第二章 2.3.2 第2課時(shí)

1、第2課時(shí)拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的幾何特性.2.學(xué)會(huì)解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問題知識(shí)點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系思考1直線與拋物線有哪幾種位置關(guān)系？答案三種：相離、相切、相交思考2若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物線一定相切嗎？答案不一定，當(dāng)平行或重合于拋物線的對(duì)稱軸的直線與拋物線相交時(shí)，也只有一個(gè)交點(diǎn)梳理(1)直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn)個(gè)數(shù).位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有兩個(gè)或一個(gè)公共點(diǎn)相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相離無公共點(diǎn)(2)直線ykxb與拋物線y22px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的個(gè)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，若>0，則直線與拋物

2、線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)當(dāng)k0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)1若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切(×)2直線與拋物線相交弦的弦長(zhǎng)公式是|AB|·|x1x2|x1x2p.(×)3過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.()類型一直線與拋物線的位置關(guān)系例1已知直線l：yk(x1)與拋物線C：y24x，問：k為何值時(shí)，直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，無交點(diǎn)？

3、考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)解由方程組消去y，得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)(1)若直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則k20且>0，即k20且16(1k2)>0，解得k(1,0)(0,1)所以當(dāng)k(1,0)(0,1)時(shí)，直線l和拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)(2)若直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，則k20或當(dāng)k20時(shí)，0，解得k0或k±1.所以當(dāng)k0或k±1時(shí)，直線l和拋物線C有一個(gè)交點(diǎn)(3)若直線與拋物線無交點(diǎn)，則k20且<0.解得k>1或k<1.所以當(dāng)k>1或k<1時(shí)，直線l和拋物線C無交點(diǎn)反思

4、與感悟直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù)注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況跟蹤訓(xùn)練1平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)F(0,1)和到定直線y1的距離相等，設(shè)M的軌跡是曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)在曲線C上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線yx2的距離最短，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線l：yxm，問當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，直線l與曲線C有交點(diǎn)？考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)解(1)x24y.(2)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線yx2的距離為，當(dāng)x02時(shí)，取得最小值，此時(shí)P(2,1)(3)由得x24x4m0，424×(4m)0，m

5、1.所以當(dāng)m1時(shí)，直線l和曲線C有交點(diǎn)類型二與弦長(zhǎng)中點(diǎn)弦有關(guān)的問題例2已知A，B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，若拋物線E的焦點(diǎn)為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分(1)求拋物線E的方程；(2)求直線AB的方程考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)弦中點(diǎn)問題解(1)由于拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以1，p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22.由得，(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以2.所以所求直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30.反思與感悟中點(diǎn)弦問題有兩種解法：(1)點(diǎn)差法：將兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物

6、線的方程，作差，由k求斜率，再由點(diǎn)斜式求解(2)傳統(tǒng)法：設(shè)直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得兩根之和即為中點(diǎn)縱(或橫)坐標(biāo)的2倍，從而求斜率跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線y26x，過點(diǎn)P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)弦中點(diǎn)問題解方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設(shè)所求方程為y1k(x4)由得ky26y24k60.當(dāng)k0時(shí)，y1，顯然不成立當(dāng)k0時(shí)，624k(24k6)>0.設(shè)弦的兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P

7、2的中點(diǎn)為(4,1)，2，k3，適合式所求直線方程為y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1·y222，|P1P2|.方法二設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)則y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直線的斜率k3，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|·.類型三拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題角度1拋物線中的定點(diǎn)(定值)問題例3已知點(diǎn)A，B是拋物線y22px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OAOB.(1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；(2)求證：直線AB過定點(diǎn)考點(diǎn)直線與拋物線的位置

8、關(guān)系題點(diǎn)定點(diǎn)(定值)問題(1)解設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有kOA，kOB.因?yàn)镺AOB，所以kOA·kOB1，所以x1x2y1y20.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以·y1y20.因?yàn)閥10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)證明因?yàn)閥2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直線AB的方程為yy1(xx1)，所以yy1，即y.因?yàn)閥2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直線AB過定點(diǎn)(2p,0)反思與感悟在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題，解

9、決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3如圖，過拋物線y2x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)定點(diǎn)(定值)問題證明方法一設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為k.把直線AB的方程y2k(x4)與y2x聯(lián)立得y2k(y24)，即ky2y4k20.y2是此方程的一個(gè)解，2yB，yB，xBy，B.kACk，以k代替k代入B點(diǎn)坐標(biāo)得C.kBC，為定值方法二設(shè)B(y，y1)，C(y，y2)，則kBC.kAB，kAC，由題意得kABkAC，則y1y24，則kBC

10、，為定值命題角度2對(duì)稱問題例4在拋物線y24x上恒有兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線ykx3對(duì)稱，求k的取值范圍考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)對(duì)稱問題解因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于直線ykx3對(duì)稱，所以可設(shè)直線AB的方程為xkym.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線AB的方程代入拋物線方程，得y24ky4m0，設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0)，則y02k，x02k2m.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在直線ykx3上，所以2kk(2k2m)3，即m.因?yàn)橹本€AB與拋物線y24x交于A，B兩點(diǎn)，所以16k216m>0，把m代入，化簡(jiǎn)，得<0，所以<0.因?yàn)閗2k32>0，所以<0，解得1

11、<k<0.反思與感悟軸對(duì)稱問題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練4已知拋物線yx23上存在關(guān)于直線xy0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，求A，B兩點(diǎn)間的距離考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)對(duì)稱問題解由題意可設(shè)l：yxb，把直線方程代入yx23中，得x2xb30.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樵擖c(diǎn)在直線xy0上所以0，得b1.所以|AB|x1x2|3.所以A，B兩點(diǎn)間的距離為3.1過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有()A4條 B

12、3條C2條 D1條考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題答案B解析當(dāng)斜率不存在時(shí)，過P(0,1)的直線是y軸，與拋物線y2x只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為ykx1.由消去y，得k2x2(2k1)x10，當(dāng)k0時(shí)，符合題意；當(dāng)k0時(shí)，令(2k1)24k20，得k.與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線共有3條2已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|MN|等于()A2 B12C1 D13考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求比值答案C解析如圖所示，由拋物線定義知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHN

13、FOA，則，故，則|MH|MN|1，即|MF|MN|1.3已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，設(shè)C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A. B. C. D.考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用答案D解析點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線x上，2，p4，拋物線C：y28x.設(shè)直線AB的方程為xk(y3)2，將與y28x聯(lián)立，得y28ky24k160，令(8k)24(24k16)0，解得k2或k.當(dāng)k時(shí)，切點(diǎn)在第四象限，與題意不符，舍去將k2代入，得即B(8,8)又F(2,0)，kBF.故選D.4過拋物線y24x的

14、頂點(diǎn)O作互相垂直的兩弦OM，ON，則M的橫坐標(biāo)x1與N的橫坐標(biāo)x2之積為_考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)定點(diǎn)(定值)問題答案16解析由已知設(shè)OM的斜率為k，則ON的斜率為.從而OM的方程為ykx，聯(lián)立方程解得M的橫坐標(biāo)x1.同理可得N的橫坐標(biāo)x24k2，可得x1x216.5已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y2x4所得的弦長(zhǎng)|AB|3，求此拋物線的方程考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)由拋物線弦長(zhǎng)求解相關(guān)問題解設(shè)所求拋物線方程為y2ax(a0)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2(a16)x160，由(a16)2256>0，得a>0或a<32.又x1x2

15、，x1x24，|AB|3，即545，a4或a36.所求拋物線的方程為y24x或y236x.求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法；直線和拋物線的弦長(zhǎng)問題、中點(diǎn)弦問題及垂直、對(duì)稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化.一、選擇題1與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程為()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)求拋物線中的直線方程答案D解析設(shè)直線方程為2xym0，由得x22xm0，44m0，m1，直線方程為2xy10.2已知圓C：(x2)2y2r2與拋物線D：y220x的準(zhǔn)線交于A

16、，B兩點(diǎn)，且|AB|8，則圓C的面積是()A5 B9 C16 D25考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用答案D解析拋物線D：y220x的準(zhǔn)線方程為x5.圓C的圓心(2,0)到準(zhǔn)線的距離d3.又由|AB|8，r2d2225，故圓C的面積S25，故選D.3已知拋物線y4x2上一點(diǎn)到直線y4x5的距離最短，則該點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,2) B(0,0)C. D(1,4)考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)距離的最值問題答案C解析因?yàn)閥4x2與y4x5不相交，設(shè)與y4x5平行的直線方程為y4xm.則即4x24xm0.設(shè)此直線與拋物線相切有0，即1616m0，m1.將m1代入式，得x，y

17、1，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.4已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|等于()A2 B2 C4 D2考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求距離答案B解析由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為xM23，p2，y24x.y4×28，|OM|2.5設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若·4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(2，±2) B(1，±2)C(1,2) D(2,2)考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用答案B解析拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A，則

18、，由·4，得y0±2，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)或(1，2)6直線ykx2交拋物線y28x于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k等于()A2或2 B1C2 D3考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)弦中點(diǎn)問題答案C解析由題意知得k2x2(4k8)x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則2，即x1x24，x1x24，k2或1，經(jīng)判別式檢驗(yàn)知k2符合題意7已知直線l：yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M，N，若|AM|2|BN|，則k的值是()A. B. C2 D.考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的位置

19、關(guān)系的綜合應(yīng)用答案D解析設(shè)拋物線C：y28x的準(zhǔn)線為m：x2.直線yk(x2)(k>0)恒過定點(diǎn)P(2,0)，如圖，過點(diǎn)A，B分別作AMm于點(diǎn)M，BNm于點(diǎn)N.由|AM|2|BN|，得點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB，則|OB|AF|，|OB|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)把B(1,2)代入直線l：yk(x2)(k>0)，解得k，故選D.二、填空題8平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是_考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)答案(，1)(1，)解析由題

20、意知機(jī)器人進(jìn)行的軌跡為以F(1,0)為焦點(diǎn)，x1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y24x.設(shè)過點(diǎn)P(1,0)且斜率為k的直線方程為yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.機(jī)器人接觸不到該直線，(2k24)24k4<0，k2>1，k>1或k<1.9拋物線焦點(diǎn)在y軸上，截得直線yx1的弦長(zhǎng)為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)弦長(zhǎng)問題答案x220y或x24y解析設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)，由得x2xa0.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2a，|AB| · ·5，得a20或4，經(jīng)

21、檢驗(yàn)，a20或4都符合題意拋物線方程為x220y或x24y.10已知拋物線y2x2上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線yxm對(duì)稱若2x1x21，則2m的值是_考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)對(duì)稱問題答案3解析由題意，得k2(x2x1)1，x2x1.m，y1y2x1x22m，2x2x2m，即2(x1x2)24x1x22m，2m3.11拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.考點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題答案6解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為y.代入1，得|x| .若ABF為等邊三角形，則

22、tan ，解得p236，p6.三、解答題12已知拋物線y2x與直線yk(x1)相交于A，B兩點(diǎn)(1)求證：OAOB；(2)當(dāng)OAB的面積等于時(shí)，求k的值考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用(1)證明如圖所示，由消去x，得ky2yk0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y21，y1y2.因?yàn)锳，B在拋物線y2x上，所以yx1，yx2，所以y·yx1x2.因?yàn)閗OA·kOB·1，所以O(shè)AOB.(2)解設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N，顯然k0，令y0，得x1，即N(1,0)，因?yàn)镾OABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2

23、|ON|·|y1y2|，所以SOAB·1· .因?yàn)镾OAB，所以 ，解得k±.13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(diǎn)(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；(2)如果·4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)定點(diǎn)(定值)問題解(1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)l：xty1，代入拋物線方程y24x，消去x，得y24ty40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24.所以·x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y

24、2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x，得y24ty4b0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b.因?yàn)?#183;x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又·4，b24b4，解得b2，故直線l過定點(diǎn)(2,0)四、探究與拓展14如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A，B兩點(diǎn)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m(m0)，點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則DAB的面積S的取值范圍為_考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與