現(xiàn)代控制理論第四章

1、第四章第四章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀性線性系統(tǒng)的能控性與能觀性 4.1 4.1 定常離散系統(tǒng)的能控性定常離散系統(tǒng)的能控性4.2 4.2 定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.3 4.3 定常系統(tǒng)的能觀性定常系統(tǒng)的能觀性4.4 4.4 線性時變系統(tǒng)的能控性及能觀性線性時變系統(tǒng)的能控性及能觀性4.5 4.5 能控性及能觀性的對偶關系能控性及能觀性的對偶關系4.6 4.6 線性定常系統(tǒng)的結構分解線性定常系統(tǒng)的結構分解4.7 4.7 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關系4.8 4.8 能控標準形和能觀標準形能控標準形和能觀標準形4.9 4.9 系統(tǒng)的實現(xiàn)系統(tǒng)的實現(xiàn)

2、兩個基礎性概念：兩個基礎性概念：能控性與能觀性能控性與能觀性兩個基本問題：兩個基本問題： 在有限時間內，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉在有限時間內，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉移到要求的狀態(tài)？移到要求的狀態(tài)？指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱之為狀態(tài)的稱之為狀態(tài)的能控性問題。能控性問題。 在有限時間內，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計在有限時間內，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計系統(tǒng)的初始狀態(tài)？系統(tǒng)的初始狀態(tài)？系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量，稱之為狀態(tài)的狀態(tài)變量，稱之為狀態(tài)的能觀性問題。能觀性問題。 橋形電路橋形電路(a)

3、(a)兩個電容相等。選各自的電壓為狀兩個電容相等。選各自的電壓為狀態(tài)變量，且設電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論態(tài)變量，且設電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖(b)(b)中相軌跡為中相軌跡為一條直線，因此系統(tǒng)狀態(tài)只能在相平面的一條直線上一條直線，因此系統(tǒng)狀態(tài)只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線變量離開這條直線, ,顯然，它是顯然，它是不完全能控的不完全能控的。例例4.0.14.0.1 例例4.0.24.0.2 選擇電感中的電流以及電容上

4、的電壓作為選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態(tài)變量。當電橋平衡時，電感中的電流作為狀態(tài)變量。當電橋平衡時，電感中的電流作為電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量來確定的，電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量來確定的，所以該電路是所以該電路是不能觀測的不能觀測的。4.1 4.1 定常離散系統(tǒng)的能控性定常離散系統(tǒng)的能控性4.1.14.1.1 定常離散系統(tǒng)的能控性定義定常離散系統(tǒng)的能控性定義線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程)()() 1(kBukAxkx(4.1.1)定義定義4.1.1 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng)(4.1.1)，如果存在控制向量序列，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),u(N

5、-1)，使系統(tǒng)從第，使系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)向量開步的狀態(tài)向量開始，在第始，在第N步到達零狀態(tài)，其中步到達零狀態(tài)，其中N是大于是大于k的有限數(shù)的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的。如果對每一步上是能控的。如果對每一個個k，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。完全能控的，簡稱能控。4.1.2 4.1.2 單輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件單輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)( )( )x kAx kbu k(4.1.2)定理定理4.1.1 單輸入線

6、性定常離散系統(tǒng)完全能控的充單輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，矩陣分必要條件是，矩陣b, Ab, An-1b的秩為的秩為n。該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以U Uc c表示，于是表示，于是此能控性判據(jù)可以寫成此能控性判據(jù)可以寫成rankUc=rank b , Ab,An-1b=n. (4.1.5)(101)(011220001) 1(kukxkx例例4.1.14.1.1 2111rankArank 0223113bAbb 滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。4.1.3 4.1.3 多輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件

7、多輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)( )( )x kAx kBu k(4.1.9)定理定理4.1.2 多輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的多輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，矩陣充分必要條件是，矩陣B,AB,An-1B的秩為的秩為n。該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以Uc表示表示，于是，于是此能控性判據(jù)可以寫成此能控性判據(jù)可以寫成rankUc=rankB,AB,An-1B=n. (4.1.10), 多輸入與單輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)形式上完全相多輸入與單輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)形式上完全相同。同。但多輸

8、入系統(tǒng)有以下特點：但多輸入系統(tǒng)有以下特點：(1)多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個nnp矩陣。根矩陣。根據(jù)判據(jù)，只要求它的秩等于據(jù)判據(jù)，只要求它的秩等于n，所以在計算時不一，所以在計算時不一定需要將能控性矩陣算完，算到哪一步發(fā)現(xiàn)充要定需要將能控性矩陣算完，算到哪一步發(fā)現(xiàn)充要條件已滿足就可以停下來，不必再計算下去。條件已滿足就可以停下來，不必再計算下去。(2)為了把系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)，存為了把系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉移到零狀態(tài)，存在著許許多多的方式，因此我們可以在其中選擇在著許許多多的方式，因此我們可以在其中選擇最優(yōu)的控制方式。例如選擇控制向量的范數(shù)最小。最優(yōu)的控制

9、方式。例如選擇控制向量的范數(shù)最小。)()(100001)()()(110201121) 1() 1() 1(21321321kukukxkxkxkxkxkx例例4.1.24.1.2 1011rankrank 011230000BAB只要計算出矩陣只要計算出矩陣 B B, ,ABAB 的秩，即可的秩，即可 4.2 4.2 定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.2.1 4.2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義線性定常線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程x Ax Bu(4.2.1)定義定義4.2.1 4.2.1 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng)(4.2.1)(4.2.1)，

10、若存在一分段連，若存在一分段連續(xù)控制向量續(xù)控制向量u u( (t t) )，能在有限時間區(qū)間，能在有限時間區(qū)間 t t0 0, ,t t1 1 內內將系統(tǒng)從初始狀態(tài)將系統(tǒng)從初始狀態(tài)x x( (t t0 0) )轉移到任意終端狀態(tài)轉移到任意終端狀態(tài)x x( (t t1 1) )，那么就稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)任意，那么就稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)任意t t0 0時刻的所有狀態(tài)時刻的所有狀態(tài)x x( (t t0 0) )都是能控的，就稱此系都是能控的，就稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。定理定理4.2.1 4.2.1 系統(tǒng)系統(tǒng)(4.2.1)(4.2.1)狀態(tài)完全能控的

11、充分必狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性矩陣要條件是能控性矩陣1CnUBABAB的秩為的秩為n n，即，即1ranknBABABn 4.2.2 4.2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù) 能控性判據(jù)的第一種形式能控性判據(jù)的第一種形式1CrankranknUbAbAbn此時，能控性矩陣為此時，能控性矩陣為nn維，即要求陣是非維，即要求陣是非奇異的。奇異的。注注 如果系統(tǒng)是單輸入系統(tǒng)，即控制變量維數(shù)如果系統(tǒng)是單輸入系統(tǒng)，即控制變量維數(shù), ,則則 系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控性的判據(jù)為系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控性的判據(jù)為 11122233121100100110300 xxuxxuxx100

12、100B121101201001011030010AB易知易知例例4.2.1 4.2.1 考察如下系統(tǒng)的能控性考察如下系統(tǒng)的能控性2121122401001011031042A BC101224010101001042U其秩為其秩為3，該系統(tǒng)能控，該系統(tǒng)能控 從而從而11122233132210201101311xxuxxuxx2C213254112244112244UBABA B其秩為其秩為2 2，所以系統(tǒng)不能控，所以系統(tǒng)不能控 例例4.2.2 4.2.2 判斷線性定常系統(tǒng)判斷線性定常系統(tǒng)注注 對照一下定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能控對照一下定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能控性判別條件，發(fā)現(xiàn)兩者是

13、一致的，這有其內在聯(lián)性判別條件，發(fā)現(xiàn)兩者是一致的，這有其內在聯(lián)系。如果離散系統(tǒng)的系矩陣和控制矩陣與連續(xù)系系。如果離散系統(tǒng)的系矩陣和控制矩陣與連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣相同，則它們的能控性統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣相同，則它們的能控性相同。相同。 對于一個線性系統(tǒng)來說，經過線性非奇異對于一個線性系統(tǒng)來說，經過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變。狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變。 定理定理4.2.2 如果線性定常系統(tǒng)如果線性定常系統(tǒng)xAxBu 的系統(tǒng)矩陣的系統(tǒng)矩陣A具有互不相同的特征值，則系統(tǒng)具有互不相同的特征值，則系統(tǒng)能控的充要條件是，系統(tǒng)經線性非奇異變換后能控的充要條件是，系統(tǒng)經線性非奇異變換后

14、 A陣變換成對角標準形，它的狀態(tài)方程陣變換成對角標準形，它的狀態(tài)方程100nxxBu其中，其中， B不包含元素全為不包含元素全為0 0的行。的行。 能控性判據(jù)的第二種形式能控性判據(jù)的第二種形式112233300201010020 xxxxuxx 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 x x3 3 不受控制不受控制 例例4.2.3 4.2.3 此系統(tǒng)是不能控的此系統(tǒng)是不能控的11122233700010504000175xxuxxuxx此方法的優(yōu)點在于很容易判斷出能控性，并且將不能此方法的優(yōu)點在于很容易判斷出能控性，并且將不能控的部分確定下來，但它的缺點是要進行等價變換?？氐牟糠执_定下來，但它的缺點是要進行等價變換

15、。 例例4.2.4 4.2.4 下列系統(tǒng)是能控的下列系統(tǒng)是能控的定理定理4.2.3 4.2.3 若線性定常系統(tǒng)若線性定常系統(tǒng)xAxBu的系統(tǒng)矩陣具有重特征值，且對應于每一個重特征值的系統(tǒng)矩陣具有重特征值，且對應于每一個重特征值只有一個約當塊，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是只有一個約當塊，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是，經線性非奇異變換后，系統(tǒng)化為約當標準形，經線性非奇異變換后，系統(tǒng)化為約當標準形12000000kJJxxBuJ其中，其中， B 矩陣中與每個約當塊最后一行相對應矩陣中與每個約當塊最后一行相對應的那些行，其各行的元素不全為零。的那些行，其各行的元素不全為零。4.2.3 4.2.3

16、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為CxyBuAxx定義定義4.2.2 如果在一個有限的區(qū)間如果在一個有限的區(qū)間 t t0 0, ,t t1 1 內，內，存在適當?shù)目刂葡蛄看嬖谶m當?shù)目刂葡蛄縰 u( (t t),),使系統(tǒng)能從任意的初使系統(tǒng)能從任意的初始輸出始輸出y y( (t t0 0) )轉移到任意指定最終輸出轉移到任意指定最終輸出y y( (t t1 1) )，則，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的。稱系統(tǒng)是輸出完全能控的。系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是矩陣系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是矩陣21nCBCABCA BCAb的秩為

17、的秩為q q例例4.2.9 4.2.9 判斷系統(tǒng)判斷系統(tǒng)是否具有狀態(tài)能控性和輸出能控性。是否具有狀態(tài)能控性和輸出能控性。 11221241123210 xxuxxxyx 秩為秩為1 1，等于輸出變，等于輸出變量的個數(shù)，因此系統(tǒng)量的個數(shù)，因此系統(tǒng)是輸出能控的。是輸出能控的。4221ABB 120CBCAB 秩為秩為1 1，所以系統(tǒng)，所以系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。是狀態(tài)不能控的。 4.2.4 4.2.4 利用利用MatlabMatlab判定系統(tǒng)能控性判定系統(tǒng)能控性可以利用可以利用MatlabMatlab來進行系統(tǒng)能控性的判來進行系統(tǒng)能控性的判斷。斷。MatlabMatlab提供了各種矩陣運算和矩陣各種提

18、供了各種矩陣運算和矩陣各種指標（如矩陣的秩等）的求解，而能控性的指標（如矩陣的秩等）的求解，而能控性的判斷實際上就是一些矩陣的運算。判斷實際上就是一些矩陣的運算。MatlabMatlab中中的求矩陣的秩是通過一個函數(shù)得到的，這個的求矩陣的秩是通過一個函數(shù)得到的，這個函數(shù)是函數(shù)是rank(M)rank(M)。 01000001010001000502xxu1000yx A=0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,1;0,0,5,0; B=0; 1; 0; -2; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 401000300

19、210001002000 xxu 1000yx A=0,1,0,0; 3,0,0,2; 0,0,0,1;0,-2,0,0; B=0; 1; 0; 0; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 34.3.1 4.3.1 定常離散系統(tǒng)的能觀性定常離散系統(tǒng)的能觀性)()()()() 1(kCxkykBukAxkx定義定義4.3.14.3.1 對于上述系統(tǒng)，在已知輸入對于上述系統(tǒng)，在已知輸入u u( (t t) )的的情況下，若能依據(jù)第情況下，若能依據(jù)第i i步及以后步及以后n n-1-1步的輸出觀步的輸出觀測值測值y y( (i i)

20、,),y y( (i i+1),+1), ,y y( (i i+ +n n-1)-1)，唯一地確定出，唯一地確定出第第i i步上的狀態(tài)步上的狀態(tài)x x( (i i) )，則稱系統(tǒng)在第，則稱系統(tǒng)在第i i步是能觀步是能觀測的。如果系統(tǒng)在任何測的。如果系統(tǒng)在任何i i步上都是能觀測的，則步上都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。 考慮離散系統(tǒng)考慮離散系統(tǒng) 4.3 4.3 線性時變系統(tǒng)的能控性及能觀性線性時變系統(tǒng)的能控性及能觀性定理定理4.3.1 4.3.1 對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是矩陣能

21、觀測的充分必要條件是矩陣 1nCACAC的秩為的秩為n n。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為O O。O1rankranknCCAUnCA例例4.3.3 4.3.3 判斷下列系統(tǒng)的能觀測性判斷下列系統(tǒng)的能觀測性1012(1)021( )1( )3.021010( )x kx ku kyx k 010C 2021 , 340CACA于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣為于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣為O1010021340nCUCACA秩為秩為3 3，所以系統(tǒng)能觀。，所以系統(tǒng)能觀。 例例4.3.4 4.3.4 系統(tǒng)狀態(tài)方程仍如上例，而觀測方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程仍如上例，而觀測方程為001( )( )1

22、00y kx kO2001100302101901203CUCACA秩小于秩小于3 3，所以系統(tǒng)不能觀。，所以系統(tǒng)不能觀。 4.3.2 4.3.2 定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性xAxBuyCx定義定義4.3.2 對于線性定常系統(tǒng)，在任意給定的輸入對于線性定常系統(tǒng)，在任意給定的輸入u(t)下，能夠根據(jù)輸出量下，能夠根據(jù)輸出量y(t)在有限時間區(qū)間在有限時間區(qū)間t0,t1內的測內的測量值，唯一地確定系統(tǒng)在量值，唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)時刻的初始狀態(tài)x(t0 )，就，就稱系統(tǒng)在稱系統(tǒng)在t0時刻是能觀測的。時刻是能觀測的。 若在任意初始時刻系統(tǒng)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀若在任意初始時

23、刻系統(tǒng)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。 定理定理4.3.2 4.3.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣測的充分必要條件是能觀性矩陣O1nCCAUCA的秩為的秩為n n。能觀性判據(jù)的第一種形式能觀性判據(jù)的第一種形式例例4.3.5 4.3.5 判斷下列系統(tǒng)的能觀性。判斷下列系統(tǒng)的能觀性。1122211131xxuxx11221010yxyx12120101CAC秩等于秩等于2 2，所以系統(tǒng)是能觀測的。，所以系統(tǒng)是能觀測的。 能觀性判據(jù)的第二種形式能觀性判據(jù)的第二種形式定理定理4.3.3 4.3.

24、3 若線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣有互不相同的若線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣有互不相同的特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)能觀測的充要條件是經線性等價變特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)能觀測的充要條件是經線性等價變換把矩陣化成對角標準形后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式換把矩陣化成對角標準形后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 12000000nxxyCx其中，矩陣其中，矩陣C不包含元素全為零的列。不包含元素全為零的列。定理定理4.3.4 4.3.4 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣有不同的重設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣有不同的重特征值，且對應于每一重特征值只有一個約當塊。則特征值，且對應于每一重特征值只有一個約當塊。則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是，經線性等價變換系

25、統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是，經線性等價變換將矩陣化成約當標準形后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式將矩陣化成約當標準形后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 12000000kJJxxJyCx中，與每個約當塊第一列相對應的中，與每個約當塊第一列相對應的C 矩陣的所有矩陣的所有 各列，其元素不全為零。各列，其元素不全為零。 4.3.3 4.3.3 利用利用MatlabMatlab判定系統(tǒng)能觀性判定系統(tǒng)能觀性01000300210001002000 xxu 1000yx A=0,1,0,0; 3,0,0,2; 0,0,0,1;0,-2,0,0; B=0; 1; 0; 0; C=1,0,0,0; D=0; Uo=C, C*

26、A, C*A2, C*A3; rank(Uo)ans = 34.4 4.4 線性時變系統(tǒng)的能控性及能觀性線性時變系統(tǒng)的能控性及能觀性)()()()()(tutBtxtAtx10TTC0100( , )( , ) ( )( )( , )dttW t ttBBt4.4.1 4.4.1 線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 定理定理4.4.1 4.4.1 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)在定義時間區(qū)間在定義時間區(qū)間 t t0 0, ,t t1 1 內，狀態(tài)完全能控的充內，狀態(tài)完全能控的充要條件是要條件是GramGram矩陣矩陣非奇異非奇異。式中。式中 為時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣。為時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩

27、陣。 0( ,)t t推論：假設矩陣推論：假設矩陣A A和和B B是是n n-1-1次連續(xù)可微的，在次連續(xù)可微的，在時間區(qū)間時間區(qū)間 t t0 0, ,t t1 1 上，若有上，若有011rank( )( )( )nM tM tMtn則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，其中分塊矩陣則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，其中分塊矩陣0( )( )MtB t1d( )( )( )( )dkkkMtA t MtMtt , 1,2,1kn例例4.4.14.4.1 1122233100001001xtxxtxuxtx 00( )( )11MtB t 10021d( )( )( )( )dM tA t MtMtttt 222114

28、4202d( )( )( )( )11d22ttMtA t M tM tttttttt 012( )( )( )MtM tMt秩為秩為3，所以系統(tǒng)是完全能控，所以系統(tǒng)是完全能控4.4.2 4.4.2 線性時變系統(tǒng)能觀性的判據(jù)線性時變系統(tǒng)能觀性的判據(jù)定理定理4.4.2 4.4.2 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)( )( ) ( )x tA t x t( )( ) ( )y tC t x t定義在時間區(qū)間定義在時間區(qū)間t0,t1內，狀態(tài)完全能觀測的充內，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是分必要條件是Gram矩陣矩陣10TTO0100( , )( , )( ) ( )( , )dttWt tt CCt為非奇異

29、。為非奇異。推論：如果矩陣推論：如果矩陣A和和C滿足滿足n-1次連續(xù)可微的條次連續(xù)可微的條件在時間區(qū)間件在時間區(qū)間t0,t1內，又有內，又有011( )( )rank( )nN tN tnNt則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。其中分塊矩陣則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。其中分塊矩陣)()(0tCtN1d( )( ) ( )( )dkkkNtNt A tNtt， 1, 2 , 1 , 0nk例例4.4.2 4.4.2 1122233100001001xtxxtxuxtx 123101xyxx101)(0tN2100d( )( ) ( )( )1dN tN t A tN tttt24211d( )( ) ( )

30、( )1 22dN tN t A tN tttttt tttttttNtNtN2211101)()()(422210其秩等于其秩等于3，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。4.5 4.5 能控性與能觀性的對偶關系能控性與能觀性的對偶關系4.5 4.5 能控性與能觀性的對偶關系能控性與能觀性的對偶關系對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng) BuAxxCxy TTzA zC vTwB z12BTBATACTCux xyVz zw (a)(b)對偶系統(tǒng)結構圖對偶系統(tǒng)結構圖 系統(tǒng)系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀的充要條件相同；狀態(tài)完全能觀的充要條件相同；121系

31、統(tǒng)系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀的充要條件與系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件與系統(tǒng) 完全能觀的充要條件相同。完全能觀的充要條件相同。 2（對偶原理）（對偶原理） 兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關系兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關系 BAsICsG11)()(TT1TT1 TT2( )()()GsBsIACBsIACT121( )()( )G sC sIABG s 把系統(tǒng)能控或能觀測部分同不能控或不能把系統(tǒng)能控或能觀測部分同不能控或不能觀測的部分區(qū)分開來，將有利于更深入了解觀測的部分區(qū)分開來，將有利于更深入了解系統(tǒng)的內部結構。系統(tǒng)的內部結構。標準分解標準分解 采用系統(tǒng)坐標變換的方法對狀態(tài)空間進行采用系統(tǒng)坐標變換的方法對狀態(tài)空

32、間進行分解，將其劃分成能控（能觀）部分與不能控分解，將其劃分成能控（能觀）部分與不能控（不能觀）部分。（不能觀）部分。4.6 4.6 線性定常系統(tǒng)的結構分解線性定常系統(tǒng)的結構分解4.6.1 4.6.1 系統(tǒng)能控性分解系統(tǒng)能控性分解設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為xAxBuyCx假設系統(tǒng)的能控性矩陣的秩假設系統(tǒng)的能控性矩陣的秩n1n（n為狀態(tài)向量為狀態(tài)向量維數(shù)），即系統(tǒng)不完全能控。維數(shù)），即系統(tǒng)不完全能控。關于系統(tǒng)的能控性分解，有如下結論。關于系統(tǒng)的能控性分解，有如下結論。 定理定理4.6.1 存在非奇異矩陣存在非奇異矩陣Tc，對系統(tǒng)進行狀態(tài)，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換變換 ，可使系統(tǒng)的

33、狀態(tài)空間表達式變換，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成成cxT x xAxBuyCx 11112cc220AAA T ATA11c0BBT B12CCTCC其中其中在變換后的系統(tǒng)中，將前在變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分提出來，得到維部分提出來，得到下式下式11 11221xA xA xBu這部分構成這部分構成n1維能控子系統(tǒng)。維能控子系統(tǒng)。 而后而后n-n1維子系統(tǒng)維子系統(tǒng)2222xA x為不能控子系統(tǒng)為不能控子系統(tǒng)。關鍵關鍵 變換矩陣變換矩陣Tc的構造的構造求法如下：求法如下：在能控性矩陣在能控性矩陣 中選擇中選擇n n1 1個線性無關的列向量；個線性無關的列向量；將所得列向量作為矩陣將所得列向

34、量作為矩陣T Tc c的前的前n n1 1個列，其余列個列，其余列 可以在保證可以在保證T Tc c為非奇異矩陣的條件下任意選擇為非奇異矩陣的條件下任意選擇CU 1nBABAB例例4.6.14.6.1 對下列系統(tǒng)進行能控性分解。對下列系統(tǒng)進行能控性分解。 00110 10110130 xxu 012yx2101rankrank 11323012bAbA b 能控性矩陣的秩能控性矩陣的秩 可知系統(tǒng)不完全能控可知系統(tǒng)不完全能控 在能控性矩陣中任選兩列線性無關的列向量。在能控性矩陣中任選兩列線性無關的列向量。為計算簡單，選取其中的第為計算簡單，選取其中的第1列和第列和第2列。易知它們列。易知它們是線

35、性無關的。是線性無關的。 再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關。再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關。 c102110011T1c12211123111T變換矩陣變換矩陣 狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 011112200010 xxu 112yx二維能控子系統(tǒng)二維能控子系統(tǒng) 11011120 xxu 111yx系統(tǒng)能控性分解結構圖系統(tǒng)能控性分解結構圖 定理定理4.6.24.6.2 能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，即統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，即1( )( )G sG s.11( )()()G sC sIABC sI

36、AB 111121122211111100( )sIAABCCsIACsIABG s因為因為4.6.24.6.2 系統(tǒng)能觀性分解系統(tǒng)能觀性分解設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為xAxBuyCx 假設系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩假設系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩n2n（n為狀態(tài)為狀態(tài)向量維數(shù)），即系統(tǒng)不完全能控。向量維數(shù)），即系統(tǒng)不完全能控。 關于系統(tǒng)的能觀性分解，有如下結論。關于系統(tǒng)的能觀性分解，有如下結論。 定理定理4.6.3 存在非奇異矩陣存在非奇異矩陣To，對系統(tǒng)進行狀態(tài)，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換變換 ，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成換成oxT x xAxBuyCx 其

37、中其中111oo21220AA T ATAA 11o2BBT BBo10CCTC在變換后的系統(tǒng)中，將前在變換后的系統(tǒng)中，將前n2維部分提出來，得到維部分提出來，得到下式下式這部分構成這部分構成n2維能觀子系統(tǒng)。維能觀子系統(tǒng)。 而后而后n-n2維子系統(tǒng)維子系統(tǒng)為不能觀子系統(tǒng)。為不能觀子系統(tǒng)。111 11xA xBu 11 1yC x221 12222xA xA xB u方法如下方法如下: : 從能觀性矩陣中選擇從能觀性矩陣中選擇n2個線性無關的行向量。個線性無關的行向量。 將所求行向量作為將所求行向量作為 的前的前n2個行，其余的行個行，其余的行 對于能觀性分解，變換矩陣的求法有其特殊對于能觀性

38、分解，變換矩陣的求法有其特殊性。應由構造其逆做起，即先求。性。應由構造其逆做起，即先求。1oT1oT1oT可以在保證可以在保證 為非奇異矩陣的條件下任意選擇。為非奇異矩陣的條件下任意選擇。例例4.6.24.6.2 系統(tǒng)同例系統(tǒng)同例4.6.1，進行能觀性分解。進行能觀性分解。計算能觀性矩陣的秩計算能觀性矩陣的秩 2012rankrank12323234CCACA任選其中兩行線性無關的行向量，再選任一個與任選其中兩行線性無關的行向量，再選任一個與之線性無關的行向量，得之線性無關的行向量，得 1o012123001To211102001T狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

39、二維能觀子系統(tǒng)二維能觀子系統(tǒng) 010112011010 xxu 100yx 11011121xxu101yx系統(tǒng)能觀性分解結構圖系統(tǒng)能觀性分解結構圖 定理定理4.6.44.6.4 能觀子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩能觀子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同陣相同 1( )( )G sG s 11( )()()G sC sIABC sIAB111112212211111100( )BsIACBAsIACsIABGs4.6.3 4.6.3 系統(tǒng)按能控性與能觀性進行標準分解系統(tǒng)按能控性與能觀性進行標準分解定理定理4.6.5 4.6.5 設系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為設系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為xAxBuyCx經過線性狀態(tài)變

40、換經過線性狀態(tài)變換, ,可以化為下列形式可以化為下列形式1111131221222232423333444344000000000 xxAABxxAAAABuxxAxxAA12133400 xxyCCxx111 1133111 1xA xA xBuyC x221 1222233244220 xA xA xA xA xB uy3333333xA xyC x443344440 xA xA xy4.74.7 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關系能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關系單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 4.7.1 4.7.1 單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)xA

41、xbuycx系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1adj()( )( )()( )( )sIAN sg sc sIAbcbsD s定理定理4.7.1 系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)g(s)中沒有零極點對消現(xiàn)象。中沒有零極點對消現(xiàn)象。 一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的那一部分子系統(tǒng)?？赜帜苡^的那一部分子系統(tǒng)。 一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零、極點對消現(xiàn)象一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零、極點對消現(xiàn)象，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控的或是不能觀的。的或是不能觀的。兩個推論兩個推論 一

42、個系統(tǒng)的分解與所選擇狀態(tài)變量有關一個系統(tǒng)的分解與所選擇狀態(tài)變量有關 舉例舉例 微分方程微分方程 2yyyuu傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 11121)(2sssssg選擇不同的狀態(tài)變量會有不同的結果！選擇選擇12, xy xyu系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程 1122011121xxuxx1210 xyx能控性矩陣能控性矩陣 能觀性矩陣能觀性矩陣 1111bAb1001ccA可分解為能控能觀和不能控能觀兩部分子系統(tǒng)可分解為能控能觀和不能控能觀兩部分子系統(tǒng) 引入中間變量引入中間變量z，將傳遞函數(shù)寫成，將傳遞函數(shù)寫成 選擇選擇2( )( )1( )(1)( )( )21y sz sg ssz

43、 su sss22dd21ddzzzttddzyzt則有則有121, xz xxz選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 1122010121xxuxx 121 1xyx能控性矩陣能控性矩陣 能觀測性矩陣能觀測性矩陣 2110Abb1111CAC可分解為能控能觀和能控不能觀兩部分子系統(tǒng)可分解為能控能觀和能控不能觀兩部分子系統(tǒng)4.7.2 4.7.2 多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)xAxBuyCx傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣 adj()( )( )CsIA BG ss定理定理4.7.2 如果在傳遞矩陣如果在傳遞矩陣 G(s) 中，中， 與與Cadj(sI-A)B之間沒有非

44、常數(shù)公因，則該系統(tǒng)之間沒有非常數(shù)公因，則該系統(tǒng)是能控且能觀測的。（僅為充分條件）是能控且能觀測的。（僅為充分條件）( ) s例例 4.7.2 4.7.2 10100101xxu xy1001能控能觀 100111001) 1(1)(2ssssssG存在公因式 能觀標準形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的能觀標準形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的A 和和 C 表現(xiàn)為能觀的標準形式表現(xiàn)為能觀的標準形式適當選擇狀態(tài)空間的基底，對系統(tǒng)進行狀態(tài)線性變適當選擇狀態(tài)空間的基底，對系統(tǒng)進行狀態(tài)線性變換，把狀態(tài)空間表達式的一般形式化為標準形式換，把狀態(tài)空間表達式的一般形式化為標準形式能控標準形是指在一組基底下

45、，將能控性矩陣中的能控標準形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的A 和和 B 表現(xiàn)為能控的標準形式表現(xiàn)為能控的標準形式4.84.8 能控標準形和能觀標準形能控標準形和能觀標準形4.8.14.8.1 系統(tǒng)的能控標準形系統(tǒng)的能控標準形xAxbuyCx122101000001000000000001nnnAaaaaa00001b 定理定理4.8.1 4.8.1 如果系統(tǒng)如果系統(tǒng) 是能控的，那么是能控的，那么必存在一非奇異變換必存在一非奇異變換 使其變換成能控標準使其變換成能控標準形形 xAxbuxPxccxA xb u1111npp APp A121100001npbAbA bAb線性變換矩陣線性變換

46、矩陣 例例4.8.14.8.1 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)111101xxu C1011UbAb能控性矩陣能控性矩陣 逆矩陣逆矩陣 1C1011U1c1111010110011010APAPc11101011bPb 111p 01111AppP01101P4.8.2 4.8.2 系統(tǒng)的能觀標準形系統(tǒng)的能觀標準形xAxbuycu，122100001000010000000001nnnaaaAaa00001c 定理定理 4.8.2 如果系統(tǒng)是能觀測的，那么必存在如果系統(tǒng)是能觀測的，那么必存在一非奇異變換將系統(tǒng)變換為能觀標準形一非奇異變換將系統(tǒng)變換為能觀標準形xTx oooxA xb uyc x111

47、1TAATTTn100111nCACACT例例4.8.24.8.2 111, 1022xxyx O11210cUcA能觀性矩陣能觀性矩陣 1110011211210cTcA 423111ATTT1431113021210224132xTATxxx131101242ycTxxx 4.94.9 系統(tǒng)的實現(xiàn)系統(tǒng)的實現(xiàn)4.9.1 4.9.1 單輸入單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題單輸入單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題由傳遞函數(shù)矩陣或相應的脈沖響應來建立系統(tǒng)由傳遞函數(shù)矩陣或相應的脈沖響應來建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的工作，稱為實現(xiàn)問題。的狀態(tài)空間表達式的工作，稱為實現(xiàn)問題。換言之，若狀態(tài)空間描述是傳遞函數(shù)矩陣的實換言之，若狀態(tài)空

48、間描述是傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)，則必有現(xiàn)，則必有在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。小實現(xiàn)。 )()(1sGDBAsIC單輸入單輸出系統(tǒng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為單輸入單輸出系統(tǒng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為 當其具有嚴格真分式有理函數(shù)時，其實現(xiàn)形式當其具有嚴格真分式有理函數(shù)時，其實現(xiàn)形式為為 nnnnnnnnasasasssssg11112211)( ,)A B C )(sg 的能控標準形實現(xiàn)的能控標準形實現(xiàn) 122111010000001000000000, 0000101nnnnnAbaaaaac 11222211000010000100, 000

49、0000100001 , nnnnnnaaaAbaac)(sg 的能觀標準形實現(xiàn)的能觀標準形實現(xiàn) pq 對于多輸入多輸出系統(tǒng)而言，討論其實現(xiàn)對于多輸入多輸出系統(tǒng)而言，討論其實現(xiàn)問題要滿足如下條件：問題要滿足如下條件：u輸出向量為輸出向量為 維維u傳遞函數(shù)矩陣為傳遞函數(shù)矩陣為 陣，它的每一個陣，它的每一個元素都是一個有理分式元素都是一個有理分式u嚴格真分式傳遞函數(shù)矩陣，即嚴格真分式傳遞函數(shù)矩陣，即u實現(xiàn)形式為實現(xiàn)形式為 q0)( GDCxYBuAxx4.9.2 4.9.2 多輸入多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題多輸入多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題當當 陣的陣的 時，可采用能控性實現(xiàn)。時，可采用能控性實現(xiàn)。)(sGpq 21110000 00pplplppppl plpl pllq plIABIa IaIa IICbbb式中，式中， 為為 各元素分母的首一最各元素分母的首一最小公分母的各項系數(shù)小公分母的各項系數(shù) 為多項式矩陣為多項式矩陣 的系數(shù)矩陣，而的系數(shù)矩陣，而laaa,21)(sGlllasass11)(lbbb,21)(sPlllbsbsbsGssP2211)()()(采用能觀