研究生數(shù)值分析(4)

1、利用基本插值多項(xiàng)式容易得出滿足插值條件利用基本插值多項(xiàng)式容易得出滿足插值條件( )niiP xy(0,1, )in的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式0( )( )nnk kkL xy l x0110011()()()()()()()()nkknkkkkkkkknx xx xx xx xyxxxxxxxx插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記作稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記作( )nL x拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值多項(xiàng)式）插值多項(xiàng)式當(dāng)當(dāng)n=2=2時(shí)時(shí), ,由由式可得三點(diǎn)插值公式式可得三點(diǎn)插值公式0201122012010210122021()()()()()()( )()()()

2、()()()x xx xx xx xx x x xL xyyyxx xxxxxxxxxx這是一個(gè)二次函數(shù)。用二次函數(shù)這是一個(gè)二次函數(shù)。用二次函數(shù)2( )L x代替函數(shù)代替函數(shù)( )f x，在幾何上就是用通過三點(diǎn)，在幾何上就是用通過三點(diǎn)( ,) (0,1,2)iiiM x yi 的拋物線的拋物線2( )L x曲線曲線y=f(x)，故三點(diǎn)插值，故三點(diǎn)插值又稱為又稱為拋物線插值。拋物線插值。近似近似近似代替近似代替如圖如圖通過通過n+1+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)處有次插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)處有( )( )niiL xf x(0,1,)in在其它點(diǎn)上均是在其它點(diǎn)上均是f(x)的近似值。記的

3、近似值。記( )( )( )nnR xf xL x稱稱( )nRx為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。( )nR x就是用就是用( )nL x近似替代近似替代( )f x的截?cái)嗾`差。的截?cái)嗾`差。1 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)定理定理1 若若 f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有直到上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)，( )nL x為為 f (x) 在在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) , ixa b(0,1, )in上的上的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何次插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何 , xa b有有其中其中且依賴于且依賴于x。)()!1()()(1)1(xnfxRnnn),(),()(01baxxxinin證明證明 當(dāng)給定的當(dāng)給定的x

4、恰是某個(gè)節(jié)點(diǎn)恰是某個(gè)節(jié)點(diǎn) 時(shí)，時(shí)，ix兩邊都為兩邊都為0 0，定理的結(jié)論顯然成立。，定理的結(jié)論顯然成立。今設(shè)給定的節(jié)點(diǎn)今設(shè)給定的節(jié)點(diǎn)x異于所有的節(jié)點(diǎn)，異于所有的節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù))()()()()()()(11txxpxftptftgnnnn因因)(),(),(1xtptfnn都在都在 a, ,b 上上n+1+1次可微，次可微，)()!1()()(1)1(xnfxRnnn故函數(shù)故函數(shù)g g( (t t) )也如此。也如此。顯然，函數(shù)顯然，函數(shù)g g( (t) )有有n+2+2個(gè)互異的零點(diǎn)個(gè)互異的零點(diǎn)nxxxx,10由由Rolle(Rolle(羅爾羅爾) )定理可知定理可知, ,)(

5、tg在區(qū)間在區(qū)間 a, ,b 內(nèi)至少有內(nèi)至少有n+1+1個(gè)互異的零點(diǎn)。個(gè)互異的零點(diǎn)。再對(duì)函數(shù)再對(duì)函數(shù))(tg使用使用Rolle(羅爾羅爾)定理，定理，可知在可知在a,b內(nèi)至少有內(nèi)至少有n個(gè)互異的點(diǎn)使個(gè)互異的點(diǎn)使0)( tg如此反復(fù)使用如此反復(fù)使用Rolle(羅爾羅爾)定理，最后可知至少定理，最后可知至少存在一點(diǎn)存在一點(diǎn),ba，使得，使得0)()1(ng顯然與所給的顯然與所給的x有關(guān)。有關(guān)。由于由于)!1()()()()()(1)1()1(nxxpxftftgnnnn因而有因而有)()!1()()()(1)1(xnfxpxfnnn其中其中且依賴于且依賴于x。),(ba證畢。證畢。( )0nR x

6、 因而因而 0( )( )( )nniiif xL xl x y特別當(dāng)特別當(dāng) ( )1f x 時(shí)，時(shí)，0( )1niil x幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明10 0 當(dāng)當(dāng) f (x)本身是一個(gè)次數(shù)不超過本身是一個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式時(shí)，時(shí)，有有20 0 余項(xiàng)余項(xiàng)( )nR x的表達(dá)式的表達(dá)式只有在只有在 f (x)的的n+1階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用，由于階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用，由于不能具體求出，不能具體求出，(1)1max( )nna x bfxM 即有即有11( )( )(1)!nnnMR xxn因此一般常利用因此一般常利用求出誤差限，求出誤差限，例例1 1 已知特殊角已知特殊角00030 ,45 ,

7、60的正弦函數(shù)值的正弦函數(shù)值123,222用一次插值多項(xiàng)式，二次用一次插值多項(xiàng)式，二次sin x插值多項(xiàng)式近似插值多項(xiàng)式近似0sin50解：若取解：若取030和和045為節(jié)點(diǎn)作一次插值，得為節(jié)點(diǎn)作一次插值，得145 1302( )3045 245302xxLx，并用此求出，并用此求出則則 015045 150302(50)0.77614sin503045 24530 2L為節(jié)點(diǎn)插值，得為節(jié)點(diǎn)插值，得則則 2345604522604560)(1xxxL0150sin76008. 023456045502260456050)50(L0060,45若取若取為節(jié)點(diǎn)，作二次插值，得為節(jié)點(diǎn)，作二次插值，得

8、2(45)(60) 1(30)(60)2(30)(45)3( )(30 45)(30 60) 2(45 30)(45 60) 2(60 30)(60 45) 2xxxxxxL x則則2(50 45)(50 60) 1(50 30)(50 60)2(50 30)(50 45) 3(50)(30 45)(30 60) 2(45 30)(45 60) 2(60 30)(60 45) 2L00.76543sin 5000060,45,30取取現(xiàn)在應(yīng)用現(xiàn)在應(yīng)用式來估計(jì)誤差。式來估計(jì)誤差。( ) sin ,( )cos ,( )sin ,( )cosf xx f xx f xx fxx并把度化為弧度，得并

9、把度化為弧度，得020011sin50(50)( sin )() (50 30)(50 45)30602180L所以所以02113sin50(50)()2050.01319022180L先求線性插值的誤差先求線性插值的誤差同理，由同理，由得得 由由 030021sin50(50)( cos )() (50 30)(50 45)(50 60) 30603!180L有有 03213sin50(50)()20 5 100.00076762180L 002106030)6050)(4550()180)(sin(21)50(50sin L006595.0105)180(2321)50(50sin210L

10、可以看出用可以看出用045和和060兩點(diǎn)作線性插值要比用兩點(diǎn)作線性插值要比用030和和045作線性插值精確。這是因?yàn)辄c(diǎn)作線性插值精確。這是因?yàn)辄c(diǎn)45,60一般來說，內(nèi)插比外推精度要高。一般來說，內(nèi)插比外推精度要高。的內(nèi)部，這種插值稱為內(nèi)插。的內(nèi)部，這種插值稱為內(nèi)插。其次，二次插值要比一次插值精度要高。其次，二次插值要比一次插值精度要高。事實(shí)上，事實(shí)上，00596. 0)50(50sin;01010. 0)50(50sin1010LL0006. 0)50(50sin20L在區(qū)間在區(qū)間050否則，稱為外推。否則，稱為外推。例例2 給定函數(shù)表如下給定函數(shù)表如下xxe 0.40.5

11、1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 試用線性插值與拋物線插值求試用線性插值與拋物線插值求0.285e題目中題目中0.285x 介于介于0.2和和0.3之間，之間，解：為了減少插值計(jì)的截?cái)嗾`差，應(yīng)用內(nèi)插法解：為了減少插值計(jì)的截?cái)嗾`差，應(yīng)用內(nèi)插法的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。010.2,0.3xx相應(yīng)地相應(yīng)地011.2214,1.3499yy因此做線性內(nèi)插時(shí)取因此做線性內(nèi)插時(shí)取由線性插值公式，得由線性插值公式，得10.30.2( )1.22141.3490.2xxL x所得近似值為所得近似值為0.28510.285 0.3

12、0.285 0.2(0.285)1.22141.3499 1.33060.2 0.30.3 0.2eL由線性插值余項(xiàng)公式由線性插值余項(xiàng)公式1011( )( )()()2R xfxxxx01xx這里這里( )xf xe，所以，所以1011( )()()2R xexxxx01xx將將010.285,0.2,0.3xxx代入，得代入，得0.311(0.285)(0.285 0.2)(0.285 0.3)0.00092Re類似地，在拋物線插值時(shí)，取類似地，在拋物線插值時(shí)，取0120.2,0.3,0.4xxx所得所得0.285e的近似值和截?cái)嗾`差為的近似值和截?cái)嗾`差為0.2852(0.285 0.3)(0.285 0.4)(0.285 0.2)(0.285 0.4)(0.285)1.22141.3499(0.2 0.3)(0.2 0.4)(0.3 0.2)(0.3 0.4)eL(0.2850.2)(0.2850.3)1.49181.3298(0.40.2)(0.40.3