Chebeshev 濾波器的波紋可能大多數(shù)情況下不能忍受。接著我們看看怎

6、么借助 Matlab 設(shè)計符合我們需求的Butterworth 數(shù)字濾波器。當(dāng)然，我們盡可能了解 Butterworth Filter 的原理以及可能的話，再了解數(shù)字濾波器設(shè)計的方法理論，但是，我們不必自己動腦筋根據(jù)需求去設(shè)計每個系數(shù)，Matlab 內(nèi)建有設(shè)計Filter 的函數(shù)。這里僅僅討論 Butter，其語法格式為：B,A = butter(N,Wn,S)其中，N 為要求設(shè)計的濾波器階數(shù)，該參數(shù)的設(shè)定參照前面的討論，如果沒有實(shí)時性要求的話，可以定為 20 ，實(shí)話，慢相當(dāng)?shù)穆?；S 為字符串，表明設(shè)計的濾波器類型，low低通/high高通/stop帶阻Wn 為要求的標(biāo)準(zhǔn)化截至頻率，單位為ra

7、d/sample，如果是帶阻濾波器，則Wn為長度為2的向量w1 w2。關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)化的頻率計算為：設(shè)要求的頻率為f(Hz)，采樣率為Fs(Hz)，則Wn = (2*pi*f/Fs)/pi = 2*f/Fs，所以，標(biāo)準(zhǔn)化截至頻率在區(qū)間0,1內(nèi)。濾波器設(shè)計出來了啦，其實(shí)就是兩組系數(shù)b(i)、a(j)，其中，i、j為從0到N的自然數(shù)（各位不要挑剔，我印象中新的教材里已經(jīng)把0歸到自然數(shù)里了）。對應(yīng)上面濾波器一般形式里的參數(shù)，前面已經(jīng)提到，一般a(0)=1。濾波器既然設(shè)計出來了，理應(yīng)對其性能進(jìn)行分析，以檢驗(yàn)其是否能達(dá)到預(yù)期的效果?？梢允褂肕atlab 提供的內(nèi)建函數(shù)freqz，可以求得濾波器系統(tǒng)的頻率相應(yīng)特

8、性。其使用語法格式為：H,F = freqz(B,A,N,Fs)其中B/A 提供濾波器系數(shù)N 表示選取單位圓的上半圓等間距的N個點(diǎn)作為頻響輸出；Fs 為采樣頻率，該參數(shù)可以省略H 為N個點(diǎn)處的頻率響應(yīng)復(fù)值輸出向量，其模即為頻響幅值曲線幅值20log10(abs(H)DB，其幅角angle(H)即為頻響相位曲線相位值。F 為與第N點(diǎn)處對應(yīng)的頻率值f（Hz），如果Fs 參數(shù)省略時，則頻率值w為rad/sample，w = 2*pi*f/Fs有了這組系數(shù)，就可以按照前面的濾波器一般形式的表達(dá)式對數(shù)據(jù)進(jìn)行依次求值了，也就是濾波計算了。不過，別忙，其實(shí)Matlab里已經(jīng)內(nèi)建了濾波器函數(shù)filter，其語

9、法格式為： Y = filter(B,A,X)其中B/A 提供濾波器系數(shù)，X為濾波前序列，Y為濾波結(jié)果序列。 設(shè)計合適的濾波器對待分析處理的信號進(jìn)行濾波預(yù)處理，可以有效的去除信號中的噪音以及非目標(biāo)頻段信號，從而使得信號背景干凈，突出信號本身，提高目標(biāo)處理的算法有效性，降低算法難度。例如，對語音信號，可以去除大多數(shù)的輔音以及高頻共振峰。dBm, dBi, dBd, dB, dBc都是什么意思，區(qū)別是什么 很多專業(yè)書籍的范例中都會出現(xiàn)計算，而往往很多計算結(jié)果的意義讓我們困惑我就遇到過這種問題，不知道家是否被dBm, dBi, dBd, dB, dBc這些術(shù)語的意義所困惑 今天在這想簡單的就我自己的

10、理解介紹一下1、dBmdBm是一個表征功率絕對值的量，計算公式為：10lgP（功率值/1mw）。例1 如果發(fā)射功率P為1mw，折算為dBm后為0dBm。例2 對于40W的功率，按dBm單位進(jìn)行折算后的值應(yīng)為：10lg（40W/1mw)=10lg（40000）=10lg4+10lg10+10lg1 000=46dBm。2、dBi 和dBddBi和dBd是表征增益的量（功率增益），兩者都是一個相對值， 但參考基準(zhǔn)不一樣。 dBi的參考基準(zhǔn)為全方向性天線，dBd的參考基準(zhǔn)為偶極子，所以兩者略有不同。 一般認(rèn)為，表示同一個增益，用dBi表示出來比用dBd表示出來要大2. 15。例3 對于一面增益為16

11、dBd的天線，其增益折算成單位為dBi時，則為18.15dBi（一般忽略小數(shù)位，為18dBi）。例4 0dBd=2.15dBi。例5 GSM900天線增益可以為13dBd（15dBi），GSM1800天線增益可以為15dBd（17dBi)。3、dBdB是一個表征相對值的量，當(dāng)考慮甲的功率相比于乙功率大或小多少個dB時，按下面計算公式：10lg（甲功率/乙功率）例6 甲功率比乙功率大一倍，那么10lg（甲功率/乙功率）=10lg2=3dB。也就是說，甲的功率比乙的功率大3 dB，則功率大一倍。例7 7/8 英寸GSM900饋線的100米傳輸損耗約為3.9dB。例8 如果甲的功率為46dBm，乙的功率為40dBm，則可以說，甲比乙大6 dB。例9 如果甲天線為12dBd，乙天線為14dB