柯西中值定理和不定式極限

1、2 2 柯西中值定理和不定式極限柯西中值定理和不定式極限2 2 柯西中值定理與不定式極限柯西中值定理與不定式極限教教 學(xué)學(xué) 要要 求求1 1理解柯西中值定理的條件與結(jié)論的幾何意義，并能運(yùn)用該定理對(duì)理解柯西中值定理的條件與結(jié)論的幾何意義，并能運(yùn)用該定理對(duì) 相關(guān)問題進(jìn)行論證相關(guān)問題進(jìn)行論證2 2熟練掌握求兩類不定式極限的洛必達(dá)法則熟練掌握求兩類不定式極限的洛必達(dá)法則3 3熟練掌握其它類型不定式變換成兩類典型不定式的一般規(guī)律，并求熟練掌握其它類型不定式變換成兩類典型不定式的一般規(guī)律，并求 極限極限 一、柯西中值定理一、柯西中值定理Oxyfab AB定理定理6.2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)

2、中值定理中值定理)若函數(shù)若函數(shù)( )f x滿足下列條件滿足下列條件:(i)( )f x在閉區(qū)間在閉區(qū)間 , a b連續(xù)連續(xù);(ii)( )f x在開區(qū)間在開區(qū)間( , )a b可導(dǎo)可導(dǎo),則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )( )f bf afba 1 ( )問題問題: : 若曲線若曲線y=f(x)y=f(x)表為程為參數(shù)方程的形式表為程為參數(shù)方程的形式 ( ),()( )xttyt (1)(1)式如何變化式如何變化? ?( ( ),( ),A ( ( ),( ),B xt ( )f ( )( ) ( )( )( )f bf afba ( )( )( )( )( )( ) 定理定

3、理6.5(6.5(柯西中值定理柯西中值定理) ) 設(shè)設(shè)( ), ( )f xg x滿足滿足: :(i) (i) 在在 , a b上連續(xù)上連續(xù); ;(ii)(ii) 在在( , )a b內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); ;(iii)(iii)( ),( )fxg x 不同時(shí)為不同時(shí)為0;0;(iv)(iv)( )( ),g ag b 則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a 以下證法是否正確以下證法是否正確:顯然顯然( ),f x( )g x在在 , a b均滿足拉格朗日中值定理的條件均滿足拉格朗日中值定理的條件,故故( )( )( )(),( ,

4、)f bf afbaa b ( )( )( )(),( , )g bg agbaa b 又又( )( ),g ag b 所以所以( )( )( ),( , )( )( )( )ff bf aa bgg bg a 回放回放:拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理證明過(guò)程中值定理證明過(guò)程:Oxyfab AB定理定理6.2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)若函數(shù)若函數(shù)( )f x滿足下列條件滿足下列條件:(i)( )f x在閉區(qū)間在閉區(qū)間 , a b連續(xù)連續(xù);(ii)( )f x在開區(qū)間在開區(qū)間( , )a b可導(dǎo)可導(dǎo),則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )

5、( ).f bf afba 證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( )( )( )( )( )()f bf aF xf xf axaba 則則(i)( )F x在在 , a b連續(xù)連續(xù);(ii)( )F x在在( , )a b可導(dǎo)可導(dǎo);(ii)0( )( ),F aF b由羅爾定理由羅爾定理,( , ),a b 使得使得0( ),F 而而( )( )( )( )f bf aF xfxba 進(jìn)而進(jìn)而0( )( )( ).f bf afba 定理定理6.5(6.5(柯西中值定理柯西中值定理) ) 設(shè)設(shè)( ), ( )f xg x滿足滿足: :(i) (i) 在在 , a b上連續(xù)上連續(xù); ;(ii)(ii

6、) 在在( , )a b內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); ;(iii)(iii)( ),( )fxg x 不同時(shí)為不同時(shí)為0;0;(iv)(iv)( )( ),g ag b 則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a (2)(2)證證: : 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( )( )( )( )( )( ( )( )( )( )f bf aF xf xf ag xg ag bg a 故故( )F x在在 , a b滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件, , 故存在故存在( , ),a b 使得使得0( ),F 即即0( )( )( )( )( )( )f bf

7、 afgg bg a (3)(3)若若0( ),g 則有則有0( ),f 與條件與條件(iii)(iii)矛盾矛盾, ,故故0( ),g 進(jìn)而進(jìn)而可由可由(3)(3)得到得到(2).(2).定理定理6.16.1( (羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理) )若函數(shù)若函數(shù)( )f x滿足下列條件滿足下列條件: :(i)(i)( )f x在閉區(qū)間在閉區(qū)間 , a b上連續(xù)上連續(xù); ;(ii)(ii)( )f x在開區(qū)間在開區(qū)間( , )a b可導(dǎo)可導(dǎo); ;(iii)(iii)( )( ),f af b 則在則在( , )a b內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得使得0( ).f 定理

8、定理6.2(拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)若函數(shù)若函數(shù)( )f x滿足下列條件滿足下列條件:(i)( )f x在閉區(qū)間在閉區(qū)間 , a b連續(xù)連續(xù);(ii)( )f x在開區(qū)間在開區(qū)間( , )a b可導(dǎo)可導(dǎo),則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )( ).f bf afba 定理定理6.5(6.5(柯西中值定理柯西中值定理) ) 設(shè)設(shè)( ), ( )f xg x滿足滿足: :(i) (i) 在在 , a b上連續(xù)上連續(xù); ;(ii)(ii) 在在( , )a b內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); ;(iii)(iii)( ),( )fxg x 不同時(shí)為不同時(shí)為0;0;(iv)

9、(iv)( )( ),g ag b 則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a (g(x)=x時(shí)為拉格朗日定理時(shí)為拉格朗日定理)(f(a)=f(b)時(shí)為羅爾定理時(shí)為羅爾定理)例例1設(shè)設(shè)( )f x在在0 , ()a b a 連續(xù)連續(xù), 在在( , )a b內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),則存在則存在( , ),a b 使得使得( )( )( )ln.bf bf afa 分析分析:注意到注意到( )( )( )lnbf bf afa 1( )( )( )lnlnf bf afba 證證:設(shè)設(shè)( )ln ,g xx 則則( ), ( )f xg x在在

10、, a b上滿足柯西中值定理的條件上滿足柯西中值定理的條件,于是存在于是存在( , ),a b 使得使得1( )( )( ),lnlnf bf afba 即即( )( )( )ln.bf bf afa 二、不定式極限二、不定式極限例例2 求下列極限求下列極限:211 cos( ) lim;tanxxx 00( )1220122 1()( ) lim;ln()xxexx 00( )0(3) lim;1xxxe0( )0ln(4) lim;xxx()3(5) lim;xxex()0(6) limln ;xxx(0)210(7) lim(cos ) ;xxx(1 )1 ln0(8) lim(sin

11、);kxxx0(0 )1.00型不定式型不定式定理定理6.6若函數(shù)若函數(shù)( ), ( )f xg x滿足滿足:(i)000lim( )lim( );xxxxf xg x (ii)在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx 的空心鄰域的空心鄰域00()Ux內(nèi)都可導(dǎo)內(nèi)都可導(dǎo),且且0( );g x (iii)0( )lim( )xxfxAg x (A可以是常數(shù)可以是常數(shù),也可以是也可以是,) 則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x (洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則)證證: 補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義00(),f x 00().g x 任取任取00(),xUx 則則( ), ( )f xg x在以在以0,x

12、x為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西定理的條件為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西定理的條件,所以有所以有( )( )f xg x00( )()( )()f xf xg xg x ( )( )fg ( 介于介于0,xx之間之間)當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí),0 x 故故0( )lim( )xxf xg x0( )lim( )xfg .A 證證: 補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義00(),f x 00().g x 任取任取00(),xUx 則則( ), ( )f xg x在以在以0,xx為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西定理的條件為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西定理的條件,所以有所以有( )( )f xg x00( )()( )()f xf xg xg x ( )( )

13、fg ( 介于介于0,xx之間之間)注注: : 將定理中的將定理中的0 xx換為換為0,xx 0,xx ,x ,x 結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立. . 例例2 求下列極限求下列極限:21 cos(1) lim;tanxxx0( )01220(12 )(2) lim;ln(1)xxexx0( )00(3) lim;1xxxe0( )0解解:21 cos(1) limtanxxx2(1 cos )lim(tan)xxx2sinlim2tansecxxxx3coslim2xx1.21220(12 )(2) limln(1)xxexx12021(12 )22lim21xxexxx1220(1)(12 )l

14、im2xxexxx解解:1220(12 )(2) limln(1)xxexx12021(12 )22lim21xxexxx12220(1)(1 2 )(1)lim2xxexxxx(難往下難往下)注意到注意到220ln(1)limxxx220ln(1)lim()xxx2021lim2xxxx1,即即22ln(1) (0).xxx所以所以1220(12 )limln(1)xxexx1220(12 )limxxexx120(12 )lim2xxexx3201()(12 )22lim2xxex 320(12 )lim2xxex1.解解:0(3) lim1xxxe0()lim(1)xxxe0()lim(

15、)xxxex01limxxe1. 2.型不定式型不定式定理定理6.7若函數(shù)若函數(shù)( ), ( )f x g x滿足滿足:(i)00lim( )lim ( );xxxxf xg x (ii)在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx的空心鄰域的空心鄰域00()Ux內(nèi)都可導(dǎo)內(nèi)都可導(dǎo),且且( )0;g x(iii)0( )lim( )xxfxAg x (A可以是常數(shù)可以是常數(shù),也可以是也可以是,) 則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x2.型不定式型不定式定理定理6.7若函數(shù)若函數(shù)( ), ( )f x g x滿足滿足:(i)00lim( )lim ( );xxxxf xg x (ii

16、)在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx的空心鄰域的空心鄰域00()Ux內(nèi)都可導(dǎo)內(nèi)都可導(dǎo),且且( )0;g x(iii)0( )lim( )xxfxAg x (A可以是常數(shù)可以是常數(shù),也可以是也可以是,) 則則00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x證明思路證明思路: : ( (只證只證A A是常數(shù)的情形是常數(shù)的情形) )要證要證: :00( )( )limlim.( )( )xxxxf xf xAg xg x 先證先證: :0( )lim.( )xxf xAg x 先證先證: :0( )lim.( )xxf xAg x 1)1)已知已知( (條件條件iii)iii)0( )lim

17、:( )xxfxAg x 0100,(),xUx 當(dāng)當(dāng)01xxx時(shí)時(shí), ,有有2( )( )fxAg x 2)2)在區(qū)間在區(qū)間01(,)xx估計(jì)估計(jì)0( )lim.( )xxf xg x 3)3)建立與柯西中值定理的關(guān)系建立與柯西中值定理的關(guān)系( )( )f xAg x 1111()( )()( )( ).( )()( )()( )f xf xf xf xf xAg xg xg xg xg x分別估計(jì)分別估計(jì)11()( )( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 與與11()( )()( )f xf xAg xg x 由柯西中值定理由柯西中值定理112()( )( ),()(

18、 )( )f xf xfAAg xg xg ( (因?yàn)橐驗(yàn)?1)xxx 分別估計(jì)分別估計(jì)11()( )( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 與與11()( )()( )f xf xAg xg x 由柯西中值定理由柯西中值定理112()( )( ),()( )( )f xf xfAAg xg xg ( (因?yàn)橐驗(yàn)?1)xxx 同時(shí)說(shuō)明同時(shí)說(shuō)明11()( )()( )f xf xg xg x 在在01xxx有界有界. . 設(shè)設(shè)1011()( ),(,).()( )f xf xM xxxg xg x 又又1111111()( )()( )()( )( )( )( )()( )(

19、)( )( )()( )f xf xf xf xg xg xf xf xg xg xg xg xg xg xf xf x 1111111()()( )( )()()( )( )g xf xf xg xf xg xg xf x ( (因?yàn)橛蓷l件因?yàn)橛蓷l件( ) i當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)00lim( ), lim( )xxxxf xg x 11111()( )()( )g xg xMf xf x 00().xx例例2 求下列極限求下列極限:ln(4) lim;xxx()3(5) lim;xxex()解解:ln(4) limxxx1lim1xx03(5) limxxex2lim3xxexlim6xxexl

20、im6xxe. 注注: (1)洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的.sinlimxxxx1.若用洛必達(dá)法則若用洛必達(dá)法則:sinlimxxxx1 coslim1xx(不存在不存在)注注: (1)洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的.sinlimxxxx1.若用洛必達(dá)法則若用洛必達(dá)法則:sinlimxxxx1 coslim1xx(不存在不存在)(2)洛必達(dá)法則只能用于不定式洛必達(dá)法則只能用于不定式,不加考慮亂用不加考慮亂用,將出笑話將出笑話!0lim1xxx01lim1x1.(哈哈哈哈,錯(cuò)了錯(cuò)了!)三三 其它類型不定式其它類型不定式常有以下不定式極限常有以下不定式極限:0,1 ,

21、00 ,0,.基本思路基本思路: 通過(guò)適當(dāng)變形通過(guò)適當(dāng)變形,將其化為將其化為0.0或三三 其它類型不定式其它類型不定式常有以下不定式極限常有以下不定式極限:0,1 ,00 ,0,.基本思路基本思路: 通過(guò)適當(dāng)變形通過(guò)適當(dāng)變形,將其化為將其化為0.0或例例2 求下列極限求下列極限:0(1) limln ;xxx(0)210(2) lim(cos ) ;xxx(1 )1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:0(1) limlnxxx0lnlim1xxx0(ln )lim1( )xxx021l

22、im1xxx0lim()xx0.例例3 求下列極限求下列極限:0(1) limln ;xxx(0)210(2) lim(cos ) ;xxx(1 )1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:0(1) limlnxxx0lnlim1xxx0(ln )lim1( )xxx021lim1xxx0lim()xx0.210(2) lim(cos )xxx21ln(cos )0lim.xxxe20ln(cos )limxxx01( sin )coslim2xxxx 1,2 21120lim(cos )

23、.xxxe例例3 求下列極限求下列極限:1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:1 ln0(3) lim(sin )kxxxln(sin )1 ln0lim.kxxxe0ln(sin )lim1 lnxkxx0cossinlim1xxkxx0limcossinxxkxx, k1 ln0 lim(sin ).kkxxxe例例3 求下列極限求下列極限:1 ln0(3) lim(sin );kxxx0(0 )12ln(4) lim(1);xxxx0()111(5) lim();1lnxxx()解解:1