導數(shù)及其應用

1、第第3 3講講 導數(shù)及其應用導數(shù)及其應用1.1.導數(shù)的概念導數(shù)的概念 (1)(1) (2) (2) (3) (3)f f(x x0 0) )與與f f(x x) )的關系的關系. .2.2.導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 (1)(1)函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )在在x x= =x x0 0處的導數(shù)處的導數(shù)f f(x x0 0) )就是曲線就是曲線y y= =f f( (x x) ) 在點（在點（x x0 0, ,f f( (x x0 0) )）處的切線的斜率）處的切線的斜率. .即即k k= =f f(x x0 0).). (2) (2)曲線曲線y y= =f f( (x x)

2、)在點在點( (x x0 0, ,f f( (x x0 0)處的切線方程為處的切線方程為 y y- -f f( (x x0 0)=)=f f(x x0 0)()(x x- -x x0 0).).)()()(0000limxxfxxfxfx.)()()(lim0 xxfxxfxfx (3) (3)導數(shù)的物理意義：導數(shù)的物理意義：s s(t t)=)=v v( (t t),),v v(t t)=)=a a( (t t).).3.3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則 （1 1）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)原函數(shù)導函數(shù)導函數(shù)f f( (x x)=

3、)=c cf f(x x)=0 )=0 f f( (x x)=)=x xn n( (n nN N* *) ) f f(x x)=)=nxnxn n-1-1 f f( (x x)=sin )=sin x x f f(x x)=cos )=cos x x f f( (x x)=cos )=cos x xf f(x x)=-sin )=-sin x x f f( (x x)=)=a ax x( (a a00且且a a1) 1) f f(x x)=)=a ax xln ln a a f f( (x x)=e)=ex x f f(x x)=e)=ex x f f( (x x)=log)=loga ax

4、x（a a00且且a a11） f f( (x x)=ln)=lnx x axxfln1)(xxf1)( （2 2）導數(shù)的四則運算法則）導數(shù)的四則運算法則 u u( (x x) )v v( (x x) )=u u(x x) )v v(x x).). u u( (x x) )v v( (x x) )=u u(x x) )v v( (x x)+)+u u( (x x) )v v(x x).). (3) (3)復合函數(shù)求導復合函數(shù)求導 復合函數(shù)復合函數(shù)y y= =f f( (g g( (x x)的導數(shù)和的導數(shù)和y y= =f f( (u u),),u u= =g g( (x x) )的導數(shù)的導數(shù) 之

5、間的關系為之間的關系為y yx x=f f(u u) )g g(x x).).4.4.函數(shù)的性質與導數(shù)函數(shù)的性質與導數(shù) （1 1）在區(qū)間）在區(qū)間( (a a, ,b b) )內，如果內，如果f f(x x)0)0，那么函數(shù)，那么函數(shù) f f( (x x) )在區(qū)間（在區(qū)間（a a, ,b b）上單調遞增）上單調遞增. . 在區(qū)間（在區(qū)間（a a, ,b b）內，如果）內，如果f f(x x)0)0，那么函數(shù)，那么函數(shù)f f( (x x) ) 在區(qū)間（在區(qū)間（a a, ,b b）上單調遞減）上單調遞減. .).0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu（2 2）求極值的

6、步驟）求極值的步驟 求求f f(x x) )；求求f f(x x)=0)=0的根；的根；判定根兩側導判定根兩側導 數(shù)的符號；數(shù)的符號；下結論下結論. . （3 3）求函數(shù)）求函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間a a, ,b b上的最大值與最小上的最大值與最小 值的步驟值的步驟 求求f f(x x) )； 求求f f(x x)=0)=0的根（注意取舍）；的根（注意取舍）； 求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值；求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值； 比較其大小，得結論（最大的就是最大值，最比較其大小，得結論（最大的就是最大值，最 小的就是最小值）小的就是最小值）. .一、導數(shù)幾何意義的應用一、導數(shù)幾何

7、意義的應用例例1 1 （20082008海南理，海南理，2121）設函數(shù)）設函數(shù) （a a, ,b bZ Z），曲線），曲線y y= =f f( (x x) )在點（在點（2 2，f f（2 2）處的）處的 切線方程為切線方程為y y=3.=3. （1 1）求）求f f（x x）的解析式；）的解析式； （2 2）證明：函數(shù)）證明：函數(shù)y y= =f f（x x）的圖象是一個中心對稱）的圖象是一個中心對稱 圖形，并求其對稱中心；圖形，并求其對稱中心； （3 3）證明：曲線）證明：曲線y y= =f f( (x x) )上任一點的切線與直線上任一點的切線與直線x x=1=1 和直線和直線y y=

8、=x x所圍三角形的面積為定值，并求出此定所圍三角形的面積為定值，并求出此定 值值. .bxaxxf1)( 思維啟迪思維啟迪 (1)(1)先求先求f f(x x).).再由再由f f(2)=0,(2)=0,f f(2)=3.(2)=3. 解得解得a a, ,b b. . (2) (2)利用圖象的對稱和平移變換求解利用圖象的對稱和平移變換求解. . (3) (3)先求過曲線上任一點（先求過曲線上任一點（x x0 0, ,y y0 0）的切線方程，）的切線方程， 然后將面積用點（然后將面積用點（x x0 0, ,y y0 0）坐標表示，再用上點）坐標表示，再用上點 （x x0 0, ,y y0 0

9、）在）在f f( (x x) )上即得證上即得證. . （1 1）解解 因為因為a a, ,b bZ Z，故，故,)(1)(2bxaxf.38,49, 1, 1. 0)2(1, 32122babababa或解得于是.11)(xxxf (2) (2)證明證明 已知函數(shù)已知函數(shù)y y1 1= =x x, , 都是奇函數(shù)都是奇函數(shù), , 所以函數(shù)所以函數(shù) 也是奇函數(shù)也是奇函數(shù), ,其圖象是以原點其圖象是以原點 為中心的中心對稱圖形為中心的中心對稱圖形. . 而而 可知可知, ,函數(shù)函數(shù)g g( (x x) )的圖象按向量的圖象按向量a a=(1,1)=(1,1)平移平移, ,即得到即得到 函數(shù)函數(shù)f

10、 f( (x x) )的圖象的圖象, , 故函數(shù)故函數(shù)f f( (x x) )的圖象是以點的圖象是以點(1,1)(1,1)為中心的中心對稱為中心的中心對稱 圖形圖形. . (3) (3)證明證明 在曲線上任取一點在曲線上任取一點 由由 知知, ,過此點的切線方程為過此點的切線方程為xy12xxxg1)(. 1111)(xxxf),11,(000 xxx200) 1(11)(xxf 令令x x=1,=1,得得 切線與直線切線與直線x x=1=1的交點為的交點為 令令y y= =x x, ,得得y y=2=2x x0 0-1,-1, 切線與直線切線與直線y y= =x x的交點為的交點為(2(2x

11、 x0 0-1,2-1,2x x0 0-1);-1); 直線直線x x=1=1與直線與直線y y= =x x的交點為的交點為(1,1),(1,1), 從而所圍三角形的面積為從而所圍三角形的面積為 所以所以, ,所圍三角形的面積為定值所圍三角形的面積為定值2.2.).() 1(11110200020 xxxxxxy,1100 xxy);11, 1 (00 xx. 22212211121112100000 xxxxx 探究提高探究提高 求曲線切線方程的步驟是：求曲線切線方程的步驟是： （1 1）求出函數(shù)）求出函數(shù)y y= =f f( (x x) )在點在點x x= =x x0 0的導數(shù)，即曲線的導

12、數(shù)，即曲線 y y= =f f( (x x) )在點在點P P（x x0 0, ,f f( (x x0 0) )）處切線的斜率；）處切線的斜率； （2 2）在已知切點坐標）在已知切點坐標P P（x x0 0, ,f f( (x x0 0) )）和切線斜率的）和切線斜率的 條件下，求得切線方程為條件下，求得切線方程為y y- -y y0 0= =f f(x x0 0)()(x x- -x x0 0).). 注意：注意：當曲線當曲線y y= =f f( (x x) )在點在點P P（x x0 0, ,f f( (x x0 0) )）處的切線）處的切線 平行于平行于y y軸（此時導數(shù)不存在）時，由切

13、線定義可軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可 知，切線方程為知，切線方程為x x= =x x0 0； 當不知道切點坐標時，應首先設出切點坐標，當不知道切點坐標時，應首先設出切點坐標， 再求解再求解. . 變式訓練變式訓練1 1 （20092009啟東模擬）已知函數(shù)啟東模擬）已知函數(shù)f f（x x） 的圖象在點的圖象在點MM（-1-1，f f（-1-1）處的）處的 切線方程為切線方程為x x+2+2y y+5=0.+5=0. （1 1）求函數(shù)）求函數(shù)y y= =f f（x x）的解析式；）的解析式； （2 2）求函數(shù)）求函數(shù)y y= =f f（x x）的單調區(qū)間）的單調區(qū)間. . 解解 （1 1

14、）由函數(shù)）由函數(shù)f f（x x）的圖象在點）的圖象在點MM（-1-1， f f（-1-1）處的切線方程為）處的切線方程為x x+2+2y y+5=0+5=0， 知知-1+2-1+2f f（-1-1）+5=0+5=0， 即即f f（-1-1）=-2=-2， bxax26.21) 1( f222)()6(2)()(bxaxxbxaxf 解得解得a a=2=2，b b=3=3或或a a=-6=-6，b b=-1,=-1, b b+10+10，b b=-1=-1舍去舍去. . 所以所求的函數(shù)解析式是所以所求的函數(shù)解析式是 （2 2） 令令-2-2x x2 2+12+12x x+6=0+6=0，解得，解

15、得x x1 1=3- =3- ，x x2 2=3+ .=3+ . 當當x x3- 3- ，或，或x x3+ 3+ 時，時，f f（x x）0 0； 當當3- 3- x x3+ 3+ 時時，f f（x x）0.0. .21)1 ()6(2)1 (, 42,21)1 ()6(2)1 (, 21622babababababa即.362)(2xxxf.)3(6122)(222xxxxf323232323232 所以所以 在（在（-，3- 3- ）內是減函）內是減函 數(shù)，在（數(shù)，在（3- 3- ，3+ 3+ ）內是增函數(shù)，在）內是增函數(shù)，在 （3+ 3+ ，+）內是減函數(shù)）內是減函數(shù). . 所以所以f

16、f( (x x) )的單調遞增區(qū)間是（的單調遞增區(qū)間是（3- 3- ，3+ 3+ ），），單調遞減區(qū)間是（單調遞減區(qū)間是（-,3- -,3- ）和（）和（3+ 3+ ,+,+）. 362)(2xxxf3232323232323232二、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性二、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性例例2 2 （20092009陜西文，陜西文，2020）已知函數(shù)）已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3- - 3 3axax-1,-1,a a0.0. (1) (1)求求f f( (x x) )的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； （2 2）若）若f f( (x x) )在在x x=-1=-1處取得極值，直線處取

17、得極值，直線y y= =m m與與y y= =f f( (x x) ) 的圖象有三個不同的交點，求的圖象有三個不同的交點，求m m的取值范圍的取值范圍. . 解解 （1 1）f f(x x)=3)=3x x2 2-3-3a a=3(=3(x x2 2- -a a).). 當當a a00,)0, 當當a a000時，由時，由f f(x x)0)0解得解得x x- , , , 由由f f(x x)0,)0,解得解得- - x x ,00時時, ,f f( (x x) )的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為(-, ),(-, ), ( ,+), ( ,+),f f( (x x) )的單調減區(qū)間為（的單調減區(qū)

18、間為（- ,- , ）. . (2) (2)f f( (x x) )在在x x=-1=-1處取得極值處取得極值, , f f(-1)=3(-1)=3(-1)(-1)2 2-3-3a a=0.=0.a a=1.=1. f f( (x x)=)=x x3 3-3-3x x-1,-1,f f(x x)=3)=3x x2 2-3.-3. 由由f f(x x)=0)=0解得解得x x1 1=-1,=-1,x x2 2=1,=1, 由（由（1 1）中）中f f( (x x) )的單調性可知的單調性可知, ,f f( (x x) )在在x x=-1=-1處取得極大處取得極大 值值f f(-1)=1,(-1)

19、=1,在在x x=1=1處取得極小值處取得極小值f f(1)=-3.(1)=-3. 直線直線y y= =m m與函數(shù)與函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象有三個不同的交點的圖象有三個不同的交點, , 結合結合f f( (x x) )的單調性可知的單調性可知m m的取值范圍是（的取值范圍是（-3-3，1 1）. .aaaa 變式訓練變式訓練2 2 （20092009北京文，北京文，1818）設函數(shù)）設函數(shù) f f( (x x)=)=x x3 3-3-3axax+ +b b( (a a0).0). (1) (1)若曲線若曲線y y= =f f( (x x) )在點（在點（2 2，f f(

20、2)(2)）處與直線）處與直線y y=8=8相相 切，求切，求a a, ,b b的值；的值； （2 2）求函數(shù)）求函數(shù)f f( (x x) )的單調區(qū)間與極值點的單調區(qū)間與極值點. . 解解 （1 1）f f(x x)=3)=3x x2 2-3-3a a. . 因為曲線因為曲線y y= =f f( (x x) )在點（在點（2 2，f f(2)(2)）處與直線）處與直線y y=8=8相相 切，切， 所以所以 即即 解得解得f f(2)=0.(2)=0.f f(2)=8,(2)=8,3(4-3(4-a a)=0,)=0,8-68-6a a+ +b b=8=8a a=4,=4,b b=24.=24

21、. (2) (2)f f(x x)=3()=3(x x2 2- -a a)()(a a0).0). 當當a a00)0函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在（在（-,+-,+）單調遞）單調遞 增；此時函數(shù)增；此時函數(shù)f f( (x x) )沒有極值點沒有極值點. . 當當a a00時，由時，由f f(x x)=0)=0得得x x= = . . 當當x x(-,- )(-,- )時時, ,f f(x x)0,)0,函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )單調遞增；單調遞增； 當當x x(-(- , ), )時，時，f f(x x)0,)0,)0,函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )單調遞增單調遞增. . 此時此

22、時x x=- =- 是是f f( (x x) )的極大值點的極大值點, ,x x= = 是是f f( (x x) )的極小的極小值點值點. .aaaaaaa 綜上所述，綜上所述， 當當a a000時，時， f f( (x x) )的增區(qū)間是的增區(qū)間是(-, ),(-, ), ( ,+) ( ,+)，減區(qū)間是（，減區(qū)間是（- , - , ）. . 當當a a000時，時，x x= - = - 是極大值點是極大值點 x x = = 是極小值點是極小值點. .aaaaaa三、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值三、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值例例3 3 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3

23、+ +mxmx2 2+ +nxnx-2-2的圖象過點的圖象過點(-1,-6),(-1,-6), 且函數(shù)且函數(shù)g g( (x x)=)=f f(x x)+6)+6x x的圖象關于的圖象關于y y軸對稱軸對稱. . (1) (1)求求m m、n n的值及函數(shù)的值及函數(shù)y y= =f f( (x x) )的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)(2)若若a a00，求函數(shù)，求函數(shù)y y= =f f( (x x) )在區(qū)間（在區(qū)間（a a-1-1，a a+1+1）內）內 的極值的極值. . 思維啟迪思維啟迪 （1 1）根據(jù)）根據(jù)f f( (x x) )、g g( (x x) )的函數(shù)圖象的性的函數(shù)圖象的性 質

24、，列出關于質，列出關于m m，n n的方程，求出的方程，求出m m、n n的值的值. . （2 2）分類討論）分類討論. . 解解 (1)(1)由函數(shù)由函數(shù)f f( (x x) )的圖象過點（的圖象過點（-1-1，-6-6），）， 得得m m- -n n=-3. =-3. 由由f f( (x x)=)=x x3 3+ +mxmx2 2+ +nxnx-2,-2,得得f f(x x)=3)=3x x2 2+2+2mxmx+ +n n, , 則則g g( (x x)=)=f f(x x)+6)+6x x=3=3x x2 2+(2+(2m m+6)+6)x x+ +n n. . 而而g g( (x x

25、) )的圖象關于的圖象關于y y軸對稱，所以軸對稱，所以 所以所以m m=-3.=-3.代入代入得得n n=0.=0. 于是于是f f(x x)=3)=3x x2 2-6-6x x=3=3x x( (x x-2).-2). 由由f f(x x)0)0得得x x22或或x x0,0, 故故f f( (x x) )的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是(-,0)(-,0)和（和（2 2，+);+); 由由f f(x x)0,)0,得得00 x x2,2, 故故f f( (x x) )的單調遞減區(qū)間是（的單調遞減區(qū)間是（0 0，2 2）. . （2 2）由（）由（1 1）得）得f f(x x)=3)=3x

26、 x( (x x-2),-2), 令令f f(x x)=0)=0得得x x=0=0或或x x=2.=2. 當當x x變化時，變化時，f f(x x) )、f f( (x x) )的變化情況如下表：的變化情況如下表：, 03262m 由此可得：由此可得： 當當00a a11時，時，f f( (x x) )在（在（a a-1-1，a a+1+1）內有極大值）內有極大值 f f(0)=-2,(0)=-2,無極小值；無極小值； 當當a a=1=1時，時，f f( (x x) )在（在（a a-1-1，a a+1+1）內無極值）內無極值; ; 當當11a a33時，時，f f( (x x) )在（在（a

27、 a-1-1，a a+1+1）內有極小值）內有極小值 f f(2)=-6,(2)=-6,無極大值；無極大值； 當當a a33時，時，f f( (x x) )在（在（a a-1,-1,a a+1)+1)內無極值內無極值. . 綜上得綜上得, ,當當00a a11時，時，f f( (x x) )有極大值有極大值-2-2，無極小值；，無極小值；x x(-,0)(-,0)0 0(0,2)(0,2)2 2(2,+ )(2,+ )f f(x x) )+ +0 0- -0 0+ +f f( (x x) )極大值極大值極小值極小值 當當11a a33時，時，f f( (x x) )有極小值有極小值-6,-6,

28、無極大值；無極大值； 當當a a=1=1或或a a33時，時，f f( (x x) )無極值無極值. . 探究拓展探究拓展 （1 1）求單調遞增區(qū)間，轉化為求不等）求單調遞增區(qū)間，轉化為求不等式式f f(x x)0()0(不恒為不恒為0)0)的解集即可，已知的解集即可，已知f f( (x x) )在在MM上遞增上遞增 f f(x x)0)0在在MM上恒成立，注意區(qū)別上恒成立，注意區(qū)別. . （2 2）研究函數(shù)的單調性后可畫出示意圖）研究函數(shù)的單調性后可畫出示意圖. . 討論區(qū)間與討論區(qū)間與0 0，2 2的位置關系，畫圖的位置關系，畫圖截取截取觀察觀察 即可即可. . 變式訓練變式訓練3 3 （

29、20092009廣州模擬）函數(shù)廣州模擬）函數(shù) f f( (x x)=)=x x3 3+ +axax2 2+ +bxbx+ +c, c,過曲線過曲線y y= =f f( (x x) )上的點上的點P P（1 1，f f(1)(1)） 的切線方程為的切線方程為y y=3=3x x+1.+1. （1 1）若）若y y= =f f( (x x) )在在x x=-2=-2時有極值時有極值, ,求求f f( (x x) )的表達式；的表達式； （2 2）在（）在（1 1）的條件下）的條件下, ,求求y y= =f f( (x x) )在在-3-3，1 1上的上的 最大值；最大值； （3 3）若函數(shù)）若函數(shù)

30、y y= =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間-2-2，1 1上單調遞增，上單調遞增， 求實數(shù)求實數(shù)b b的取值范圍的取值范圍. . 解解 （1 1）由）由f f( (x x)=)=x x3 3+ +axax2 2+ +bxbx+ +c c求導數(shù)得求導數(shù)得 f f(x x)=3)=3x x2 2+2+2axax+ +b b. . 過過y y= =f f( (x x) )上點上點P P（1 1，f f(1)(1)）的切線方程為）的切線方程為 y y- -f f(1)=(1)=f f(1)(1)(x x-1),-1),即即 y y-(-(a a+ +b b+ +c c+1)=(3+2+1)=(3

31、+2a a+ +b b)()(x x-1).-1). 而過而過y y= =f f( (x x) )上點上點P P（1,1,f f(1)(1)）的切線方程為）的切線方程為y y=3=3x x+1.+1. 故故 即即 y y= =f f( (x x) )在在x x=-2=-2時有極值，故時有極值，故f f(-2)=0.(-2)=0. -4 -4a a+ +b b=-12.=-12. 由由聯(lián)立解得聯(lián)立解得a a=2,=2,b b=-4,=-4,c c=5,=5, f f( (x x)=)=x x3 3+2+2x x2 2-4-4x x+5.+5. (2) (2)f f(x x)=3)=3x x2 2

32、+4+4x x-4=(3-4=(3x x-2)(-2)(x x+2),+2), 令令f f(x x)=0)=0，解得，解得 3+23+2a a+ +b b=3,=3,- -a a+ +c c-2=1,-2=1,2 2a a+ +b b=0, =0, c c- -a a=3. =3. . 232xx或 列下表：列下表： f f( (x x) )的極大值為的極大值為f f(-2)=13,(-2)=13,極小值為極小值為 又又f f(-3)=8,(-3)=8,f f(1)=4,(1)=4, f f( (x x) )在在-3-3，1 1上的最大值為上的最大值為13.13. （3 3）y y= =f f

33、( (x x) )在在-2,1-2,1上單調遞增上單調遞增. . 又又f f(x x)=3)=3x x2 2+2+2axax+ +b b. .由（由（1 1）知）知2 2a a+ +b b=0.=0. f f(x x)=3)=3x x2 2- -bxbx+ +b b. .x x-3-3(-3,-2)(-3,-2)-2-21 1f f(x x) )+ +0 0- -0 0+ +f f( (x x) )8 8極大極大值值極小極小值值4 4)32, 2() 1 ,32(32.2795)32(f 依題意在依題意在-2,1-2,1上恒有上恒有f f(x x)0,)0, 即即3 3x x2 2- -bxb

34、x+ +b b00在在-2-2，1 1上恒成立，上恒成立， 當當 時時, ,即即b b66時時f f(x x) )minmin= =f f(1)=3-(1)=3- b b+ +b b0 0， b b66時符合要求時符合要求 當當 時，即時，即b b-12-12時，時， f f(x x) )minmin= =f f(-2)=12+2(-2)=12+2b b+ +b b0,0, b b不存在不存在. . 當當 即即-12-12b b60)0的必要不充分條件的必要不充分條件. .2.2.可導函數(shù)極值的理解可導函數(shù)極值的理解（1 1）函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關系）函數(shù)在定義域上的極大值與極

35、小值的大小關系不確定，也有可能極小值大于極大值；（不確定，也有可能極小值大于極大值；（2 2）對于可）對于可導函數(shù)導函數(shù)f f( (x x) )，“f f( (x x) )在在x x= =x x0 0處的導數(shù)處的導數(shù)f f(x x)=0”)=0”是是“f f( (x x) )在在x x= =x x0 0處取得極值處取得極值”的必要不充分條件；的必要不充分條件；（3 3）注意導函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關系，導函）注意導函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關系，導函數(shù)由正變負的零點是原函數(shù)的極大值點，導函數(shù)由數(shù)由正變負的零點是原函數(shù)的極大值點，導函數(shù)由負變正的零點是原函數(shù)的極小值點負變正的零點是原函數(shù)的極小值

36、點. . 3. 3.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟（1 1）審題設未知數(shù)；（）審題設未知數(shù)；（2 2）結合題意列出函數(shù)關系）結合題意列出函數(shù)關系式；（式；（3 3）確定函數(shù)的定義域；（）確定函數(shù)的定義域；（4 4）在定義域內求）在定義域內求極值、最值；（極值、最值；（5 5）下結論）下結論. .一、選擇題一、選擇題1.1.函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=-)=-x x3 3+ +x x2 2+ +tx tx+ +t t在（在（-1-1，1 1）上是增函數(shù)，則）上是增函數(shù)，則t t 的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A.A.t t55B.B.t t5 C.5 C.t t55

37、D. D.t t55 解析解析 f f( (x x) )在（在（-1-1，1 1）上是增函數(shù)，）上是增函數(shù)， f f(x x)=-3)=-3x x2 2+2+2x x+ +t t, , 在（在（-1-1，1 1）上）上f f(x x)0.)0.t t33x x2 2-2-2x x. . 設函數(shù)設函數(shù)g g( (x x)=3)=3x x2 2-2-2x x， 由于由于g g( (x x) )的圖象是對稱軸為的圖象是對稱軸為 開口向上的拋物開口向上的拋物 線，線，,31x 故要使故要使t t33x x2 2-2-2x x在區(qū)間（在區(qū)間（-1-1，1 1）上恒成立）上恒成立 t tg g(-1)(-

38、1)，即，即t t5.5. 故故t t的取值范圍是的取值范圍是t t5.5.故選故選C.C. 答案答案 C C2.2.（20092009天津理天津理,4,4）設函數(shù)）設函數(shù) 則則方程方程f f( (x x)=0 )=0 （ ） A.A.在區(qū)間在區(qū)間 (1,e)(1,e)內均有實根內均有實根 B.B.在區(qū)間在區(qū)間 (1,e)(1,e)內均無內均無實根實根 C.C.在區(qū)間在區(qū)間 內有實根，在區(qū)間內有實根，在區(qū)間(1,e)(1,e)內無實根內無實根 D.D.在區(qū)間在區(qū)間 內無實根內無實根, ,在區(qū)間在區(qū)間(1,e)(1,e)內有實根內有實根),0(ln31)(xxxxf) 1,e1() 1,e1()

39、 1,e1() 1,e1( 解析解析 因為因為 令令f f(x x)=0)=0，則，則x x=3=3 當當x x(0,3)(0,3)時，時，f f(x x)0)00或或a a-1-1時，在時，在x x= =a a處取得極小值，處取得極小值， 當當-1-1a a00時，在時，在x x= =a a處取得極大值處取得極大值, ,故故a a(-1,0).(-1,0).C4.4.設設f f( (x x),),g g( (x x) )分別是定義在分別是定義在R R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，上的奇函數(shù)和偶函數(shù)， 當當x x00,)0,且且g g(-3)=0,(-3)=0,則則 不等式不等式f f( (x x) )

40、g g( (x x)0)00，即當，即當x x00時，時，F(xiàn) F（x x）是增）是增 函數(shù)函數(shù). .又又g g（-3-3）=0=0，F(xiàn) F（x x） 的圖象大體如圖所示的圖象大體如圖所示,F F（x x）0,0, 即即f f( (x x) )g g( (x x)0)0的范圍為（的范圍為（-，-3-3） （0 0，3 3）. . 答案答案 D D5.5.（20082008廣東文，廣東文，9 9）設）設a aR R, ,若函數(shù)若函數(shù)y y=e=ex x+ +ax,ax, x xR R有大于零的極值點，則有大于零的極值點，則 ( )( ) A. A.a a-1-1-1 C. C. D.D. 解析解析

41、 y y=e=ex x+ +axax，y y=e=ex x+ +a a. . 當當a a00時時, ,y y不可能有極值點不可能有極值點, ,故故a a0.0,)0,即即ln(-ln(-a a)ln1,)ln1,a a-1.0+2)0 a a22或或a a-1.22或或a a-10 ()0 (x x0).0).這時這時f f( (x x) )在在 （-,0-,0）,(0,+),(0,+)內是增函數(shù)內是增函數(shù). . 當當a a00時，令時，令f f(x x)=0)=0，解得，解得x x= = . . 當當x x變化時，變化時，f f(x x),),f f( (x x) )的變化情況如下表：的變化

42、情況如下表：ax x(-,(-,- - )(- ,(- , 0) 0)(0, )(0, )( ,( , + + ) )f f(x x) ) + +0 0- - -0 0+ +f f( (x x) )極大極大值值極小極小值值aaaaaa.1)(2xaxf. 98)(xxxf 所以所以f f( (x x) )在（在（-, -, ）,( ,+),( ,+)內是增函數(shù)，內是增函數(shù)， 在（在（- ,0- ,0）,(0, ),(0, )內是減函數(shù)內是減函數(shù). . 綜上所述，當綜上所述，當a a00時時, ,f f( (x x) )在（在（-,0-,0）, ,（0,+0,+） 內是增函數(shù)內是增函數(shù) 當當a a00時，時，f f( (x x) )在（在（-,- -,- ），（），（ ,+,+）內是增）內是增 函數(shù)，在（函數(shù)，在（- ,0- ,0），），(0, )(0, )內是減函數(shù)內是減函數(shù). . （3 3）由（）由（2 2）知，）知，f f（x x）在）在 的最大值為的最大值為 與與f f(1)(1)中的較大者，對于任意的中的較大者，對于任意的 不等式不等式 f f( (x x)10)10在在 上恒成立，當且僅當上恒成立，當且僅當a1 ,41)41(f,2 ,21aaaaa