第十一章 第4節(jié)

1、第4節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入最新考綱1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.知 識 梳 理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如abi(aR，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中實部為a，虛部為b若b0，則abi為實數(shù)；若a0且b0，則abi為純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共軛復(fù)數(shù)abi與cdi共軛ac且bd(a，b，c，dR)復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示

2、純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù)復(fù)數(shù)的模設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zabi，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)zabi的模|z|abi|2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的，即(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，bR).(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)平面向量.3.復(fù)數(shù)的運算設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)

3、(adbc)i；(4)除法：(cdi0).常用結(jié)論與微點提醒1.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.2.(1±i)2±2i；i；i.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.()(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(3)原點是實軸與虛軸的交點.()(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()解析(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小.答案(1)×(2)×(3)(4)2.(2

4、019·全國卷)設(shè)(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a()A.3 B.2 C.2 D.3解析因為(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3.答案A3.(2019·全國卷)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zi(2i)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析由題意，得z12i，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限.答案C4.(2019·江蘇卷)已知復(fù)數(shù)z(1i)(12i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是_.解析z(1i)(12i)13i，所以|z|.答案5.(選修12P63B1改編)已知(12i)43i，則z_.解析2i，

5、z2i.答案2i考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】 (1)(2019·全國卷)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1i)2 B.i2(1i)C.(1i)2 D.i(1i)(2)(2019·全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則|z|()A. B. C. D.2(3)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A.3，2 B.3，2 C.3，3 D.1，4解析(1)由(1i)22i為純虛數(shù)知選C.(2)zi1，則|z|.(3)(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.答案(1)C(2)C(3)A規(guī)律方法1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以

6、轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.2.解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部.【訓(xùn)練1】 (1)(2019·廣東名校聯(lián)考)已知z(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.i B.i C.1 D.1(2)(2019·全國卷)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4解析(1)zi，

7、則i，則的虛部為1.(2)p1：設(shè)zabi(a，bR)，則R，得到b0，所以zR，故p1正確；p2：若z21，滿足z2R，而z±i，不滿足zR，故p2不正確；p3：若z11，z22，則z1z22，滿足z1z2R，而它們實部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故p3不正確；p4：因復(fù)數(shù)zR，所以z的虛部為0，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故p4正確.答案(1)D(2)B考點二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】 (1)復(fù)數(shù)zi(1i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標(biāo)為()A.(1，1) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)(2)(2019·北京卷)若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象

8、限，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，1) B.(，1)C.(1，) D.(1，)解析(1)因為zi(1i)1i，故復(fù)數(shù)zi(1i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1，1).(2)(1i)(ai)a1(1a)i的對應(yīng)點在第二象限，則a<1.答案(1)D(2)B規(guī)律方法1.復(fù)數(shù)zabi(a，bR)Z(a，b)(a，b).2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.【訓(xùn)練2】 (1)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H(2)(2019·北

9、京卷)設(shè)aR，若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a_.解析(1)由題圖知復(fù)數(shù)z3i，2i.表示復(fù)數(shù)的點為H.(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)D(2)1考點三復(fù)數(shù)的運算【例3】 (1)(2019·全國卷)()A.12i B.12i C.2i D.2i(2)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A.i B.i C.1 D.1(3)(2019·全國卷)(1i)(2i)()A.1i B.13i C.3i D.33i解析(1)2i.(2)因為i607(i2)303·ii，i的共軛復(fù)數(shù)為i.(3)由題意(1i)

10、(2i)23ii213i.答案(1)D(2)A(3)B規(guī)律方法復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式.【訓(xùn)練3】 (1)(2019·山東卷)已知aR，i是虛數(shù)單位.若zai，z·4，則a()A.1或1 B.或C. D.(2)_.解析(1)由已知得(ai)(ai)4，a234，解得a±1.(2)原式i61i.答案(1)A(2)1i基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1.(2019·四川卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)2()A.0 B.2 C.2i D.22i解析(1i)21

11、2ii22i.答案C2.(2019·合肥質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，則()A. B. C. D.解析.答案D3.(2019·山西康杰中學(xué)、臨汾一中等五校聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B.i C. D.i解析z2i2ii.答案A4.(2019·石家莊質(zhì)檢)在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因為i，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第四象限.答案D5.(2019·山東卷)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi1i，則z2()A.2i B.2i C.2 D.2解析由zi1i，得z1i，z2(1i)22i.答案A6.(

12、2019·山西四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位，若abi(a，bR)，則lg(ab)的值是()A.2 B.1 C.0 D.解析iabi，lg(ab)lg 10.答案C7.(2019·北京東城綜合測試)若復(fù)數(shù)(m2m)mi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.1 B.0 C.1 D.2解析因為復(fù)數(shù)(m2m)mi為純虛數(shù)，所以解得m1.答案C8.(2019·全國卷)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實數(shù)，則|xyi|()A.1 B. C. D.2解析由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|.答案B二、填空題9.復(fù)數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是_.解析(1

13、2i)(3i)35i2i255i，所以z的實部為5.答案510.(2019·天津卷)已知aR，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為_.解析i為實數(shù)，則0，a2.答案211.若abi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.解析(3b)(3b)ii.解得ab3.答案312.(2019·浙江卷)已知a，bR，(abi)234i(i是虛數(shù)單位)，則a2b2_，ab_.解析由已知(abi)234i.即a2b22abi34i.從而有解得則a2b25，ab2.答案52能力提升題組(建議用時：10分鐘)13.(2019·濮陽一模)計算()A.2i B.0C.2i D.2解析i，i，(i4)504·i(i)4504·(i)ii0.答案B14.設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A.若|z1z2|0，則12B.若z12，則1z2C.若|z1|z2|，則z1·1z2·2D.若|z1|z2|，則zz解析A中，|z1z2|0，則z1z2，故12，成立；B中，z12，則1z2成立；C中，|z1|z2|，則|z1|2|z2|2，即z1·1