高等數(shù)學(xué)第六版高階線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階線性微分方程 第六節(jié)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 一、二階線性微分方程一、二階線性微分方程 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為(二階線性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齊次方程特解齊次方程通

2、解Yy0)(xf一、二階線性微分方程一、二階線性微分方程 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢二、二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,

3、)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得1122( )( )( )0,nnxIk y xk yxk yx當(dāng)，則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間

4、 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)(

5、)()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

6、 三、二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解

7、因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4.1( )yx是方程有特解其中，12( )( )( ),yxyxyx 12( )( )( )yP x yQ x yf xfx的特解. 方程1( )( )( )yP x yQ x yf x2( )( )( )yP x yQ x yfx2( )yx是方程的特解. (非齊次方程特解的疊加原理非齊次方程特解的疊加原理) 定理定理 5. yP x yQ x yf x分別是二階線性非齊次方程的兩個(gè)特解, 設(shè) 12,yxyx 12( )y xyx是對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)特解.則目錄 上頁 下頁 返回

8、結(jié)束 常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例1.提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個(gè)解,e,e,2321xxy

9、yxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為有三 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)( )( )( )yP x yQ x yf x二階線性微分方程時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.0)(xf定理定理 1.若二階線性齊次方程)()(2211xyCxyCy12(,C C 為數(shù)）任意常則該方程的通解為)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)( )( )0yP x yQ x y有兩個(gè)線性無關(guān)特解 12( ),( ),y xyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *( ),yx設(shè)二階非齊次方程有一個(gè)特解 )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 2.)()()(xfyxQy