第八章多元函數(shù)微積分

1、第八章 多元函數(shù)微積分試題三一、填空題(2´10=20分)1. 母線平行于Y軸，且通過(guò)曲線的柱面方程是。解析：方程不含y時(shí)，表示母線平行于Y軸的柱面。消去y2得到3x2+2z2=16，為所求的柱面方程 2. 設(shè)(x,y)¹(0,0)時(shí)，f(x,y)=(x2-y2)-sin, 則 f(x+y,x-y)= 。解析：f(x+y,x-y)= (x+y)2-(x-y)2)-sin = 4xy-sin3. 設(shè)f(x,y)=，則 fx¢(0,0)=。解析： f¢x(x0,y0)=, fx¢(0,0)=0 4. 設(shè)z=fx,g(x,y), y=f(x)，f,

2、g, f 均為可微函數(shù)，則=。解析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)規(guī)則，= f ¢1 +f ¢2 (g¢x+g¢yf¢) 5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，則 = 。解析：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)規(guī)則， = (- )(- )(- ) = -1 6. 設(shè)z=f (arctan)，f為可微函數(shù)，且f ¢(x)=x2, 則 |(1,1) =。解析：據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)規(guī)則，= f ¢(arctan)f ¢(arctan)=f ¢()= , |(1,1) = = - 7. 交換積分次序 òdyòf(x

3、,y)dx =。 解析：D: D1: D2: I = òdxòf(x,y)dy + òdxòf(x,y)dy 8. 設(shè)z=z(x,y)=f(2x-y)，且已知 z(x,1)=x2-2x+3，則 |(x,2)=。解析： z(x,1)=f(2x-1)=x2-2x+3, f(2x-1)=2x2-4x+6, 令u=2x-1, x=(u+1)/2, f(u)=2(u+1)2/4-2(u+1)+6=(u+1)2/2-2(u+1)+6, f ¢(u)=u+1-2=u-1, f ¢(2x-2)=2x-3所以 =f ¢(2x-y)2， |(x

4、,2)=f ¢(2x-2)=x 3/2 9. 設(shè) u=()z ，則du |(1,1,1) = 。解析：=()z-1 , |(1,1,1) =1 ; =()z-1 () , |(1,1,1) = -1, du |(1,1,1) =dx dy 10. 設(shè) f (x-az,y-bz) =0，則 a + b =。解析：= - = - , = - = - 所以a + b =1 二、選擇題(2´10=20分)1設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處 ( )A、有極限 B、連續(xù) C、可微 D、以上都不成立 解析：偏導(dǎo)數(shù)存在是一個(gè)較弱的條件，不

5、能推出有極限、連續(xù)、及可微，故選D2. 設(shè) f(x)=òe-t2dt，則 = ( )A、e-x4y2B、e-x4y2 2xy C、e-x4y2 (-2t) D、e-x4y2 (-2x2y) 解析：利用積分上限函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，得到B正確 3. 已知f(x,y)在(a,b)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則 = ( )A、0 B、fx¢(2a,b) C、fx¢(a,b) D、2fx¢(a,b) 解析：=+=2fx¢(a,b) 選D4. 設(shè)f (x,)= xsin ，則 = ( )A、sin+x cosB、xsinC、sinD、xcos解析：替換自變量名稱 f (u,v

6、)= xsin = usin f(x,y)= xsin , 則 = sin 故選C 5. 累次積分òdqòf(rcosq,rsinq)rdr 可寫成 ( )A、òdxòf(x,y)dy B、òdxòf(x,y)dy C、òdyòf(x,y)dx D、òdyòf(x,y)dx 解析： 畫出積分區(qū)域?yàn)镈: x2+y2-y=0 與Y軸右半部分，òdyòf(x,y)dx故選D 6. 函數(shù) z=在點(diǎn)(0,0) 處 ( )A、不連續(xù) B、連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 C、取極小值 D、無(wú)極值 解析：

7、函數(shù) z=在點(diǎn)(0,0) 處連續(xù)，顯然z在(0,0)處取極小值。故選C7. 設(shè) z=ln(xy+)，則 = ( )A、0 B、1 C、D、解析：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) = (y+) = , = 0 故選A8. 設(shè) x+z =yf (x2-z2)，則 z + y = ( )A、x B、y C、zD、yf (x2-z2) 解析：利用隱函數(shù)求導(dǎo) = - = , = - = ,z + y = = = x 故選A9. 設(shè)D是 |x|+|y|£1所圍成區(qū)域, D1是由直線x+y=1和X軸,Y軸所圍成的區(qū)域，則 = ( )A、4B、0 C、2zD、2 解析：利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及 被積函數(shù)的奇偶性 =0

8、 于是 =+=2+0=2 故選D10. 若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處取極大值，則 ( )A、fx¢(x0,y0)=0, fy¢(x0,y0)=0 B、若(x0,y0)是D內(nèi)唯一極值點(diǎn)，則必為最大值點(diǎn) C、fxy²(x0,y0)2- fxx²(x0,y0)fyy²(x0,y0)<0,且fxx²(x0,y0)<0 D、以上結(jié)論都不正確解析：A不真，(x0,y0)只是一個(gè)駐點(diǎn)； B不真，要求在D內(nèi)連續(xù)；C不真，要求(x0,y0)是駐點(diǎn)； 故選D三、計(jì)算題(6´6=36分)1. 設(shè)z=(1-2xy+y2)-1/

9、2，證明：(1-x2)+y2 = 0. 證明：計(jì)算 =yz3, =(x-y)z3, =3y2z5, = -z3+3(x-y)2z5, (1-x2)= -2xyz3+3(1-x2)y2z5 , y2=2y(x-y)z3- y2z3+3y2(x-y)2z5 ,(1-x2)+y2 = 3y2z51-x2-(1-2xy+y2)+(x-y)2 = 3y2z50 = 0 2 .設(shè)r=f(u,v), u=tx, v=ty，求 。解析：= fu¢x+ fv¢y , =xf²uu+yf²uvx+xf²vu+yf²vvy = x2f²uu+2x

10、yf²uv+y2f²vv3. 設(shè)y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0確定的x, y函數(shù)，試證： = 解析：=+, 變形 (1-)=+ , 解出 ，再由隱函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算與 ，代入即得到所證明的等式。 4. 設(shè)x2+y2+z2=a2 (x>0, y>0, z>0)，求 xy+yz+zx的極值。解析：用拉格朗日乘數(shù)法，目標(biāo)函數(shù) f(x,y,z)= xy+yz+zx約束條件: x2+y2+z2=a2令拉格朗日函數(shù) F(x,y,z,l)= xy+yz+zx+l( x2+y2+z2-a2)則 F¢x=y+z+2lx=0, F¢y=x+z

11、+2ly=0, F¢z=y+x+2lz=0, x2+y2+z2=a2前三式相加得到 2(x+y+z)+2l(x+y+z)=0, 所以l= -1, 代入得 x=y=z, 則 x=y=z=a/，根據(jù)實(shí)際意義它是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，最大值為 f=a25. 求 òdxòdy解析：改變積分次序得到 I = òdyòdx = ò dy = òdy= òdy3 = | = (1) 6. 計(jì)算 òòdxdy解析：化為極坐標(biāo)計(jì)算，積分區(qū)域如圖 原積分 I = òdqòrdr = ò

12、;arcsin|dq= ò-qdq= -|= 四、(8分) 某企業(yè)現(xiàn)有以種商品1萬(wàn)件，打算同時(shí)在兩個(gè)地區(qū)銷售，這兩個(gè)地區(qū)需求函數(shù)分別為Q1=10000 500p1和Q2=5500 250p2，銷售成本分別為C1=1000+5Q1和C2=500+5.5Q2，應(yīng)如何確定售價(jià)才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)。解析：總利潤(rùn) L=Q1P1C1+Q2P2C2=Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) 1500約束條件： Q1+Q2=10000 即 2p1+p2=22令 F(p1,p2,l)= Q1(P1-5)+Q2(P2-5.5) 1500+l(2p1+p222)F¢p1= -500(p1-5)+Q1+2l=0 (利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))F¢p1= -250(p2-5.5)+Q2+l=02p1+p2=22前二式消去l，得到 p2-p1=1.25 , 解得 p1=2075/300=6.92, p2=8.16, 為最大值點(diǎn)，最大值 L(6.92, 8.16)= 20087.6 能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)為 20087.6 單位。 五、證明題(2´8=16分)1. 設(shè)z=z(x,y)是由ax+by+cz=f(x2+y2+z2)定義的函數(shù)，其中f(u)是一個(gè)可微函數(shù)，a,b,c為常數(shù)，證明z=z(x,y)是方程 (cy-bz)+(az-cx)=bx-ay 的解。證明：= -