(2)群表示理論基礎(chǔ)

1、 第三節(jié) 群表示的基及群的表示一、基本概念基（Base）：群元素作用的對象稱為與它相應(yīng)的群表示的基?；梢杂懈鞣N類型，如矢量（x，y，z），波函數(shù)（px，py，pz）群的表示（Representation）：選定群表示的基以后，則分子點(diǎn)群中的每一個元素都與一個矩陣相對應(yīng)，這些矩陣構(gòu)成的矩陣群可以看作是點(diǎn)群的一個表示。 * 群的表示不是唯一的，一個群原則上有無限多種表示。二、群的表示（可約與不可約表示）1、可約表示（Reducible Representation）1）定理：設(shè)一組矩陣（E，A，B，C）構(gòu)成一個群的表示。若對每個矩陣進(jìn)行同樣的相似變換： E´=X-1EX A´

2、=X-1AX B´=X-1BX .則（E´，A´，B´）也是群的一個表示。證明（封閉性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX = X-1(AB)X = X-1CX = C´ 2）可約表示：若能找到矩陣X可把(A、B、C)變換成(A´、B´、C´), 而(A´、B´、C´)分別為劃分為方塊因子的矩陣。 若每個矩陣A´，B´，C´, 均按同樣的方式劃分成方塊，則可證明，每個矩陣的對應(yīng)方塊可

3、以單獨(dú)地相乘：A1´B1´=C1´A2´B2´=C2´A3´B3´=C3´. . . 因此各組矩陣E1´，A1´，B1´，C1´, E2´，A2´，B2´，C2´, .本身都是一個群的表示。因為用矩陣X可以把每個矩陣變換為一個新矩陣，所有新的矩陣按照同樣的方式給出兩個或多個低維表示。因此我們稱（E，A，B，C, ）為可約表示。2、不可約表示（Irreducible Representation）若找不到矩陣X，按照上述方式約化

4、給定表示的所有矩陣，這種表示稱為不可約表示。不可約表示具有特殊的重要性。三、廣義正交定理（great orthogonality theorem） 1、向量的正交 1）向量及其標(biāo)積。向量的定義：向量標(biāo)積： A·B = A·Bcos 2）向量正交 若A·B = 0，則稱A與B正交。* p維空間中的一個向量可借助于它在該空間中的p個正交軸上的投影來定義。以三維空間為例： 據(jù)此可提出向量標(biāo)積的一個等價但更為有用的表示方法，在p維正交空間中： A·B =(A1+A2+Ap)·(B1+B2+Bp) = A1B1+A2B2+ +ApBp 因此在p維空間中兩

5、個向量的正交可表示為： 推論：一個向量的長度平方可寫成A2 = A·Acos0 = A·A 2、廣義正交定理（great orthogonality theorem有關(guān)構(gòu)成群的不可約表示矩陣元的基本定理）1）廣義正交定理：h 群的階；li 該群第i個不可約表示的維數(shù)，也是該表示中矩陣的階；R 群中的某個操作；i(R)mn 在第i個不可約表示中，與操作R對應(yīng)的矩陣中第m行和第n列的元素。最后，每逢包括虛數(shù)和復(fù)數(shù)時，等式左端的一個因子取復(fù)共軛。向量1的分量：a11, b11, c11, 向量2的分量：a22, b22, c22, 向量3的分量：x11, y11, z11, 向量

6、4的分量：x21, y21, z21, 在一組不可約表示矩陣中，若將任意一組來自每個矩陣的對應(yīng)矩陣元，看作是h維空間中的某一向量的分量，則所有這些向量都相互正交，且這些向量長度的平方為(h/li)。 2）廣義正交定理的特殊形式廣義正交定理可以簡化為三個較簡單的情況:A、若ij，則 表明，選自不同不可約表示的向量是正交的。B、若i=j，且mm´，或nn´，或同時mm´，nn´表明，選自同一不可約表示的不同向量也是正交的。C、若i=j，m=m´，n=n´，則表明，任意一個這種向量的長度平方等于h/li。四、可約表示的約化及表示的直積1、不

7、等價不可約表示1）等價表示（equivalent representation）：在點(diǎn)群的表示中，如果有兩個表示，它們關(guān)于任何同一對稱操作的兩個表示矩陣A和B是共軛的，即存在一個方陣X，使X-1AX = B成立，則這兩個表示是等價的。 * 一個表示中各矩陣的跡稱為該表示的特征標(biāo) （character）。 兩個等價表示關(guān)于任何同一對稱操作的兩個表示矩陣A和B的特征標(biāo)相同。 2）不等價不可約表示：如果兩個不可約表示，它們每個對稱操作的兩個特征標(biāo)不完全相等時，則這兩個不可約表示是不等價不可約表示。 2、群表示的幾條重要性質(zhì)1）群的不等價不可約表示的數(shù)目，等于群中類的數(shù)目。2）群的不等價不可約表示維數(shù)

8、的平方和等于群的階。 3）每個群均有一個特征標(biāo)均為1的一維不可約表示，叫“完全對稱表示”。 4) 任一不可約表示的特征標(biāo)的平方和等于群的階。 5）以兩個不等價不可約表示的特征標(biāo)作為分量的向量是正交的。 6）在一個給定表示中，所有屬于同一類操作矩陣的特征標(biāo)相等。3、不可約表示特征標(biāo)的求法。 例：C3V群 E，C3，C32，v, v´, v´´, 分為三類E，2C3，3v由性質(zhì)1）：有三個不等價不可約表示。由性質(zhì)2）：l12+l22+l32=6由性質(zhì)3）：不妨令l1=1，唯一解l1= l2 =1，l3=2再由性質(zhì)6）：由性質(zhì)4）：12 +2X222+3X232=6由性

9、質(zhì)5）：1×1+2×1×X22+3×1×X23 =0由上兩式得：X22=1，X23=-1 由性質(zhì)5）：1×2+2×1×X32+3×1×X33=01×2+2×1×X32+3×(-1)×X33=0 由上兩式得：X32=-1，X33=0最后結(jié)果：4特征標(biāo)表 （character tables）特征標(biāo)表：將點(diǎn)群的各不等價不可約表示的特征標(biāo)連同不可約表示的基歸在同一表中，則稱此表為點(diǎn)群的特征標(biāo)表。例： A、B：一維表示 E：二維表示 T：三維表示 G、U：

10、四維表示 H、W：五維表示 維數(shù)大于1的不可約表示稱為簡并不可約表示。5、可約表示的約化對于任何相似變換，矩陣的特征標(biāo)是不變的，因此一個可約表示的特征標(biāo)必等于由它約化得到的各不可約表示特征標(biāo)之和，即 用i(R)去乘兩邊，然后對操作求和。 例： 求 a = ?a = 1 + 22 + 3 （直和 direct sum）求 b = ?b=32 + 235、表示的直積（直積 direct product）1）直積A、函數(shù)的直積若F1，F(xiàn)2， Fm及G1，G2， Gn是兩個函數(shù)集合，則函數(shù)集合FiGk（m×n個）稱為前兩個函數(shù)集合的直積。例：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3 和 G1，G2 的直積為F1G1，F(xiàn)1G2，F(xiàn)2G1，F(xiàn)2G2，F(xiàn)3G1，F(xiàn)3G2B、表示的直積以函數(shù)集合FiGk為基的表示FG稱為以函數(shù)集合F1，F(xiàn)2， Fm為基的表示F與以函數(shù)集合G1，G2， Gn為基的表示G的直積。記為：FG = F × G例：F1，F(xiàn)2 和 G1，G2 的直積為F1G1，F(xiàn)1G2，F(xiàn)2G1, F2G22）定理：操作R對應(yīng)的矩陣中，以直積為基表示的特征標(biāo)等于以單