淺談中考數(shù)學(xué)模型圖在解題中的運(yùn)用

1、淺談中考數(shù)學(xué)模型圖在解題中的運(yùn)用內(nèi)容提要：中考總復(fù)習(xí)時(shí)間緊，任務(wù)重，如何有效的利用時(shí)間讓學(xué)生掌握解題方法，以及對(duì)幾何圖形的分析證明，就是要站的“高，才能看的“遠(yuǎn)。挖掘題目的本質(zhì)和聯(lián)系，總結(jié)幾何模型圖形，以不變應(yīng)萬(wàn)變，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，靈活運(yùn)用模型圖，拓寬解題思路，適應(yīng)新課改的要求。關(guān)鍵詞：模型圖形 舉一反三 挖掘 遷移聯(lián)系在九年級(jí)數(shù)學(xué)中考幾何專題復(fù)習(xí)中，怎樣科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、精心地組織課堂教學(xué)，怎樣采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快節(jié)奏地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓后進(jìn)生吃的消，中等生吃的飽，優(yōu)等生吃得好，使復(fù)習(xí)獲得令人滿意的效果？這是所有處在一線數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)注和思考的問(wèn)題。而平時(shí)如果大量

2、毫無(wú)章法，不從根本揭示規(guī)律和方法的題海戰(zhàn)役，即便時(shí)間加汗水，甚至以傷害學(xué)生的身心健康為代價(jià)也并不一定能夠取得滿意的結(jié)果。在畢業(yè)班任教十幾年，數(shù)學(xué)的思想和方法讓我頗感它們的重要性，它們?nèi)缤菙?shù)學(xué)的靈魂貫穿于題的始終。在教學(xué)與做題的過(guò)程中我也收獲了一些經(jīng)驗(yàn)和方法，在這里，淺談一下幾何模型圖在中考解題中的運(yùn)用。一.認(rèn)識(shí)感悟模型圖在中考復(fù)習(xí)中的作用縱觀陜西省近幾年的中考題，我們將會(huì)不難發(fā)現(xiàn)，有些題目雖然“外表變了，但考察數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和方法卻沒(méi)有變，只要我們抓住根本，必將會(huì)迎來(lái)解題的“柳暗花明的春天。例如：2007年陜西中考數(shù)學(xué)真題24此題總分值10分如圖，在直角梯形中，1求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2假設(shè)線段上存在

3、點(diǎn)，使，求過(guò)DCBPOyx第24題圖三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式2021年陜西中考數(shù)學(xué)真題縱觀這兩道中考題都是考察二次函數(shù)的知識(shí)，條件雖然不同，但在求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題上卻蘊(yùn)含著相同的幾何模型圖三垂直模型。 三垂直模型利用相似的知識(shí)找出對(duì)應(yīng)邊成比例便可將問(wèn)題得以解決。由此可發(fā)現(xiàn)它們就是根本圖形的變形和深化，要想到達(dá)“見(jiàn)到圖形，想到性質(zhì)；想到性質(zhì)，想全性質(zhì)就必須把根本圖形拿出來(lái)認(rèn)真分析，研究和積累，形成根本圖形儲(chǔ)藏。在頭腦中形成系統(tǒng)完備的待用根本圖形庫(kù)，最終將根本圖形當(dāng)作利刃，用到解題中去?！皢?wèn)渠那得清如許，為有源頭活水來(lái)。只有平時(shí)多積累總結(jié)，聯(lián)想類比，我們?cè)谧鲱}時(shí)才能游刃有余。像這種相似的根本圖形還很多，如

4、相似中常用根本圖形： A字型 8字型 公共邊角型 雙垂直型射影定理而三垂直可由雙垂直平移得到，從外表來(lái)看沒(méi)有什么關(guān)系，但實(shí)質(zhì)卻相互之間可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換。舉例練習(xí)1.如圖四邊形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方形 ，A、B、N、E、F五點(diǎn)在同一直線上，假設(shè)四邊形ABCE,EFGH的邊長(zhǎng)分別為3，4，求四邊形NHMC的邊長(zhǎng)。 這就是可直接利用三垂直模型解題的一道題，很容易求出邊長(zhǎng)等于5。2.如圖,ABC中ABC=90° AB=BC，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上，且 與 之間的距離為2， 與 之間的距離為3，那么AC的長(zhǎng)是多少？ 這道題就要構(gòu)建模型，在原來(lái)一個(gè)直角的根底上再做

5、兩條垂線段，便可化為三垂直模型來(lái)解決，左右兩個(gè)直角三角形全等，再利用勾股定理求出答案為。像這種以三垂直模型為載體的中考題還有很多，但結(jié)論卻固定不變，那就是左右兩個(gè)直角三角形一定相似。假設(shè)在添加任意一組對(duì)應(yīng)邊相等的條件那么有全等的結(jié)論；假設(shè)中間直角三角形的直角頂點(diǎn)位于兩側(cè)直角三角形的直角頂點(diǎn)之間的線段中點(diǎn)位置時(shí)，那么它們?nèi)齻€(gè)直角三角形都相似。從這里可以看出，對(duì)于模型的把控，不應(yīng)當(dāng)僅限于會(huì)用于具有明顯模型特征的題目，對(duì)于一些特征并不明顯的題目，要培養(yǎng)學(xué)生有能力添加輔助線去挖掘圖形當(dāng)中的隱藏屬性。平時(shí)只有“深挖洞，廣積糧，戰(zhàn)時(shí)方可有備無(wú)患，胸有成竹。這要求學(xué)生對(duì)于每一種根本圖形的理解要十分深刻，不僅

6、僅要認(rèn)識(shí)模型，還要會(huì)補(bǔ)全模型，甚至構(gòu)造模型來(lái)解決問(wèn)題。在中考復(fù)習(xí)中，像這種根本模型的圖形還有很多，如：1.由平行線中夾著角平分線模型圖 構(gòu)建等腰三角形；2.由等腰三角形的三線合一模型圖 推出三線與等腰四者“知二推二的關(guān)系；3.由垂徑定理及勾股定理模型圖 探尋半徑r,弦心距d,弦長(zhǎng)a,弓形的高h(yuǎn)四個(gè)量之間的關(guān)系；4.由“船會(huì)碰到暗礁問(wèn)題的模型圖 建立直角三角形的邊角三角函數(shù)關(guān)系；5.由過(guò)點(diǎn)做直線的對(duì)稱點(diǎn)模型圖解決在直線上找一點(diǎn)到直線一側(cè)兩點(diǎn)距離之和最短的問(wèn)題；6.由擲骰子，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤列表出來(lái)的概率模型圖解決一些求概率的實(shí)際問(wèn)題等等。二如何有效的掌握總結(jié)或構(gòu)建模型圖，使其在中考做題中發(fā)揮作用高斯曾經(jīng)說(shuō)

7、過(guò)“給我最大快樂(lè)的，不是已懂得知識(shí)，而是不斷的學(xué)習(xí)；不是已有的東西，而是不斷的獲??；不是已到達(dá)的高度，而是繼續(xù)不斷的攀登。在我們?cè)械闹R(shí)根底上，只要我們善于思考，大膽嘗試，不斷探索，一定會(huì)使我們的學(xué)習(xí)變得更加輕松快樂(lè)。著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究。所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，在做了一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)工具，并通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)中的各種根本概念，都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念。各種數(shù)學(xué)公式、方程式 、定理及理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，二次函數(shù)就是一個(gè)數(shù)學(xué)

8、模型，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題甚至實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決。而通過(guò)對(duì)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，模型構(gòu)建，求解檢驗(yàn)使問(wèn)題獲得解決的方法稱之為數(shù)學(xué)模型方法。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說(shuō)到底實(shí)際上就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。而在眾多數(shù)學(xué)模型的王國(guó)里，我認(rèn)為幾何圖形尤能彰顯出它的魅力。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。幾何，常常因?yàn)閳D形變化多端，方法多種多樣而被稱為數(shù)學(xué)中的變形金剛。題目千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗。每一道幾何題目背后都有著一定的法那么和規(guī)律，每一類題都有著相似的解題思想，這種思想的集中表達(dá)，便是模型。得模型者得幾何，而模型思想的建

9、立又并非一朝一夕，是需要同學(xué)們?cè)诖罅康膶?shí)戰(zhàn)做題和不斷總結(jié)方法中培養(yǎng)出來(lái)的。九年級(jí)后期，對(duì)于專題復(fù)習(xí)，建立幾何模型是非常有效果的，對(duì)于模型的理解和認(rèn)識(shí)，分為很多層面，最淺的是根本的形似，看到圖形相仿或相似的題目，能夠有意識(shí)的聯(lián)想以前學(xué)過(guò)的題型并加以運(yùn)用，套用，這是最簡(jiǎn)單的模型思想。高一些的是神似，看到一些關(guān)鍵點(diǎn)，關(guān)鍵線段或是題目所給條件的相似便能夠聯(lián)想到所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)推理和演繹逐步取得正確的解法，記住的是一些具體模型，這是第二種層次。最高的境界是，心中只有很少幾種根本模型，這些模型就像種子，看到一道題目就會(huì)發(fā)芽，開(kāi)花結(jié)果，隨著對(duì)于題目的深入理解，不斷地尋找適合的花朵，每一朵花上面都有著一種具體

10、的模型，而每種模型之間，都會(huì)有樹(shù)枝相連，相互間并不是孤立的，而是借由其他條件貫穿連接的,到達(dá)這樣的理解才能算是包羅萬(wàn)象，駕輕就熟。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) 我們對(duì)于模型的把控決不應(yīng)當(dāng)僅限于會(huì)用于具有明顯模型特征的題目，對(duì)于一些特征并不明顯的題目，我們要有能力添加輔助線去挖掘圖形當(dāng)中的隱藏屬性。這就要求同學(xué)們對(duì)于每一種根本圖形的理解要十分深刻，不僅僅要認(rèn)識(shí)模型，還要會(huì)補(bǔ)全模型，甚至構(gòu)造模型來(lái)解決問(wèn)題，這對(duì)于同學(xué)們動(dòng)手添加輔助線的能力要求就很高了。那么如何有效的掌握總結(jié)或構(gòu)建模型圖，使其在中考做題中發(fā)揮作用，我認(rèn)為一定要注意以下幾點(diǎn)：1、多做題，在起步初期，多見(jiàn)一些題，豐富自己的視野，對(duì)一些

11、模型有初步認(rèn)識(shí)，并能記住它的形狀。2、多總結(jié)，盡量在老師的幫助下能夠總結(jié)出一些模型的主要輔助線做法和解題方法。3、多應(yīng)用，多用模型解決問(wèn)題，不要沒(méi)有方法的撞大運(yùn)，要根據(jù)圖形特點(diǎn)思考解法，特別是做選擇或填空題可直接利用模型結(jié)論得出答案。4、多完善，不斷做題總會(huì)有新的知識(shí)添加到已有的模型體系中來(lái)，不斷壯大自己的知識(shí)樹(shù)，讓其不斷生根發(fā)芽，汲取營(yíng)養(yǎng)，使其模型之樹(shù)枝繁葉茂。5、多思考，對(duì)于任何一道題都有可能存在不止一種方法，每種方法涉及到的模型不盡相同，要能夠通過(guò)一題多解發(fā)現(xiàn)模型之間的相互關(guān)系，增強(qiáng)自己對(duì)模型的理解深度和廣度。6、多積累，并能對(duì)一些幾何模型進(jìn)行歸類，熟悉掌控那些是用來(lái)證明題的，那些是用來(lái)

12、做計(jì)算用的，做到心中有數(shù)，運(yùn)用自如。近幾年的中考幾何壓軸題的考察趨勢(shì)越來(lái)越傾向于綜合探究的趨勢(shì)，對(duì)于三角形，四邊形的面積問(wèn)題，存在性問(wèn)題等考察較多，而考察重點(diǎn)那么是以三大變化為主題的綜合題目，夾雜著分類討論，函數(shù)，方程等思想。幾何圖形中的三大變換思想不斷的滲透進(jìn)來(lái)，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱這些技巧逐漸被我們所熟識(shí)。然而僅僅熟悉并不夠，我們還要結(jié)合模型把他們靈活掌握并能夠精確運(yùn)用到實(shí)際的題目中去，這樣才能使我們做幾何題目的能力有所提高。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。這是對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的精彩描述。我們只有平時(shí)多積累，勤思考，以數(shù)學(xué)

13、模型圖為載體，以數(shù)學(xué)思想為指引，舉一反三，遷移聯(lián)想，一定會(huì)有意想不到的收獲?？傊?，“倒給學(xué)生一碗水，教師必須擁有一條永不干涸的河流。在幾何專題復(fù)習(xí)中，教師事先要通過(guò)大量的收集、整理、歸納各類問(wèn)題，并形成體系，凸顯規(guī)律和方法。這要求我們教師不斷的自我提高，具有較高的專業(yè)素養(yǎng)-由擁有知識(shí)到擁有智慧，教師的教育智慧常常表現(xiàn)在對(duì)教材有真知灼見(jiàn)，能夠于平凡中見(jiàn)新奇，發(fā)人之所未發(fā)，見(jiàn)人之所未見(jiàn)。教學(xué)的藝術(shù)在于鼓勵(lì)、喚醒和鼓舞，教師的魅力在于用自己的智慧點(diǎn)燃學(xué)生的智慧。有智慧的教師對(duì)教材、教參決不人云亦云、鸚鵡學(xué)舌，而是力求有自己的見(jiàn)解?；蛟S有時(shí)教師的一條輔助線，一句點(diǎn)撥之語(yǔ)，一個(gè)幾何模型圖的分析與拓展，都會(huì)給自己的學(xué)生留下深刻難忘的印象，進(jìn)一步引發(fā)他們的思考與靈感的迸發(fā)。以上是我在多年中考復(fù)習(xí)中對(duì)于數(shù)學(xué)圖形的再認(rèn)識(shí)，思考總結(jié)和解題的感受，想用它作為“拋磚引玉，引起大家對(duì)數(shù)學(xué)模型圖的認(rèn)識(shí)和重視，以便在今后的教學(xué)和做題中靈活簡(jiǎn)便的應(yīng)用，讓學(xué)生從題海中“跳出來(lái)，