第117講流體力學(xué)(三)(2010年新版)

1、四、靜止液體作用在曲面上的總壓力在工程中常常會(huì)遇到曲面受壓?jiǎn)栴}，如弧形間門，圓柱形油箱等。作用在曲面任意點(diǎn)的液體靜壓強(qiáng)都沿其作用面的內(nèi)法線方向垂直于作用面，但曲面各處的內(nèi)法線方向不同，彼此互不平行，也不一定交于一點(diǎn)。因此，求曲面上的總壓力時(shí)，一般將其分為水平方向和鉛直方向的分力分別進(jìn)行計(jì)算。現(xiàn)研究二向曲面（如柱面、圓弧曲面） AB 上的液體總壓力。圖 6-2-13AB 為垂直于紙面的柱體，長(zhǎng)度 l ，受壓曲面 AB ，其左側(cè)承受液體的壓力。設(shè)在曲面土，深度 h 處取一微小面積 dA ，作用在 dA 上的壓力 dP= pdA = ghdA ，該力垂直于面積 dA ，并與水平面成夾角a，此力可分解

2、成水平分力 dPx= dPcosa = gh dAcosa和垂直分力 dPz= dP sina =gh dAsina .因?yàn)?dAcosa 和dAsina 分別等于微小面積 dA 在鉛直面和水平面上的投影令 dAx = dAcosa， dA z = dAsina，所以 dPx =gh dAx 及 dPz= gh dAz ，經(jīng)積分可得：式（ 6-2-9 ）右邊的積分等于曲面 AB 在鉛直平面上投影面積 Ax 對(duì)液面的水平軸 oy 的靜矩. 設(shè) hc 為 A x 的形心在液面下的淹沒深度，則因此可見，作用于曲面上的液體總壓力P的水平分力Px等于該曲面的鉛直投影面上的總壓力。因此，可以引用求平面總壓

3、力的方法求解曲面上液體總壓力的水平分力。式 （6-2-10）右邊的 hdAz , 是以 dAz 為底面積，水深h為高的柱體體積。hdAz即受壓曲面 AB 與其在自由面上的投影面積CD這兩個(gè)面之間的柱體體積 ABCD ，稱為壓力體，以 V 表示。所以這就是說(shuō)，作用于曲面上液體總壓力P的鉛直分力Pz等于其壓力體內(nèi)的液體重量?？梢娬_繪制壓力體是求解鉛直分力的關(guān)鍵.壓力體是由三種面封閉所成的體積：即 1 ）曲面本身； 2 ）液體的自由表面（相對(duì)壓強(qiáng)為零）或自由表面的延長(zhǎng)面； 3 ）自曲面兩端向自由表面作鉛垂面。Pz的指向取決于受壓曲面和液體的相對(duì)位置：液體在受壓曲面的上方則Pz向下；液體在受壓曲面的

4、下方則Pz向上。求出Px和 Pz 后可求PP與水平線的夾角其作用線必通過(guò)Px與Pz作用線的交點(diǎn)。P的作用點(diǎn)位于 P 的作用線與曲面的交點(diǎn). 但對(duì)許多實(shí)際問(wèn)題往往只需求出Px，Pz即可，并不需要計(jì)算合力P。 【 例 6-2 -7 】 長(zhǎng)度為 1m 的半圓柱（圖 6-2-14 ) ，直徑 D 為 3m ，左、右側(cè)均有水，求 A B曲面上的總壓力。 【 解 】 （ 1 ）水平分力:曲面 AB 的水平分力Px等于作用在曲面 AB 的豎直投影面上的液體總壓力為矩形，由于左、右側(cè)均有水，應(yīng)用求壓強(qiáng)分布圖體積的方法比較直觀、簡(jiǎn)便。見圖 6-2-14( a ) ，分別作左側(cè)和右側(cè)的壓強(qiáng)分布圖。由于左、右側(cè)壓強(qiáng)

5、方向相反，抵消后剩下C面上的三角形壓強(qiáng)分布圖和 C面上的矩形壓強(qiáng)分布圖。計(jì)算以上壓強(qiáng)分布圖的面積再乘以圓柱體長(zhǎng)度 垂直于紙面方向） lm 可得到壓強(qiáng)分布圖體積，即為所求的 Px .( 2 ）豎直分力 作壓力體圖見圖 6-2-14 ( b ）。由于 AB 曲面的土半段與下半段繪制壓力體時(shí)有重合部分，易混淆，故應(yīng)以最大輪廓點(diǎn) C 為分界，將其分為上半段 AC 與下半段 CB ，分別繪制其壓力體圖。又由于左、右側(cè)均有水，故還需分別繪制左側(cè)和右側(cè)的壓力體圖。圖 6-2-14 ( b ）中， ( l ）為 AC 受左側(cè)水壓力的壓力體圖； ( 2 ）為 CB 受左側(cè)水壓力的壓力體圖； ( 3 ）為 CB

6、受右側(cè)水壓力的壓力體圖（右側(cè)水對(duì) AC 無(wú)壓力）。將三者疊加，方向相反的部分抵消后，剩下的壓力體圖見（ 4 ）。計(jì)算 Pz 。P與水平的夾角由于 AB 為圓弧面，合力P垂直于 AB 則應(yīng)通過(guò)圓心，過(guò)圓心作與水平成 27.6°的直線即為P的作用線，其與曲面 AB 交于 D 點(diǎn)， 可求得 D 點(diǎn)水深hD = sin 27.6°= 2.2m ?！?例 62 - 8 】圖 6-2- 15 所示一球形容器由兩個(gè)半球面鉚接而成，鉚釘有n個(gè)，內(nèi)盛密度為 的液體，求每一鉚釘所受的拉力?！?解 】 鉚釘受的拉力應(yīng)等于上半球所受的液體總壓力（水平分力為零，只有豎直分力）。繪出上半球的壓力體圖：

7、壓力體由 l ）上半球面； 2 ）自由表面，此處應(yīng)為過(guò)測(cè)壓管自由液面（相對(duì)壓強(qiáng)為零）的延長(zhǎng)面 3 ）過(guò)上半球周界向自由面的延長(zhǎng)而所作的鉛垂面，此處即為圓柱面。這樣，上半球壓力體如圖示（豎直線所示）。壓力體體積為以 R 為半徑以 H + R 為高的圓柱體減去以 R 為半徑的半球：第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)本節(jié)將分析流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律及其在實(shí)際工程中的初步應(yīng)用。由于工程中許多流動(dòng)問(wèn)題都以總流為對(duì)象，所以本節(jié)將主要討論總流運(yùn)動(dòng)的三個(gè)基本方程 連續(xù)性方程、能量方程和動(dòng)量方程。一、描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種，即拉格朗日法與歐拉法。拉格朗日法是以個(gè)別質(zhì)點(diǎn)為對(duì)象，研究這些質(zhì)點(diǎn)的各個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的

8、變化情況，再將它們匯總起來(lái)以描述流體的整個(gè)流動(dòng)。但是這樣研究難度較大而且一般工程問(wèn)題中只要求知道若干控制斷面上運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化即可，并不需要了解個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。因此我們通常采用較簡(jiǎn)便的歐拉法來(lái)描述流體的運(yùn)動(dòng)。歐拉法是以流場(chǎng)為對(duì)象，研究流場(chǎng)中給定空間點(diǎn)上不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化情況，匯總起來(lái)就構(gòu)成了整個(gè)流動(dòng)。按歐拉法，各運(yùn)動(dòng)參數(shù)如速度 u 、壓強(qiáng) p 等都是空間坐標(biāo)（x， y ，z）和時(shí)間 t 的函數(shù)。即式中坐標(biāo)x、 y 、 z 和時(shí)間變量稱為歐拉變數(shù)。在流場(chǎng)中，同一空間點(diǎn)上，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)該點(diǎn)時(shí)流速是不同的，即在同一固定點(diǎn)上流速隨時(shí)間而變化。同時(shí)通過(guò)該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度也在隨時(shí)間

9、而變化，因此歐拉方法中任一流體質(zhì)點(diǎn)在給定空間點(diǎn)上的加速度可以表示為：從式（ 6-3 - 2 ）中可以看出，質(zhì)點(diǎn)的加速度是由兩部分組成的，前面的一項(xiàng)表示不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)該空間點(diǎn)流速不同的加速度，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣然驎r(shí)變加速度其余各項(xiàng)表示流體質(zhì)點(diǎn)本身在經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)具有的加速度，稱為遷移加速度或位變加速度。某一流體質(zhì)點(diǎn)在給定空間點(diǎn)上的加速度則為上述兩種加速度之和.二、流體運(yùn)動(dòng)的基本概念由于描述流體運(yùn)動(dòng)比剛體復(fù)雜得多，所以需引用與固體力學(xué)不同的一些方法和概念如前所述，我們將流體當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)。本節(jié)中我們描述流體運(yùn)動(dòng)不是去逐個(gè)研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而是著眼于我們所感興趣的充滿流體質(zhì)點(diǎn)的流場(chǎng)。研究流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)各

10、個(gè)給定的空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素的變化。將有關(guān)空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)清況匯總起來(lái)就構(gòu)成了整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。（一）流線和跡線流線是在流場(chǎng)中畫出的這樣一條曲線：同一瞬時(shí)，線上各流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量都與該曲線相切，這條曲線就稱為該瞬時(shí)的一條流線。由它確定該瞬時(shí)不同流體質(zhì)點(diǎn)的流速方向。其繪制方法如下：從空間某點(diǎn) M 開始，沿 tl 時(shí)刻 M 點(diǎn)流速 uM 方向取一相鄰的點(diǎn) N ，再沿同一時(shí)刻 tl 點(diǎn) N 的流速uN 方向取相鄰的點(diǎn)P，依此類推，當(dāng)各相鄰點(diǎn)的間距無(wú)限縮小時(shí)，折線MNPQ趨近為一條光滑曲線，這就是瞬時(shí) tl 通過(guò) M 點(diǎn)的流線。見圖 6-3-1 。如果繪出同一瞬時(shí)各空間點(diǎn)的一組流線，就可以描繪出整個(gè)

11、流場(chǎng)在該瞬時(shí)的流動(dòng)圖像。流線的特征是：在同一瞬時(shí)的不同流線一般情況下不能相交流線也不能轉(zhuǎn)折，只能是光滑的曲線.跡線是某一流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡，跡線上各點(diǎn)的切線表示同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的速度方向（二）元流和總流在流場(chǎng)中任取一微小封閉曲線，通過(guò)曲線上的每一點(diǎn)均可作出一根流線，這些流線形成一管狀封閉曲面（圖 6-3-2 ）稱流管。由于速度與流線相切，所以穿過(guò)流管側(cè)表面的流體流動(dòng)是不可能的。這就是說(shuō)位于流管中的流體有如被剛性的薄壁所限制。微小流管中的液（氣）流就是元流，元流的極限是一條流線?？偭魇菬o(wú)限多元流的總和。因此，在分析總流前，先分析元流流動(dòng)，再將元流積分就可推廣到總流.與元流或總流的流

12、線相垂直的截面稱過(guò)流斷面，用符號(hào) A 表示其斷面面積。在流線平行時(shí)，過(guò)流斷面為平面，流線不平行則過(guò)流斷面為曲面.（三）流量和斷面平均流速單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)某一過(guò)流斷面流體的體積稱流量，用符號(hào) Q 表示，單位 m 3 / s 。此外流量還可以用重量流量和質(zhì)量流量來(lái)表示，單位分別為kN / s , kg / s 。重量流量 G =gQ ，質(zhì)量流量 M = Q，水管常用體積流量，氣體管道多用重量流量或質(zhì)量流量.設(shè)元流過(guò)流斷面 dA ，斷面上流體質(zhì)點(diǎn)的流速 u ，可得元流的流量 dQ = udA 。通過(guò)總流過(guò)流斷面 A 的流量應(yīng)等于無(wú)數(shù)元流的流量總和，總流過(guò)流斷面上實(shí)際的流速分布是不均勻的。如圖 6-3-3 所示，各點(diǎn)的實(shí)際流速是不同的。在工程中常用斷面平均流速v代替（圖中虛線）.斷面平均流速是一個(gè)假想的流速，假設(shè)過(guò)流斷面上各點(diǎn)的流速均等于 v ,這時(shí)通過(guò)該斷面的流量應(yīng)等于以實(shí)際流速通過(guò)該斷面的流量，此流速v稱斷面平均流速.（四）流動(dòng)分類 1 按流動(dòng)是否隨時(shí)間變化將流動(dòng)分為恒定流和非恒定流。若所有的運(yùn)動(dòng)要素（流速、壓強(qiáng)等）均不隨時(shí)間而改變稱為恒定流。反之，則為非恒定流。恒定流中流線不隨時(shí)間改變；流線與跡線相重合.在本章中，我們只討論恒定流 .2 按流動(dòng)是否隨空間變化將流動(dòng)