慣性矩、靜矩-形心坐標(biāo)公式

1、§ I-1截面的靜矩和形心位置圖1-1如圖I- 1所示平面圖形代 表一任意截面，以下兩積分SzAydAzdAA1-1分別定義為該截面對(duì)于z軸和y 軸的靜矩。靜矩可用來確定截面的形 心位置。由靜力學(xué)中確定物體重 心的公式可得SyycZczdAAA利用公式I -1，上式可寫成ycZczdAAASzSyA 1-2或SzSyAyeAzc1-3ycZcAA1-4如果一個(gè)平面圖形是由假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的組合圖形，那么由靜矩的定義可知，整個(gè)圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即:SznAi ycii 1nSyAi zcii 1I-5式中Ai、yci和zci分別表示

2、某一組成局部的面積和其形心坐標(biāo)，n為簡(jiǎn) 單圖形的個(gè)數(shù)。將式I- 5代入式1-4，得到組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式 為nA i y ci i 1nAii 1Ai Zcii 1nAii 11-60.6miy0.12mCii0.4mI1yc.CynO1IyInz訂C n0.2m例題1-1圖a所示 為對(duì)稱T型截面，求該截 面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系 zOy,其中y為截面的對(duì)稱 軸。因圖形相對(duì)于y軸對(duì) 稱，其形心一定在該對(duì)稱 軸上，因此Zc = 0,只需計(jì) 算yc值。將截面分成I、 n兩個(gè)矩形，那么Ai =0.072m2, An=0.08m2yi =0.46m, yn=0.2mycAy。i 1nAi

3、 1A yiAi yiiAAii°.°72 °.46 O.°8 020.323m0.0720.08§ I - 2慣性矩、慣性積和極慣性矩如圖I- 2所示平面圖形代表一任意截面，在圖 形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy?，F(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積 dA, dA的形心在坐標(biāo)系z(mì)Oy中的坐標(biāo)為y和z,到 坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為p?，F(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積 dA對(duì)z軸和y軸的慣性矩，PdA為微面積dA對(duì)坐標(biāo) 原點(diǎn)的極慣性矩，而以下三個(gè)積分Iz y2dAzAIy z2d AyA圖1-2I P p2d AA 1-7分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的慣性矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的

4、極慣性 矩2 2 2由圖丨-2可見， y z，所以有a pdAA(y2Z2)dA Iz IyI- 8即任意截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的兩任 意正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱為微面積dA對(duì) y、z軸的慣性積，而積分Iyz AzydAi_9 定義為該截面對(duì)于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積那么可能為正，可能為 負(fù)，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是 m4或mm4。§1-3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式圖1-3一、慣性矩、慣性積的平行 移軸

5、公式圖I- 3所示為一任意截面， z、y為通過截面形心的一對(duì)正交 軸，乙、yi為與z、y平行的坐標(biāo) 軸，截面形心C在坐標(biāo)系ZiO yi 中的坐標(biāo)為b, a，截面對(duì) z、y軸慣性矩和慣性積為lz、Iy、 lyz，下面求截面對(duì)Zi、yi軸慣性矩 和慣性積 Izi、lyi、lyizi。ziIz a2A zI - ioIyiIyb2AI - ii同理可得式i- io、i - ii稱為慣性矩的平行移軸公式F面求截面對(duì)yi、zi軸的慣性積gzi。根據(jù)定義AziyidAA(z b)(y a)dAzydA a zdA b ydA ab dAAAAAI yz aSy bSz abAabAI - i2由于z、y軸

6、是截面的形心軸，所以Sz = Sy = 0，即yiziyz式I - i2稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉(zhuǎn)軸公式圖I - 4所示為一任意截面，z、y為過任一點(diǎn)O的一對(duì)正交軸，截面對(duì)z、y軸慣性矩Iz、Iy和慣性積Iyz?，F(xiàn)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角以逆時(shí)針方向?yàn)檎玫搅硪粚?duì)正交軸 乙、yi軸，下面求截 面對(duì)Zi、yi軸慣性矩和慣性積1可、1 yi、人佰。Izi圖I - 4Iz IyI-IjLcos22Iyzsin 21- 13同理可得IyiIz ly2cos 2I yz sin 21- 14Iz丨y2 sin 22式I - 13、1- 14稱為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式I- 15稱為慣性

7、積的轉(zhuǎn)軸公式。%ZiI yz cos21-15§ I - 4形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式1-15可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) a=0o，即兩坐標(biāo)軸互相重合時(shí),1淚Iyz ；當(dāng)a= 900時(shí)，山引Iyz，因此必定有這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸， 使截面對(duì)它的慣性積為零。通常把這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸稱為截面的主慣 性軸，簡(jiǎn)稱主軸，截面對(duì)主軸的慣性矩叫做 主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角得到主軸Zq、yo，由主軸的定義由式I1- 16及三角公式可得Iz IyIy)22Iyzcos2 0sin2 0將此二式代入到式I - yo的主慣性矩Iz Iy2Iz Iy2,(Iz Iy)213、1-144i y

8、z便可得到截面對(duì)主軸Zq、IzoIyo1、(lzIy)241；1I )2 4I 2yyz1-17IzIyIyozo2sin2 olyzC0S2 o0從而得2Iyztan 2 aIIzy i-16上式就是確定主軸的公式，式中負(fù)號(hào)放在分子上，為的是和下面兩式 相符。這樣確定的a角就使得Izo等于Imax。二、形心主軸、形心主慣性矩 通過截面上的任何一點(diǎn)均可找到一對(duì)主軸。通過截面形心的主軸 叫做形心主軸，截面對(duì)形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題I - 5求例I- 1中截面的形心主慣性矩。 解：在例題I- 1中已求出形心位置為zC 0yC 0.323m過形心的主軸zo、yo如下列圖，zo軸到兩個(gè)矩形形心的距離分別為aI 0.137maII 0.123m截面對(duì)zo軸的慣性矩為兩個(gè)矩形對(duì)zo軸的慣性矩之和，