數(shù)字信號處理第7章上

1、1 IIR濾波器優(yōu)點(diǎn)在于可利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，但有明顯缺點(diǎn)：就是相位非線性，若需要線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行校正。 FIR 濾波器的優(yōu)點(diǎn)正在于線性相位的可實(shí)現(xiàn)性，因此，我們最感興趣的是具有線性相位的濾波器。而對非線性相位的FIR濾波器，一般不作研究，可用IIR濾波器來代替。第七章第七章 有限長單位沖激響應(yīng)有限長單位沖激響應(yīng)(FIR) (FIR) 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法22）FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，極點(diǎn)在z-平面原點(diǎn)，因而系統(tǒng)穩(wěn)定；1）可以具有嚴(yán)格的線性相位特性及任意的幅度特性，波形失真小；FIR濾波器的的特點(diǎn)：3）只要經(jīng)過一定的延時(shí)，任何非因果有限長序

2、列都能變成因果的有限長序列，因而可用因果系統(tǒng)逼近非因果系統(tǒng)；35）同樣幅度衰減特性，F(xiàn)IR比IIR階次高；4） FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，可用FFT快速高效處理信號；注意： 前面已介紹過IIR濾波器的設(shè)計(jì)，但它的各種變換法，對FIR濾波器設(shè)計(jì)是不適用的， 其原因在于系統(tǒng)函數(shù)只是Z-1的多項(xiàng)式，而IIR設(shè)計(jì)中是利用Z-1的有理分式。4一、線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)二、FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法1、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法；2、頻率抽樣設(shè)計(jì)法；3、最優(yōu)化設(shè)計(jì)法切貝雪夫最佳一致逼近法內(nèi)容包括：510)()(NnnznhzH在有限z平面有（N-1）個(gè)零點(diǎn)，在z=0處有（N-1）階極點(diǎn)。一、線性相位FIR濾

3、波器的特點(diǎn) 1、單位沖激響應(yīng)h(n)的特點(diǎn)：FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，其Z變換為：6 如果FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，而且滿足以下任一條件：偶對稱 h(n)h(N-1-n)奇對稱 h(n)-h(N-1-n) 其對稱中心在n( N-1 ) / 2 (不一定為整數(shù))處，則濾波器具有準(zhǔn)確的線性相位。具體: n0 和nN-1, n1 和nN-2, 對稱.2、線性相位條件7系統(tǒng)函數(shù)可以寫成：)()()()()(jjjjeHeeHeH如果是線性相位特性，則有：)(或0)(即群延時(shí)響應(yīng)dd)(為常數(shù)。線性相位條件推導(dǎo)：8將)(代入)()()()()(jjjjeHeeHeH有jjNn

4、njjeeHenheH)()()(10比較等式兩邊的實(shí)部和虛部，有：1010)sin()()sin()()cos()()cos()(NnjNnjnnheHnnheH91010)cos()()sin()()cos()sin()tan(NnNnnnhnnh所以：0)sin()cos()()cos()sin()(1010NnNnnnhnnh即：0)(sin)(10Nnnnh當(dāng)10),1()(21NnnNhnhN時(shí)，上式成立。（偶對稱）二者卷積（奇對稱）10同理，當(dāng)0)(時(shí)，有：0)(sin)(100Nnnnh當(dāng)10),1()(2210NnnNhnhN時(shí)，上式成立。（奇對稱）此時(shí)，除產(chǎn)生線性相移外，還

5、有2固定相移（偶對稱）11N為奇數(shù)N為奇數(shù)N為偶數(shù)N為偶數(shù)四種類型線性相位FIR數(shù)字濾波器:1213)()()()1()()(1)1(10)1(10)1(1010zHzzmhzzmhznNhznhzHNNmmNNmmNNnNnnn10)()(NnnznhzH及)1()(nNhnh由又3、線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的特點(diǎn)1410211)1(2)()()(21)(2121NnNNnNnNzznhzzHzzHzH取“+”表示偶對稱：取“-”表示奇對稱：)1()(nNhnh)1()(nNhnh上式兩邊同時(shí)加H（Z），再用2去除得：1511()()1122()201120()( ) ( )21( )c

6、os2jNNj nj nNNjjz enNNjneeH eH zeh nNeh nn21)(21cos)()(10NnNnhHNn幅度函數(shù)相位函數(shù)1）h（n）為偶對稱16 特點(diǎn)： 幅度函數(shù)H()(不同于幅頻響應(yīng))包括正負(fù)值，相位函數(shù)是嚴(yán)格線性相位，說明濾波器有(N-1)/ 2個(gè)抽樣的延時(shí)，它等于單位抽樣響應(yīng)h(n)長度的一半。小結(jié)： 當(dāng)h(n)為偶對稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器是準(zhǔn)確的線性相位濾波器。 171()2N)1N()(,2(1)N0( ) 2)21N()(,181022121sin)()()(NnjNjezjnNnhezHeHj221)(21sin)()(10NnNnhHNn幅度函數(shù)相位函數(shù)2

7、）h（n）為奇對稱19 特點(diǎn)： 相位函數(shù)仍是線性，但在零頻率(0 )處有/2的截距。不僅有( N-1)個(gè)抽樣的延時(shí)，還產(chǎn)生一個(gè)/ 2的相移。小結(jié) ： 當(dāng) h( n )為奇對稱時(shí)，F(xiàn)IR濾波器將是一個(gè)具有準(zhǔn)確相位的正交變換網(wǎng)絡(luò)。（如希爾伯特變換）20 可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個(gè)900相移，這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900，因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò)。（相移900的信號與原信號為正交的）。0,()2,()(1)232 ,()()2NN 3()2N(1)2N( ) 20221h(n)偶對稱時(shí)的線性相位特性偶對稱時(shí)的線性相位特性h(n)奇對稱時(shí)的奇對稱時(shí)的 相移線性相位待性

8、相移線性相位待性090正交變換網(wǎng)絡(luò)221021cos)()(NnnNnhH)1(21cos21cosnNNnN上式也是一個(gè)偶對稱。4、幅度函數(shù)的特點(diǎn)（分四種情況） 1）h（n）偶對稱，N為奇數(shù)23所以：21, 2 , 1,212)(21)0()cos()()(2)1(0NnnNhnaNhannaHNn2)1(1212)3(0)cos(2122121cos)(221)(NmmnNNnmmNhNhnNnhNhH即：24)cos(n在2 , 0處均為偶對稱因此)(H在2,0,(對稱中心)處也為偶對稱, 四種濾波器都可設(shè)計(jì)。( )(2)HH（低通、高通、帶通、帶阻）25212120)21(cos222

9、1cos)(2)(NmnmNNnmmNhnNnhH2, 2 , 1,22)(21cos)()(20NnnNhnbnnbHNn有2）h（n）偶對稱，N為偶數(shù)26當(dāng)時(shí)，021cosn因此)(zH在1z必有一個(gè)零點(diǎn)，所以高通或帶阻濾波器不能用這種濾波器，適合于設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器。( )H在(對稱中心)時(shí)呈奇對稱；2 , 0(對稱中心)時(shí)呈偶對稱。( )(2)HH 在27281021sin)()(NnnNnhH)1(21sin21sinnNNnN上式也是一個(gè)奇對稱。由)1()(nNhnh有021Nh3）h（n）奇對稱，N為奇數(shù)29所以2)1(1212)3(0)sin(21221sin)(2)(Nmm

10、nNNnmmNhnNnhH(1) 21( )( )sin()11( )2,1,2,22NnHc nnNNc nhnn30)sin( n在2 , 0處均為零，因此，)(zH在1z處都為零。)sin( n在2 , 0處呈奇對稱，因此，()H在2,0,處呈奇對稱。所以低通、高通或帶阻濾波器不能用，但適合于設(shè)計(jì)帶通、微分器和線性相位900移相器（希爾伯特變換器）。(對稱中心)( )(2)HH 31212120)21(sin2221sin)(2)(NmnmNNnmmNhnNnhH2, 2 , 1,22)(21sin)()(21NnnNhndnndHNn4）h（n）奇對稱，N為偶數(shù)3221sinn在2 ,

11、 0處為零，因此)(H在2 , 0處為零，)(zH在1z處為零點(diǎn)。21sinn在2 , 0處呈奇對稱，因此)(H在2 , 0處呈奇對稱，在處呈偶對稱。適合于設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，微分器和線性相位900移相器（希爾伯特變換器）。(對稱中心)( )(2)HH3334四種線性相位FIR DF特性第一種情況，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。3521)(Nddej 四種線性相位FIR濾波器的群延遲響應(yīng)都是： 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，

12、濾波器的群延遲響應(yīng)為整數(shù)個(gè)抽樣間隔；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，濾波器的群延遲為整數(shù)個(gè)抽樣間隔加上1/2個(gè)抽樣間隔。36)()(1)1(zHzzHN 線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對（共軛鏡像）。5*、零點(diǎn)位置37線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)結(jié)構(gòu):38即：0, 0,iijiirerzi4321111111111)1)(1 ()(zazbzazerzerzerzerzzHiiiijijijijiiiiiiiirrbrracos41,cos12222四個(gè)零點(diǎn)1）零點(diǎn)zi既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上39也可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式：2122212cos2cos211)(zzrrzrzrrzHiiii

13、iiii在這種情況下，N=5，221N零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對。40即：或0, 1,iijiirerzi2111cos21)1)(1 ()(zzezezzHijjiii在這種情況下，N=3，121N2）零點(diǎn)zi在單位圓上，但不在實(shí)軸上零點(diǎn)是一組共軛對。41即：或0, 1,iijiirerzi21111111)1 ()(zzrrzrzrzHiiiii取“+”相當(dāng)于i，取“-”相當(dāng)于0i在這種情況下，N=3，121N3）零點(diǎn)zi在實(shí)軸上，但不在單位圓上零點(diǎn)只有倒數(shù)部分，無復(fù)數(shù)共軛部分。42即：或0, 1,iijiirerzi11)(zzHi取“+”表示1z，取“-”相當(dāng)于1z在這種情況下，N=2

14、，2121N4）零點(diǎn)zi既在實(shí)軸上，也在單位圓上只有這兩種情況。43線性相位FIR濾波器的)(zH由以上這幾種因子的組合構(gòu)成。只可能 可以根據(jù)實(shí)際的頻率響應(yīng)的需要，選擇合適的零點(diǎn)組合方式，以達(dá)到控制頻率響應(yīng)的目的。44二、FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法1、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（傅立葉級數(shù)法） 1）思路和設(shè)計(jì)方法一般來說，理想頻響 是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題：怎樣用一個(gè)有限長的序列去近似無限長的hd(n)？)(jdeH45 最簡單的辦法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。這種截取可以

15、形象地想象為h(n)是通過一個(gè)“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表達(dá)為hd(n)和一個(gè)“窗函數(shù)”的乘積，即 h(n)=w(n) hd(n) 在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN（n），以后還可看到，為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對hd(n)作一定的加權(quán)處理。 46I、由理想的頻率響應(yīng) 得到理想的)(jdeH);(nhdII、由 加窗得到因果、有限長的單位抽樣響應(yīng) )(nhd; )(nhIII、由 得到實(shí)際的較好的頻率響應(yīng)。 具體為：)(nh設(shè)計(jì)方法:47已知理想濾波器頻率響應(yīng)：)(jdeH有：deeHnhnjjdd)(21)(特點(diǎn)： 無限長

16、，非因果解決辦法：截?cái)啵?移位即：)()(anhnhd10,21NnNa（這里暗含了截?cái)啵?8以截止頻率為c，群延遲響應(yīng)為 的理想低通濾波器為例，有：ccccajjdeeH, 0,)()()(sin21)(anandeenhcccnjajdcc 這是一個(gè)以為 中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作為h(n)，事先給一線性相位49)(jwdeHw0)(nhdn0cwcw線性相位的濾波器。求的設(shè)計(jì)一個(gè)能滿足技術(shù)要斷效應(yīng)，如何用窗函數(shù)法減少截截?cái)嘈?yīng)的產(chǎn)生，以及。下面我們會討論這種因此，也稱為截?cái)嘈?yīng)直接截?cái)嘁鸬?，將這個(gè)吉布斯效應(yīng)是由于要求。從而滿足不了技術(shù)上的尤其

17、使阻帶的衰減小，和阻帶內(nèi)的波動(dòng)性，效應(yīng)。它將引起通帶內(nèi)（在頻域就是吉布斯肯定會引起誤差，表現(xiàn)去代替的序列這樣我們用一個(gè)有限長，其系統(tǒng)函數(shù)為長度為單位取樣響應(yīng)為設(shè)實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的FIRnhdGibbsnhnhznhzHzHNnhdNnn)(),()()()()(),(1050取窗函數(shù)（矩形窗函數(shù)）：)()(nRnwN為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時(shí) 應(yīng)為h(n)長度N的一半,即21Na)(nWn1N0511, 0, 010 ,2121sin)(211, 0, 010),()()()(NnnNnNnNnnhNaNnnNnnhnwnhnhcccdd以上即為所求濾波器單位抽樣響應(yīng)。n0)(

18、nhd1N52用窗函數(shù)（矩形）截?cái)嗬硐霝V波器的單位抽樣響應(yīng)： 頻域卷積:時(shí)域相乘:53()12()()*()1()()2()( )1,( )0,jjjdRjjdNjjddadcH eHeWeHeW edHeHeH 計(jì)算所求濾波器的頻率響應(yīng)：5411120012sin2()()( )sin2( )NNNjjjj nj nRnnNjRNW eWew n eeeWe幅度函數(shù)窗函數(shù)的頻譜:1( )()2Nww 相位函數(shù))(wWRw31)(w211Ntg主瓣N2N2N4N4wsin2( )sin2RNW55dWHHeHeHdWHedeWeHeHRdNjjRdNjNjRNjdj)()(21)()()()(

19、)(21)()(21)(2121)(2121由上式可知，影響實(shí)際FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的幅度函數(shù) 的是窗函數(shù)頻率響應(yīng)的幅度函數(shù) 。)(H)(RW線性相位二者的卷積為:56矩形窗的卷積過程：57（1） 時(shí)，011(0)1()( )22ccRRHWdWd也就 在 到 全部面積的積分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）歸一化）。( )RW( )dH0cc58( )RWN/22/ N0( )2/RWN注意：的主瓣寬度的一半為59（2） 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。這時(shí)有 。c()RW( )dH()/(0)0.5cHHc60(3) 時(shí)， 的主瓣全部在的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。2cN()RW(

20、 )dH2cN61)(H 2/cN（4） 時(shí)，主瓣全部在通帶外，時(shí)，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負(fù)的肩峰。出現(xiàn)負(fù)的肩峰。2/cN62（5）當(dāng) 時(shí)，隨 增加， 左邊 旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積 變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。2cN()RW( )H()RW( )H63(6)當(dāng) 時(shí)， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動(dòng)。2cN()RW( )dH( )H(0)H100.5( )/(0)HH64I）0時(shí)，)0(H可以看成從到)(RW的全部積分面積；II）c時(shí)，5 . 0)0()(HHc；III）Nc2時(shí)，NHc2為最大值IV）Nc2時(shí)，NHc2

21、為最負(fù)值結(jié)論：65I）使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過渡帶，過渡帶為窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度 ；即過渡帶寬等于窗函數(shù)的主瓣寬度 。II） 在截止頻率的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值(8.95%)，肩峰的兩側(cè)通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少；加窗后對理想矩形頻率響應(yīng)產(chǎn)生的影響：N466III）增加截取長度N，只能改變窗譜的主瓣寬度( ，即可以減小主瓣寬度，減小過渡帶的寬度) ，改變的坐標(biāo)比例以及改變 的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 （只由 決定），22sin22sin2sin2sin)(NNNNNW

22、RN422sinNN67即不能消除吉布斯Gibbs效應(yīng)。 只能通過改變窗函數(shù)的形狀即類型，來改變主瓣與旁瓣的相對比例，從而減小吉布斯Gibbs效應(yīng)。68窗函數(shù)法的特點(diǎn)：69 在數(shù)字信號處理中窗函數(shù)的使用是不可避免的。數(shù)據(jù)采集、頻譜分析、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。 只有一個(gè)時(shí)域?qū)挾葹闊o窮的矩形窗（即直流信號）的傅立葉變換為一 函數(shù)，反之亦然。只有 函數(shù)才能保持高的分辨率。 當(dāng)矩形窗為有限寬時(shí)，其傅立葉變換為一Sinc函數(shù)，導(dǎo)致分辨的模糊性。傅立葉變換的局限性及其改進(jìn)70 時(shí)域截?cái)啵喈?dāng)于原連續(xù)時(shí)間信號乘上一個(gè)窗函數(shù), 導(dǎo)致頻域卷積，造成使用傅立葉變換進(jìn)行頻譜分析時(shí)頻率分辨的模糊性，這就是“頻譜泄漏

23、”。 同樣，頻域截?cái)?，?dǎo)致由離散傅立葉變換進(jìn)行信號恢復(fù)時(shí)域分辨的模糊性。 若信號在時(shí)域取得越短，即保持在時(shí)域有高的分辨率，那么由于窗函數(shù)的主瓣變寬因此在頻域的分辨率必然會下降。反之，也是如此。711010DFT: ( ) ( )( ),011( )( )( ),01: ( )( )( )NnkNnNnkNkt nTNX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNNx nx tRn隱含隱含著使用了矩形窗函數(shù)72 實(shí)際信號的幅度不但隨時(shí)間變化，而且其頻率也隨時(shí)間變化。如果想知道在某一個(gè)特定時(shí)間所對應(yīng)的頻率是多少，或?qū)δ骋粋€(gè)特定的頻率所對應(yīng)的時(shí)間是多少，那么傅立葉變換則無能為

24、力。 原因在于對給定的某一個(gè)頻率，為求得該頻率處的傅氏變換，需要整個(gè)時(shí)間的“知識”。反之，如果要求出某一時(shí)刻信號的值，同樣也需要整個(gè)頻率的“知識”。 傅氏變換是信號在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)所具有的頻率特征的平均表示。反之，也是如此。傅立葉變換不具有時(shí)間和頻率的同時(shí)“定位”功能。73不確定原理-時(shí)間和頻率不能同時(shí)測準(zhǔn)?！胺直媛省卑诵盘柕臅r(shí)域和頻域兩個(gè)方面，它是指對信號所能作出辨別的時(shí)域或頻域的最小間隔。 對在時(shí)域具有瞬變的信號，希望時(shí)域的分辨率要好（即時(shí)域的觀察間隔盡量短），以保證能觀察到該瞬變信號發(fā)生的時(shí)刻及瞬變的形態(tài)。74 而對在頻域具有兩個(gè)（或多個(gè)）靠得很近的譜峰的信號，希望頻域的分辨率要好（

25、即頻域的觀察間隔盡量短，短到小于兩個(gè)譜峰的距離），以保證能觀察這兩個(gè)或多個(gè)譜峰。 由于矩形窗的寬度和其頻譜主瓣的寬度成反比，因此，若信號在時(shí)域取得越短，即保持在時(shí)域有高的分辨率，那么由于主瓣變寬在頻域的分辨率必然會下降。反之，亦然。 所有這些都體現(xiàn)了傅立葉變換中在時(shí)域和頻域分辨率方面所固有的矛盾。75如果用基函數(shù)來代替傅立葉變換中的基函數(shù) ，則稱短時(shí)傅立葉變換（Short Time Fourier Transform, STFT）。式中 是一窗函數(shù)。實(shí)際意義是用 沿著t軸滑動(dòng)，因此可以不斷地截取一段一段的信號，然后對其作傅立葉變換，故得到的是 的二維函數(shù)。jtetgg)()(,tjejtetg

26、xgx)(),()(),(,),()()(*tSTFTdetgxxj)(g)(g),( t76 的作用是保持在時(shí)域?yàn)橛邢揲L，其寬度越小，則時(shí)域分辨率越好。在頻域，由于 為一 函數(shù)，因此仍可保持較好的頻域分辨率。使用不同的基函數(shù)可得到不同的信號分析變換，并得到不同的分辨率效果，比如小波變換。統(tǒng)稱為信號的時(shí)頻分析，是現(xiàn)代信號處理的主要研究內(nèi)容?，F(xiàn)代信號處理包括：短時(shí)傅立葉變換與Gabor分布,Wigner-Ville 分布，Cohen類時(shí)頻分布,小波變換以及最優(yōu)濾波(維納、卡爾曼等維納、卡爾曼等),自適應(yīng)濾波,功率譜估計(jì)功率譜估計(jì),高階統(tǒng)計(jì)量及其譜估計(jì)等等. )(gtje77對窗函數(shù)的要求：I）窗

27、譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡峭的過渡帶, 因?yàn)檫^渡帶等于主瓣寬度。II）最大旁瓣盡量小,即盡量減小窗譜的最大旁瓣的相對幅度，即能量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小，增大阻帶衰減。以上兩條是往往是相互制約的。2）各種窗函數(shù)782sin2sin)()()()()(21NWeWeWnRnwRNjRjRN主瓣寬度：N4旁瓣幅度為主瓣幅度的22.4%I）矩形窗窗函數(shù)： 窗譜幅度函數(shù)：傅里葉變換：13dB7921, 012( )212,112nNnNw nnNnNNII）巴特利窗（三角窗）112120 1 2 3 4 時(shí)域表達(dá)式：80主瓣寬度：N8旁瓣幅度為主瓣幅度的5.6%221122(1)sinsin224

28、4()1sinsin22NNjjjNNW eeeNN頻譜：()jW e4N 4N 即第一對零點(diǎn)為比矩形寬一倍。1()22sin()24(),11sin()2NjNeNN26dB8121)()()(12cos121)(NjjNeWeWnRNnnwIII）漢寧窗（ hanning，升余弦窗）22()()11111( )( )( )( )244jnjnNNNNNw nRneRneRn又由于1()2()( )( )NjjRRRWeF wnWe其中)2sin(/ )2Nsin()(WR82NWNWWWRRR2225. 0)(5 . 0)(N8旁瓣幅度為主瓣幅度的2.8%121225. 0)(5 . 0)

29、(NWNWWWRRR)n(xe F)e (Xnj)( j001N201()21()2() ( )11212( )()()24141( )jNjRRRNjW eF w nWWWeNNWe旁瓣較大程度地互相抵消，但主瓣加寬一倍，即為 ,83漢寧窗譜：84)(1sin)()(1cos)(nRNnnwnRNnnwNaNa漢寧窗是下面一類窗的特例（a=2時(shí)為漢寧窗）：8512223. 0)(54. 0)(NNWNWWWRRR)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN主瓣寬度：N8旁瓣幅度為主瓣幅度的0.89%IV）海明窗（改進(jìn)升余弦窗）121223. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR86

30、海明窗是下面一類窗的特例（a=0.54時(shí)為海明窗）：)(12cos)1 ()(nRNnaanwN87141404. 0121225. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRR)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN主瓣寬度：N12旁瓣幅度為主瓣幅度的0.14%V）布拉克曼窗（二階升余弦窗）88布拉克曼窗是下面一類窗的特例（M=2，a0=0.42，a1=0.50， a2=0.08時(shí)為布拉克曼窗）：)(12cos5 . 0) 1()(0nRmNnanwNmMmm89設(shè)計(jì)有限長單位沖擊響應(yīng)濾波器常用的幾種窗函數(shù)：9091各種窗函數(shù)的傅里葉變換N=51理想

31、低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)N=5192VI）凱澤窗上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、海明窗等，為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價(jià)的。而且，每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。凱澤在1966（1974）發(fā)現(xiàn)，利用第一類零階修正（變形）貝塞爾函數(shù)可以構(gòu)成一種近似最佳的窗9320011 21( ),01( )InNw nnNI當(dāng)0時(shí)，相當(dāng)于矩形窗；當(dāng)44. 5時(shí)，相當(dāng)于海明窗；當(dāng)5 . 8時(shí)，相當(dāng)于布拉克曼窗；)(0I是零階第一類變形貝塞爾函數(shù)。 是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，94它可同時(shí)調(diào)整主瓣寬度和旁瓣幅度， 越大，則窗越窄，而頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相

32、應(yīng)增加。2/ ) 1(Nn由圖可以看出, 以 為對稱中心，且是偶對稱,)1()(nNWnWkk00( )(1/2)1( )kIWNI01(0)(1)( )WW NI95凱澤窗函數(shù)：96：通帶截止頻率，由：通帶截止頻率，由 定定;11112:1/ Asp1()1jH e ：止帶截止頻率，由：止帶截止頻率，由 定定.2()jH esp過渡帶寬度過渡帶寬度()/2csp972220.4.2222220lg0.1102(8.7),500.5842(21)0.07886(21),21500,21(7.95)/2.285spAdBdBdBdBN 根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo),由經(jīng)驗(yàn)公式由經(jīng)驗(yàn)公式,可估算出凱可

33、估算出凱澤澤窗函數(shù) 值和值和 N .由上可見，最小阻帶衰減只由窗形狀決定，不受N的影響，而過渡帶的寬度則隨窗寬度的增加而減小。98凱澤窗函數(shù)對濾波器性能的影響：99各種窗函數(shù)的比較：100根據(jù)過渡帶寬選擇根據(jù)過渡帶寬選擇FIRFIR濾波器窗函濾波器窗函數(shù)類型和長度數(shù)類型和長度MM的公式的公式名稱近似過渡帶寬精確過渡帶寬(-3db)最小阻帶衰減矩形4/M1.8/M21dB巴特利特8/M6.1/M25dB漢寧8/M6.2/M44dB海明8/M6.6/M51dB布萊克曼12/M11/M74dB取Kaiser窗時(shí)用MATLAB中的kaiserord函數(shù)來得到長度M101根據(jù)給定的頻率響應(yīng))(jdeHI

34、）求：)()(jddeHIDTFTnhII）根據(jù)阻帶最小衰減要求，確定窗函數(shù) ，根據(jù)過渡帶的要求確定N；)(nw；III）求出FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)：1, 2 , 1 , 0),()()(NnnwnhnhdIV）求)()(nhDTFTeHj驗(yàn)證結(jié)果3）窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟102I）求 時(shí)，)(nhd4）窗函數(shù)法的主要問題deeHnhnjjdd)(21)(計(jì)算機(jī)利用求和代替積分時(shí)，會出現(xiàn)時(shí)域的周期延拓，產(chǎn)生時(shí)域的混疊；所以計(jì)算時(shí)，點(diǎn)數(shù)M要足夠大，即MN。103II）需要預(yù)先確定窗函數(shù)的形狀和窗序列的點(diǎn)數(shù)N?？梢酝ㄟ^累試法解決。III ）設(shè)計(jì)凱澤窗時(shí)，對零階第一類變形貝塞爾函數(shù)采用無窮級數(shù)來表達(dá)

35、：這個(gè)無窮級數(shù)可采用有限項(xiàng)級數(shù)來近似，項(xiàng)數(shù)由要求的精度來確定。12020)2(!11)2(!1)(kkkkxkxkxI104第一種情況，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。5）各種FIR濾波器的設(shè)計(jì)105I）線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)例：設(shè)計(jì)一個(gè)FIR線性相位低通數(shù)字濾波器，線性相位低通數(shù)字濾波器，設(shè)抽樣頻率通帶截止頻率為阻帶起始頻率為阻帶衰減至少為-50dB。sec)/(105 . 124radssec)/(1

36、05 . 123radpsec)/(10323radst( )h nN第一種為偶對稱， 為奇數(shù)。( )h nN或第二種為偶對稱， 為偶數(shù)。只能選取106（1）求對應(yīng)的數(shù)字頻率：)(2 . 02radfspspp阻帶起始頻率為：)(4 . 02radfsstsstst通帶截止頻率為：阻帶衰減為：dB502（2）理想線性相位低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：。 - , , 0- , )(ccccjjdeeH107sec)/(1025. 22)(213radstpc)(3 . 02radfscsccdeeHeHIDFTnhnjjdjdd)(21)()(11)22sin(),(),ccccjjnjncceede

37、dnnnn2/ ) 1( N其中108（3）確定窗的形狀、取樣點(diǎn)數(shù)N ：dB502，可選海明窗，其最小阻帶衰減為-53dB。要求的過渡帶為：)(2 . 0105 . 12105 . 122243radspst海明窗的過渡帶為：,6 . 62N332 . 06 . 66 . 6N109（5）求 ，進(jìn)行指標(biāo)的檢驗(yàn)。)(16cos46. 054. 0)16()16(sin)()()(nRnnnnwnhnhNcd故：)(jeH162/ ) 1( N)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN（4）海明窗：周期偶對稱。)(HN為奇數(shù)。h（n）偶對稱110% Windows_Method.m %

38、Linear Phase Lowpass Filter Design - Hamming window% Digital Filter Specifications:% wp = 0.2*pi; ws = 0.4*pi; wc=0.3*pi, % (Rp=0.25dB), As=-50dBwp = 0.2*pi; ws = 0.4*pi; As=50;tr_width = ws wp% M = ceil(1.8*pi/tr_width) + 1 % boxcar;As=21dB% M = ceil(6.1*pi/tr_width) + 1 % triang;As=25dB% M = ceil(

39、6.2*pi/tr_width) + 1 % hanning;As=44dBM = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1 % hamming;As=53dB% M = ceil(11*pi/tr_width) + 1 % blackman;As=74dB111 % kaiser;% M = ceil(As-7.95)/(14.36*tr_width/(2*pi)+1) + 1 % beta = 0.1102*(As-8.7) % kaiser;As50dB% beta = 0.584*(As-21)0.4+0.07886*(As-21) % kaiser;21As50dBn=0:

40、1:M-1;wc = (ws+wp)/2 % Ideal LowPass filter computationalpha = (M-1)/2;m = n - alpha + eps;hd = sin(wc*m) ./ (pi*m);112%wn=boxcar(M);%wn=triang(M);%wn=hanning(M);wn = hamming(M);%wn=blackman(M);% wn=kaiser(M,beta);% wn=chebwin(M+1,As); h = hd .* (wn);H,w = freqz(h,1,1000,whole);mag=abs(H);pha=angle(

41、H)113db=20*log10(mag+eps)/max(mag);delta_w = 2*pi/1000;Rp = (min(db(1:1:wp/delta_w+1) % Passband RippleAc = db(wc/delta_w+1) As = round(max(db(ws/delta_w+1:1:501) % Min Stopband attenuation% plotsfigure(1);subplot(3,1,1); stem(n,hd); title(Ideal Impulse Response)axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylab

42、el(hd(n);grid114subplot(3,1,2); stem(n,wn);title(Window)axis(0 M-1 0 1.1); xlabel(n); ylabel(w(n);gridsubplot(3,1,3); stem(n,h);title(Actual Impulse Response)axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(h(n);gridfigure(2);plot(w/pi,db);title(Actual Magnitude Response in dB);gridaxis(0,1,-100,10); xlabel(frequency in pi units); ylabel(|Hexp(jw) dB|)set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,wp/pi,wc/pi,ws/pi)set(gca,YTickMode,manual,YTick,As,Ac,Rp,0); 115figure(3);subplot(2,1,1);wd = 0,wc,wc,1;Hrd = 1,1,0,0; plot(w/pi,mag,wd/pi,Hrd );axis(0,1,0,1.5);title