高考新坐標(biāo)屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題突破四立體幾何問(wèn)題的求解策略課件

1、專題突破四高考立體幾何問(wèn)題的求解策略【反思啟迪】1.求直線和平面所成的角也有傳統(tǒng)法和向量法兩種傳統(tǒng)法關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影，從而找出線面角；向量法則可建立坐標(biāo)系， 利用向量的運(yùn)算求解用向量法可避開(kāi)找角的困難，但計(jì)算較繁，所以要注意計(jì)算上不要失誤2對(duì)于角的計(jì)算，一般是把所求角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，主要是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角解(1)證明：AE平面 CDE，CD平面 CDE，AECD.在正方形 ABCD 中，CDAD，ADAEA，CD平面 ADE.ABCD，AB平面 ADE.(2)以 D 為原點(diǎn)，分別以射線 DE，DC 為 x，y 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz

2、，如圖(2)所示由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2， 2)，B(1，1，0)設(shè)平面 ADE 的法向量為 m(x1，y1，z1)，平面 ABD 的法向量為 n(x2，y2，z2)，可算得AD(0，2， 2)，AE(1，2， 2)，DB(1，1，0)由mAD0，mAE0，得2y1 2z10，x12y1 2z10.可取 m(0，1， 2)由nAD0，nBD0，得2y2 2z20，x2y20，可取 n(1，1， 2)于是|cosm，n|mn|m|n|33232.由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角 BADE 的大小是6.【反思啟迪】1.當(dāng)空間直角坐

3、標(biāo)系容易建立時(shí)，用向量法較為簡(jiǎn)潔明快2用法向量求二面角的大小時(shí)，有時(shí)不易判斷兩法向量的大小是否就是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但我們完全可以根據(jù)圖形得出結(jié)論， 這是因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是比較明顯的【變式訓(xùn)練 2】 如圖 44， 在四棱錐 SABCD 中， 平面 SAD平面 ABCD.底面 ABCD 為矩形，AD 2a，AB 3a，SASDa.(1)求證：CDSA；(2)求二面角 CSAD 的大小圖 44解取 BC 的中點(diǎn) E，AD 的中點(diǎn) P，連結(jié) PE.在SAD 中，SASDa，P 為 AD 的中點(diǎn)，所以 SPAD.又因?yàn)槠矫?SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABC

4、DAD，所以，SP平面 ABCD.顯然有 PEAD.如圖，以 P 為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA 為 x 軸，PE 為 y 軸，PS 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 S0，0，22a，A22a，0，0，B22a， 3a，0，C22a，3a，0，D22a，0，0.(1)易知CD(0，3a，0)，SA22a，0，22a，因?yàn)镃DSA0，所以 CDSA.(2)設(shè) n(x，y，z)為平面 CSA 的法向量，則有nSA0，nCA0，即22ax22az0，2ax3ay0，取 n(3，2，3)顯然，EP平面 SAD，所以PE為平面 SAD 的一個(gè)法向量，所以 m(0，1，0)為平面 SAD 的一個(gè)法向量所以 cosn，

5、m22212，所以二面角 CSAD 的大小為3.類型 3利用向量解決立體幾何中的探索性問(wèn)題利用空間向量解決探索性問(wèn)題的一般方法是先設(shè)出該點(diǎn)，再設(shè)法求出該點(diǎn)的坐標(biāo)(1)若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，可直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)(2)若點(diǎn)在某條線段上，例如點(diǎn) P 在線段 CC1上，可設(shè)CPCC1， 從而點(diǎn) P 的坐標(biāo)可用表示出來(lái)， 再根據(jù)已知條件求值即可【典例 3】(2015濟(jì)南模擬)如圖 45，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于 2，ABC 和A1AC 均為60，平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)求證：BDAA1；(2)求二面角 DA1AC 的余弦值； 圖 45(3)在直線 CC1上是否存在點(diǎn) P， 使

6、 BP平面 DA1C1， 若存在，求出點(diǎn) P 的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思路點(diǎn)撥設(shè) BD 與 AC 交于點(diǎn) O，連結(jié) A1O，證明 OB，OC，OA1兩兩垂直，從而以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(1)證明AA1 BD0；(2)根據(jù)兩個(gè)平面的法向量夾角余弦值求二面角的余弦值；(3)設(shè)在直線 CC1上存在點(diǎn) P，使 BP平面 DA1C1，利用CPCC1，求出點(diǎn) P 坐標(biāo)，再根據(jù)BP與平面 DA1C1的法向量垂直求值規(guī)范解答設(shè) BD 與 AC 交于 O，則 BDAC，連結(jié) A1O，在AA1O 中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AA12AO22AA1AOcos 603，AO2A1O2A

7、A12，A1OAO.由于平面 AA1C1C平面 ABCD，A1O平面 ABCD.以 OB，OC，OA1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0，1，0)，B( 3，0，0)，C(0，1，0)，D( 3，0，0)，A1(0，0， 3)，C1(0，2， 3)(1)證明：由于BD(2 3，0，0)，AA1(0，1， 3)，AA1BD0(2 3)10 300，BDAA1.(2)由于 OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的一個(gè)法向量為 n1(1，0，0)設(shè) n2平面 AA1D，則n2AA1，n2AD，設(shè) n2(x，y，z)，則y 3z0， 3xy0，取 n

8、2(1，3，1)，則n1，n2即為二面角 DA1AC 的平面角，cosn1，n2n1n2|n1|n2|55，所以，二面角 DA1AC 的平面角的余弦值為55.(3)假設(shè)在直線 CC1上存在點(diǎn) P，使 BP平面 DA1C1，設(shè)CPCC1，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0，1， 3)，從而有 P(0，1，3)，BP( 3，1，3)，設(shè) n3平面 DA1C1，則n3A1C1，n3DA1，又A1C1(0，2，0)，DA1( 3，0，3)，設(shè) n3(x3，y3，z3)，2y30，3x33z30，取 n3(1，0，1)，因?yàn)?BP平面 DA1C1，則 n3BP，即 n3BP3 30，得1，即點(diǎn) P

9、 在 C1C 的延長(zhǎng)線上，且 C1CCP.【反思啟迪】 利用空間向量解決探索性問(wèn)題，可將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(組)是否有解的問(wèn)題， 通過(guò)解方程(組)來(lái)判斷是否有解【變式訓(xùn)練 3】(2015日照調(diào)研)如圖 46，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BECF，BCCF，AD 3，EF2，BE3，CF4.圖 46(1)求證：EF平面 DCE；(2)當(dāng) AB 的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角 AEFC 的大小為 60.解(1)證明：在BCE 中，BCBE，BCAD 3，BE3，EC2 3，在FCE 中，CF2EF2CE2，EFCE.由已知條件知，DC平面 EFCB，DCEF，又 DC 與 EC 相交于 C，EF平面 DCE.(2)如圖，以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CB，CF 和 CD 分別作為 x軸，y 軸和 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Cxyz.設(shè) ABa(a0)，則 C(0，0，0)，A(3，0，a)，B(3，0，0)，E(3，3，0)，F(xiàn)(0，4，0)，從而EF(3，1，0)，AE(0，3，a)設(shè)平面 AEF 的法向量為 n(x