離心率的五種求法

1、離心率的五種求法離心率是圓錐曲線中的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn).橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率一、 直接求出，求解已知標(biāo)準(zhǔn)方程或易求時(shí)，可利用離心率公式來求解。例1. 過雙曲線C：的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且|AB|=|BC|，則雙曲線M的離心率是（ ）A. B. C. D. 分析：這里的，故關(guān)鍵是求出，即可利用定義求解。解：易知A（-1，0），則直線的方程為。直線與兩條漸近線和的交點(diǎn)分別為B、C，又|AB|=|BC|，可解得，則故有，從而選A。二、變用公式，整體求出例2. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

2、 ）A. B. C. D. 分析：本題已知，不能直接求出a、c，可用整體代入套用公式。解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以 ，則，從而選A。1.設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于( C )A. B.2 C. D. 解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切，所以，即.2.過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若，則雙曲線的離心率是 ( ) A B C D答案：C 【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，即，3.過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率

3、為( ) A B C D 【解析】因?yàn)椋儆捎屑磸亩傻?，故選B三、構(gòu)造、的齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件，借助、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率。例3.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸， 直線交軸于點(diǎn)若，則橢圓的離心率是（ ）A B C D 【解析】對(duì)于橢圓，因?yàn)?，則 1.設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn), 若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為( ) A B C D3【解析】由有,則,故選B.2.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為、，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 解：如圖所示，不妨設(shè)，則，又，在中， 由余弦定理，得,即，

4、，故選B3.設(shè)是等腰三角形，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（ B ）AB C D4.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為( )A. B. C. D.解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，解得.5.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ D ）A. B. C. D. 解：由6.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）ABCD7.設(shè)分別是雙曲

5、線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ B ）ABCD解8如圖，和分別是雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 6.解析：連接AF1，AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c， ，雙曲線的離心率為，選D。9. 設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（ ）A B C D 10.設(shè)雙曲線（）的半焦距為，直線過，兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 解：由已知，直線的方程為，由點(diǎn)

6、到直線的距離公式，得，又, ,兩邊平方，得，整理得，得或，又 ，故選A11.知、是雙曲線（）的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為， 把P點(diǎn)坐標(biāo)代人雙曲線方程，有，化簡(jiǎn)得 解得，故選D四、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。例4：設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，若過且垂直于軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)到的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖所示，是過且垂直于軸的弦，于，為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義， 1在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且

7、垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：2在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C D 五、構(gòu)建關(guān)于的不等式，求的取值范圍1已知雙曲線（）的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B C D 2橢圓（）的焦點(diǎn)為、，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為、，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）AB CD1.雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率， ，離心率e2=， e2，選C2.橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，