矩陣分析郝(6)

1、1 第六章第六章 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 6.1 Ax1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC定義：定義： 已知已知 和關(guān)于變量和關(guān)于變量 的多項(xiàng)的多項(xiàng)式式那么我們稱那么我們稱 為為 的的矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式。 2設(shè)設(shè) 為一個為一個 階矩陣，階矩陣， 為其為其Jordan標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形，則形，則于是有于是有nAJ111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP11101111110( )()()()nnnnnnnnf Aa AaAa Aa IaPJPaPJPa PJPa I1110( )nnnn

2、f xa xaxa xa3我們稱上面的表達(dá)式為我們稱上面的表達(dá)式為矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式 的的Jordan表示表示。其中。其中( )f A11110()nnnnP a JaJa Ja I P1112( )( (),(),()rPf J PPdiag f Jf Jf JP41()(1,2, )1iiiiiiiddJir111111( )iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc 5(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff例例 已知多項(xiàng)式已知多項(xiàng)式與矩陣與矩陣43( )21f xxxx1110( )nnnnf

3、xa xaxa xa6308316205A求求 。( )f AAJP解：解：首先求出矩陣的首先求出矩陣的 的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 及其相似變換矩陣及其相似變換矩陣43( )21f xxxx7100011001J041130020P130121002102P那么有那么有P96-971APJP81( )( )f APf J P( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)fffffffff100011001J1APJP30 12041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102ffff43( )21f xxxx93507227

4、15418037 n nAC定義定義：已知已知 和關(guān)于變量和關(guān)于變量 的多的多項(xiàng)式項(xiàng)式如果如果 滿足滿足 ，那么稱，那么稱為矩陣為矩陣 的一個的一個化化零多項(xiàng)式零多項(xiàng)式。1110( )nnnnf xa xaxa xax( )f x( )n nf AO( )f xA10定理：定理：已知已知 ， 為其特征多項(xiàng)式為其特征多項(xiàng)式，則有，則有我們稱此定理為我們稱此定理為Hamilton-Cayley定理定理。n nAC( )f( )n nf AOAA( )mn nAC定義定義：已知已知 ，在，在 的化零多項(xiàng)式中，的化零多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的化零多項(xiàng)式稱為的化零多項(xiàng)式稱為

5、的的最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式，通常記為，通常記為 。n nACA( )m最小多項(xiàng)式的性質(zhì)最小多項(xiàng)式的性質(zhì)：已知已知 ，那么，那么（1）矩陣的任何一個化零多項(xiàng)式均能被）矩陣的任何一個化零多項(xiàng)式均能被 整除。整除。（2）矩陣）矩陣 的最小多項(xiàng)式是唯一的。的最小多項(xiàng)式是唯一的。11（3）相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。）相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。11iiiiiiddJ如何求一個矩陣的最小多項(xiàng)式如何求一個矩陣的最小多項(xiàng)式?首先我們考首先我們考慮慮Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。例例 1 ：已知一個已知一個Jordan塊塊12求其最小多項(xiàng)式。求其最小多項(xiàng)式。( )()idif1ik

6、dikd( )m( )()kim解解：注意到其特征多項(xiàng)式為注意到其特征多項(xiàng)式為，則由上面的定理可知其最小多項(xiàng)式，則由上面的定理可知其最小多項(xiàng)式一定具有如下形狀一定具有如下形狀其中其中 。但是當(dāng)。但是當(dāng) 時時13()()001000010000iikiiiddm JJIO 14( )()idim例例 2 ：已知對角塊矩陣已知對角塊矩陣 分別為子塊分別為子塊 的最小多項(xiàng)式，則的最小多項(xiàng)式，則 的最小的最小多項(xiàng)式為多項(xiàng)式為即為即為 的最小公倍的最小公倍數(shù)。數(shù)。12= diag(,)rAA AA12( ),( ),( )rmmm12,rA AAA12( ),( ),( )rmmm12( ),( ),(

7、 )rmmm因此有因此有11iiiiiiddJ15例例 3 ：求下列矩陣的最小多項(xiàng)式求下列矩陣的最小多項(xiàng)式308(1)316205A100011001J解：解： （1）首先前面例題求出其）首先前面例題求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形為形為2(1)所以其最小多項(xiàng)式為所以其最小多項(xiàng)式為 。16（2）此矩陣的）此矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為232(2)1822143從而其最小多項(xiàng)式為從而其最小多項(xiàng)式為 。2(1)(3)100011001J2(1)故其最小多項(xiàng)式為故其最小多項(xiàng)式為 。（3）該矩陣的）該矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為126(3)103114C 183100

8、0300(4)00300005D（4）此矩陣本身就是一個）此矩陣本身就是一個Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形，所以其最小多項(xiàng)式所以其最小多項(xiàng)式 。 2(5)(3)19n nAC12,r r( )mA1212( )() ()()rdddrm定義定義：設(shè)設(shè) ， 為為 的的 個互不相同的特征值，個互不相同的特征值， 為其最小多項(xiàng)為其最小多項(xiàng)式且有式且有20其中其中 如果函數(shù)如果函數(shù) 具有足夠高階的導(dǎo)數(shù)并且下具有足夠高階的導(dǎo)數(shù)并且下列列 個值個值存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù) 在矩陣在矩陣 的的影譜上有影譜上有定義定義。11(1,2, ),riiidirdm( )f x(1)(),(),(),1,2,idii

9、ifffir( )f xAm1( )(3)(4)f xxx例例：設(shè)設(shè)21又已知又已知容易求得矩陣容易求得矩陣 的最小多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式為并且并且836320422AA2( )(2)(1)m511(2),(1),(1)2636fff1( )(3)(4)f xxx22所以所以 在在 的譜上有定義。但是如果取的譜上有定義。但是如果取容易求得矩陣容易求得矩陣 的最小多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式為顯然顯然 不存在，所以在不存在，所以在 的譜上無定義。的譜上無定義。( )f xA310030001BB2( )(1)(3)m(3)fB1( )(3)(4)f xxx23定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 的最小多項(xiàng)式為的最小

10、多項(xiàng)式為n nAC1212( )() ()()rdddrm函數(shù)函數(shù) 在矩陣在矩陣 的影譜上有定義，如果的影譜上有定義，如果存在多項(xiàng)式存在多項(xiàng)式 且滿足且滿足則則矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 定義為定義為( )f xA( )g x( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiifgirkd( )( )f Ag A( )f A24n nACJAP定理：定理：設(shè)設(shè) ， 為矩陣為矩陣 的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形， 為其相似變換矩陣且使得為其相似變換矩陣且使得A1APJP ，如果函數(shù)，如果函數(shù) 在矩陣在矩陣 的影的影譜上有定義，那么譜上有定義，那么其中其中( )f x1112( )( )( (),(),(

11、)rf APf J PPdiag f Jf Jf JP25(1)11( )( )( )( )2!(1)!( )( )1( )2!( )( )iiidiiiiiiiiiid dffffdff Jfff 我們稱此表達(dá)式為矩陣函數(shù)我們稱此表達(dá)式為矩陣函數(shù) 的的Jordan表示。表示。( )f A26例例 1 ：設(shè)設(shè)求求 的的Jordan表示并計算表示并計算 解：首先求出其解：首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 與相似與相似變換矩陣變換矩陣126103114A ( )f A,sinAtAeeAJP27100011001J122110011P從而從而 的的Jordan表示為表示為( )f A28

12、1( )( )122(1)001021100(1)(1)11201100(1)113(1)2(1)2(1)6(1)(1)(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)f APf J Pffffffffffffffff( )xf xe(1),(1)fe fe當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得從而有從而有29當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得于是有于是有( )txf xe(1),(1)ttfefte26034Aeeeeeeeee (12 )26(1)3(13 )ttttAttttttt eteteetet etetetet e(1) 2 (1)2 (1)6 (1)( )(1)(1)(1)3 (1)(1)(1)(1) 3

13、(1)fffff Affffffff30當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得同樣可得同樣可得( )f xsinx(1)1,(1)1fsinfcos12121611113111131sincoscosCossinAcossincoscoscoscossincos(1) 2 (1)2 (1)6 (1)( )(1)(1)(1)3 (1)(1)(1)(1) 3 (1)fffff Affffffff31例例 2 ：設(shè)設(shè)求求 的的Jordan表示并計算表示并計算308316205A( )f A, in,cos2tAesAAJP解：首先求出其解：首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 與相與相似變換矩陣似變換矩陣32100011001J041130020P從而從而 的的Jordan表示為表示為( )f A331( )( )3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)f APf J Pfffffffffffff當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得( )txf xe(1),(1)ttfefte3440836204ttttAttttteteteeteetetete于是