第七章無窮級數(shù)33458

1、第七章 無 窮 級 數(shù)一常數(shù)項級數(shù)例1：若級數(shù)（）收斂，證明 （1）收斂； （2）收斂； （3）收斂； （4）收斂例2：若級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為 （）； （）； （）； （）例3：判別下列級數(shù)的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6）例4：已知，證明級數(shù)收斂，并求這個級數(shù)的和。例5：若，討論級數(shù)的斂散性。例6：設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂。例7：已知（1） 求的值；（2） 試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂。例8：設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？并說明理由。例9：設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，證明（1）；（2）對于區(qū)間內(nèi)的任意固定的，級數(shù)絕對收斂

2、。例10：設(shè)滿足條件：對于任意的，存在常數(shù)，有，對于給定的，定義試證明：（1）級數(shù)絕對收斂；（2）極限存在，記為；（3）與無關(guān)，且。例11：設(shè) 討論級數(shù)的斂散性。例12：設(shè)，證明存在。例13：設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（）收斂，發(fā)散； （）收斂，發(fā)散；（）收斂； （）收斂。（2005年數(shù)學(xué)三）例14：設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）若，則級數(shù)收斂；（）若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散；（）若級數(shù)收斂，則；（）若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得。（答案：（）（2004年數(shù)學(xué)一）例15：設(shè)有方程，其中為正整數(shù)。證明此方程存在惟一正實根，并證明當(dāng)時，級數(shù)收斂。例16：設(shè)有以下命題：若收斂，則

3、收斂若收斂，則收斂若，則發(fā)散若收斂，則，都收斂則以上命題中正確的是（） （）（） （）（答案：（） （2004年數(shù)學(xué)三）二冪級數(shù)例1：若在處收斂，則此級數(shù)在處 （）條件收斂； （）絕對收斂； （）發(fā)散 （）斂散性不能確定例2：求下列冪級數(shù)的收斂域： （1）（）； （2）； （3）； （4）例3：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并求其和函數(shù)。例4：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。例5：已知 且對任何自然數(shù)，證明當(dāng)時，冪級數(shù)收斂，并求其和函數(shù)。例6：求級數(shù)的和。例7：求級數(shù)的和。例8：已知求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)。例9：，求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域。例10：求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。（2006年數(shù)學(xué)三）例11：求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。（2005年數(shù)學(xué)一）例12：將函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域。例13：將函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域。例14：設(shè)，試將展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。（2001年數(shù)學(xué)一）例16：將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。（2003年數(shù)學(xué)一）例17：設(shè)有冪級數(shù) （1） 求此級數(shù)的收斂域；（2） 證明此級數(shù)的和函數(shù)滿足微分方程（3） 求微分方程 的通解，