線性代數：特征值4-1矩陣的特征值與特征向量

1、1第四章第四章2 本章介紹矩陣的特征值、特征向量以及實二次本章介紹矩陣的特征值、特征向量以及實二次型的理論。型的理論。 3設設A是是一一個個n階階方方陣陣，如如果果存存在在一一個個數數 ，以以及及一一個個非非零零n維維列列向向量量 ，使使得得 第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量定義定義說明說明 A則則稱稱 為為矩矩陣陣A的的特特征征值值，而而 稱稱為為矩矩陣陣A的的屬屬于于特特征征值值 的的特特征征向向量量。 1 1、特征值問題是針對、特征值問題是針對方陣方陣而言的；而言的；2 2、特征向量必須是、特征向量必須是非零非零向量；向量；3 3、特征向量既依賴于矩陣、特征向量

2、既依賴于矩陣A，又依賴于特征值又依賴于特征值 . 一、特征值與特征向量的基本概念一、特征值與特征向量的基本概念4一個特征向量只能屬于一個特征值，證明如下：一個特征向量只能屬于一個特征值，證明如下：設設 是是同同時時屬屬于于特特征征值值1 和和2 的的特特征征向向量量， 即即 1 A， 2 A， )(21 而而. 21 二、特征值與特征向量的求法二、特征值與特征向量的求法 A,)( AE即要求齊次線性方程組即要求齊次線性方程組 )(AE有非零解，有非零解，即方程即方程0 AE 的根就是矩陣的根就是矩陣A的特征值，的特征值，相應非零解即為特征向量。相應非零解即為特征向量。5,21222211121

3、1nnnnnnaaaaaaaaa 次次方方程程為為未未知知數數的的一一元元稱稱以以n 0 AE ,次次多多項項式式的的它它是是n AEf )(記記稱為矩陣稱為矩陣A的的特征多項式特征多項式， 為矩陣為矩陣A的的特征方程特征方程。矩陣矩陣A的特征值，即為特征方程的根。的特征值，即為特征方程的根。6計算矩陣特征值和特征向量的一般步驟如下：計算矩陣特征值和特征向量的一般步驟如下：1 1、求求特特征征方方程程0 AE 的的全全部部根根，即即為為矩矩陣陣A的的全全部部特特征征值值； 2 2、對每一特征值、對每一特征值i ，求解齊次線性方程組，求解齊次線性方程組 它它的的全全部部非非零零解解向向量量即即為

4、為矩矩陣陣A的的屬屬于于特特征征值值i 的的全全部部特特征征向向量量。 xAEi)(7例例1 設設,120010112 A求求A的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。解解120010112 AE,0)1)(1)(2( 所以所以A的特征值為的特征值為 .1, 1, 2321 8120010112 AE.1, 1, 2321 ，對對21 1200301102AE,000100110 相應齊次線性方程組的基礎解系為相應齊次線性方程組的基礎解系為,)0,0,1(1T 因因此此屬屬于于特特征征值值21 的的全全部部特特征征向向量量為為)0(111 kk ； 9120010112 AE.1, 1, 23

5、21 ，對對12 相應齊次線性方程組的基礎解系為相應齊次線性方程組的基礎解系為,)1,1,0(2T 因因此此屬屬于于特特征征值值12 的的全全部部特特征征向向量量為為)0(222 kk ； 220000113AE,000110113 10120010112 AE.1, 1, 2321 ，對對13 相應齊次線性方程組的基礎解系為相應齊次線性方程組的基礎解系為,)1,0,1(3T 因因此此屬屬于于特特征征值值13 的的全全部部特特征征向向量量為為)0(333 kk 。 020020111AE,000010111 11例例2解解314020112 AE,0)1()2(2 所以所以A的特征值為的特征值

6、為 .1),(221 二重根二重根設設求求A的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。,314020112 A12314020112 AE.1),(221 二重根二重根，對對21 相應齊次線性方程組的基礎解系為相應齊次線性方程組的基礎解系為,)4,0,1(1T 因因此此屬屬于于特特征征值值21 的的全全部部特特征征向向量量為為 1140001142AE,000000114 ,)1,1,0(2T 212211,(kkkk 不不全全為為零零) )；AE.1),(221 二重根二重根，對對12 相應齊次線性方程組的基礎解系為相應齊次線性方程組的基礎解系為,)1,0,1(3T

7、因因此此屬屬于于特特征征值值12 的的全全部部特特征征向向量量為為)0(333 kk . . 414030111AE,000010111 14 nnnnaaaaaa00022211211 nnnnaaaaaa212221110000 n 00000021 對角陣、上三角陣對角陣、上三角陣、下三角陣，下三角陣，它們的特征值它們的特征值即即為為主對角元。主對角元。 15三、特征值與特征向量的性質三、特征值與特征向量的性質 性質性質1 1( (1 1) ) 設設 是是矩矩陣陣A的的屬屬于于特特征征值值0 的的特特征征向向量量， 則則對對任任意意常常數數0 k， k也也是是A的的屬屬于于0 的的特特征

8、征向向量量； ( (2 2) ) 若若 ,都都是是A的的屬屬于于特特征征值值0的的特特征征向向量量， 則則 lk ),(不不全全為為零零lk也也是是A的的屬屬于于0 的的特特征征向向量量。 證證 A)( kA)( Ak )(k . )( k AA,)( lkA lAkA lk . )( lk (2) 可推廣到多個特征向量可推廣到多個特征向量.16 屬于各個特征值的線性無關的向量合在一起仍屬于各個特征值的線性無關的向量合在一起仍線性無關。線性無關。 性質性質2 2屬于不同特征值的特征向量線性無關。屬于不同特征值的特征向量線性無關。只證兩個特征向量的情況只證兩個特征向量的情況.證證, A, A,

9、, 則則 )( lkA )()( AlAk , lk( (1 1) ) ( (2 2) )消消去去 , ,得得 ,)( l,0 設設 lk， (1)(2),0 l代入代入(1),(1),得得 ,0 k證證得得 ,線線性性無無關關. . 推廣推廣17性質性質3 3矩矩陣陣A與與它它的的轉轉置置TA有有相相同同的的特特征征值值。 證證TAE TAE)( ,AE 說說明明A與與TA有有相相同同的的特特征征多多項項式式, , 從而有相同的特征值從而有相同的特征值.注意注意: :盡盡管管A和和TA的的特特征征值值相相同同，但但一一般般它它們們的的特特征征向向量量是是不不同同的的。 18性質性質4 4設設

10、0 是是矩矩陣陣A的的特特征征值值， 是是相相應應的的特特征征向向量量，則則 證證( (1 1) ) 0 k是是kA的的特特征征值值（k是是任任意意常常數數） ； ( (2 2) ) m0 是是mA的的特特征征值值（m是是正正整整數數） ； ( (3 3) ) 當當A可可逆逆時時, ,00 , ,10 是是1 A的的特特征征值值. . 且且 仍然是矩陣仍然是矩陣kA、mA、1 A的相應于特征值的相應于特征值0 k、m0 、10 的特征向量。的特征向量。 0 A(2)()( 0 AAA )(0 A , )(00 ，即即 202 A,303 A重復這個過程重復這個過程, 可得可得,.0 mmA 1

11、9性質性質4 4設設0 是是矩矩陣陣A的的特特征征值值， 是是相相應應的的特特征征向向量量，則則 證證( (1 1) ) 0 k是是kA的的特特征征值值（k是是任任意意常常數數） ； ( (2 2) ) m0 是是mA的的特特征征值值（m是是正正整整數數） ； ( (3 3) ) 當當A可可逆逆時時, ,00 , ,10 是是1 A的的特特征征值值. . 且且 仍然是矩陣仍然是矩陣kA、mA、1 A的相應于特征值的相應于特征值0 k、m0 、10 的特征向量。的特征向量。 0 A(3)()( 011 AAA,10 A, 10 A即即. 101 A20例例3設設0 是是矩矩陣陣A的的特特征征值值

12、， 是是相相應應的的特特征征向向量量, , ,)(10ssxaxaaxp 多項式多項式則則)(0 p是是矩矩陣陣多多項項式式)(Ap的的特特征征值值， 仍仍為為相相應應的的特特征征向向量量。 證略證略例如例如, ,矩陣矩陣A的有一個特征值為的有一個特征值為2,2,則則 EAA323 有一個特征值有一個特征值 7.例例4證證 A, 22 A而而AA 2， 2， ,)( 2 ,0 2 .1 0 或或冪等矩陣冪等矩陣若若AA 2, ,則則A的的特特征征值值為為0 0 或或1 1。 21例例3設設0 是是矩矩陣陣A的的特特征征值值， 是是相相應應的的特特征征向向量量, , ,)(10ssxaxaaxp

13、 多項式多項式則則)(0 p是是矩矩陣陣多多項項式式)(Ap的的特特征征值值， 仍仍為為相相應應的的特特征征向向量量。 證略證略例如例如, ,矩陣矩陣A的有一個特征值為的有一個特征值為2,2,則則 EAA323 有一個特征值有一個特征值 7.例例4冪等矩陣冪等矩陣練習練習:若若EA 2, ,則則A的的特特征征值值為為1 或或1 。 若若AA 2, ,則則A的的特特征征值值為為0 0 或或1 1。 22若若矩矩陣陣A可可逆逆，且且特特征征值值為為s ,21，求求A的的伴伴隨隨矩矩陣陣 A的的特特征征值值。 例例5解解EAAA , 1 AAA由性質由性質4,4, A的的特特征征值值為為 ., 2

14、, 1 ,niAi 23四、特征多項式的性質四、特征多項式的性質 n階矩陣階矩陣)(ijaA 的特征多項式的特征多項式 nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)( 的的最最高高次次項項必必在在 )()(2211nnaaa 中出現中出現,其其余余的的項項 的的次次數數最最高高是是2 n， 故有故有,)()(12211 nnnnaaaf 而而常數項常數項,)1()0(AAfn 所以所以.) 1()()(12211Aaaafnnnnn 24.) 1()()(12211Aaaafnnnnn 另一方面另一方面, ,設矩陣設矩陣A的特征值是的特征值是s ,21, ,則則 )()()(21nf ,)1()(21121nnnnn 比較系數得比較系數得性質性質4 4; )1(11 niiiniia . )2(1 niiA niiia1稱稱為為A的的跡跡，