多元函數(shù)微分3

1、一、全微分的定義二*、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、全微分的定義v偏增量與偏微分提示: f(x)在點(diǎn)x可微:()( )( )()f xxf xfxxox 函數(shù)f(x, y)對x的偏微分函數(shù)f(x, y)對y的偏增量函數(shù)f(x, y)對y的偏微分函數(shù)f(x, y)對x的偏增量 根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系, 有 f(xx, y)f(x, y) f(x, yy)f(x, y) fx(x, y)x fy(x, y)y(, )( , )( , )()xf xx yf x yfx yxox ( ,)( , )( , )()yf x yyf x yf

2、x yyoy 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v全增量 z f(xx, yy)f(x, y). ( , )( , )()xyzfx yxfx yyxoy 討論: (,)( ,)zf xx yyf x yy ( ,)( , )f x yyf x y( ,)( , )( , )()yf x yyf x yfx yyoy (,)( ,)(,)xf xx yyf x yyfxx yyx ( , )xfx yx當(dāng) fx(x, y)在點(diǎn)(x, y)連續(xù)時(shí)( , )xfx yxx 22()() .xy 其中0lim0,提示: f(x)在點(diǎn)x可微:()( )( )()f xxf xfxxox 提示: 拉格朗日微分中值公

3、式:()( )()(0,1)f xxf xfxxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁提示: 當(dāng) fx(x, y), fy(x, y)在點(diǎn)(x, y)連續(xù)時(shí), ( , )( , )( )xyzfx yxfx yyo v全增量 z f(xx, yy)f(x, y). ( , )( , )()xyzfx yxfx yyxoy 22()() .xy 討論: (,)( ,)zf xx yyf x yy ( ,)( , )f x yyf x y( ,)( , )( , )()yf x yyf x yfx yyoy (,)( ,)(,)xf xx yyf x yyfxx yyx ( , )xfx yx當(dāng) fx(x,

4、y)在點(diǎn)(x, y)連續(xù)時(shí)( , )xfx yxx 其中0lim0,上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān), 則稱函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示為) )()( )(22yxoyBxAz, 提示: 當(dāng) fx(x, y), fy(x, y)在點(diǎn)(x, y)連續(xù)時(shí), ( , )( , )( )xyzfx yxfx yyo 函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可微分, 就是函數(shù)在D內(nèi)各點(diǎn)

5、處都可微分. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān), 則稱函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示為v可微分的充分條件則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. 如果函數(shù) zf(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)xz、yz在點(diǎn)(x, y)連續(xù), ) )()( )(22yxoyBxAz, 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān), 則稱函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y

6、)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示為(,)(0,0)0 xyxy (2) 當(dāng) 時(shí), o() 的充要條件是存在無窮小, , 使0注: (1) )()( )(22yxoyBxAz, 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 這是因?yàn)? 如果zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 則 zf(xx, yy)f(x, y)AxByo(),因此函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù). 0lim0z, 于

7、是),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx從而),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v可微分的必要條件 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo) 數(shù)xz、yz必定存在, 且函數(shù) zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分為 簡要證明 特別當(dāng)y0時(shí), 有 f(xx, y)f(x, y)Axo(|x|), 設(shè)函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分. 于是有 zf(xx, yy)f(x

8、, y)AxByo(),AxxoAxyxfyxxfxx|)(|lim),(),(lim00從而xz存在, 且Axz. 同理. 同理yz存在, 且Byz. AxxoAxyxfyxxfxx|)(|lim),(),(lim00, yyzxxzdz. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v疊加原理 按習(xí)慣, x、y分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 這樣函數(shù)zf(x, y)的全微分可寫作dyyzdxxzdz. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如uf(x, y, z)的全微分為dzzudyyudxxudu. v可微分的必要條件 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo) 數(shù)x

9、z、yz必定存在, 且函數(shù) zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分為 yyzxxzdz. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù). 0 0, 0 ),(222222yxyxyxxyyxf 偏導(dǎo)數(shù)都存在, 但不連續(xù)(從而不可微)的函數(shù)舉例: 連續(xù), 但偏導(dǎo)數(shù)不存在(從而不可微)的函數(shù)舉例: ( , ) |f x yxy在點(diǎn)(0, 0):在點(diǎn)(0, 0):上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例1 計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分. 解 例2 計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(2, 1)處的全微分. 解 dz2xydx(x22y)dy. dze2dx2e2dy. 設(shè) zf(x, y), 則dyy

10、zdxxzdz. xyxz2, , yxyz22, xyyexz, xyxeyz, 212exzyx, 212exzyx 2122eyzyx, 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解 設(shè) uf (x, y, z), 則dzzudyyudxxudu. 例3 例 3 計(jì)算函數(shù)yzeyxu2sin的全微分. 1xu, 1xu, yzzeyyu2cos21, , yzyezu, dzyedyzeydxduyzyz)2cos21(. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二*、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng)函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù), 并且|x|, |y|都較小時(shí), 有近

11、似等式zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計(jì)算. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cm減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V r2h. 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 cm3. 2201000.05202(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3), VrrVhh f(xx, yy)f(x, y)fx(x

12、, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根據(jù)近似公式, 有 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例5 計(jì)算(1.04)2.02的近似值. (1.04)2.02 所以 x yyx y1xx yln x y, f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y1.08. 1221210.0412ln10.02 解 設(shè)函數(shù) f(x, y)x y. 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在 x1.04, y2.02時(shí)的函數(shù)值f(1.04, 2.02). f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)

13、y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 因?yàn)?取x1, y2, x0.04, y0.02. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁作作 業(yè)業(yè)多元函數(shù)微分學(xué)作業(yè)多元函數(shù)微分學(xué)作業(yè)3上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)都存在, 但不可微分的函數(shù)舉例: 設(shè)0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf. 函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(0, 0)處連續(xù), 且有fx(0, 0)0及fy(0, 0)0, 但函數(shù)在(0, 0)不可微分. 這是因?yàn)閦fx(0, 0)xfy(0, 0)y不是較高階的無窮小.事實(shí)上, 當(dāng)(x, y)沿直線yx趨于(0, 0)時(shí), 有) 0 , 0() 0 , 0(yfxfzyx 021)()()()(2222xxxxyxyx. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 可微分, 但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的函數(shù)舉例: 263( , )f x yyxy( ,0)0,f x( ,0)0,xfx(0,0)0.yf分析: 3(0, ),fyy2(0, )3,yfyy(0,0)0,xf(0,0)(0,0)xyzfxfy 0 (0)f(x,y)在點(diǎn)(0, 0)可微分.26322