矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準形

1、 第二章第二章 矩陣與矩陣的矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準形標(biāo)準形 矩陣的基本概念矩陣的基本概念定義定義：設(shè)：設(shè)為數(shù)域為數(shù)域 上的多項式，則稱上的多項式，則稱 ( )(1,2,;1,2, )ijaim jnF111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmnaaaaaaAaaa為多項式矩陣或為多項式矩陣或 矩陣。矩陣。定義定義 如果 矩陣 中有一個 階 子式不為零，而所有 階子式(如果有的話)全為零，則稱 的秩為 ，記為零矩陣的秩為0。定義定義 一個 階 矩陣稱為可逆的，如果有一個 階 矩陣 ，滿足這里 是 階單位矩陣。 稱為 矩陣的逆矩陣，記為 。( )

2、Ar(1)r 1r ( )Arrank ( )Arnn( )B( ) ( )( ) ( )ABBAEEn( )B( )A1( )A定理定理 一個 階 矩陣 可逆的充要必要是 一個非零的常數(shù)。定義 下列各種類型的變換，叫做 矩陣的初等變換： 矩陣的任二行(列)互換位置； 非零常數(shù) 乘矩陣的某一行(列)； 矩陣的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去，其中 是 的一個多項式。 對單位矩陣施行上述三種類型的初等變換便得相應(yīng)得三種 矩陣得初等矩陣 (1) n( )Adet( )Ac( ) ( , ), ( ( ), ( , ( )P i j P i cP i j( ) 定理定理 對一個 的 矩陣 的行

3、作初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的 階初等矩陣左乘 。對 的列作初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的 階初等矩陣右乘 。定義定義 如果 經(jīng)過有限次的初等變換之后變成 ，則稱 與 等價，記之為mn( )Am( )A( )A( )An( )A( )A( )B( )( )AB( )B定理定理 與 等價的充要條件是存在兩個可逆矩陣 與 ，使得( )A( )B( )P( )Q( )( ) ( ) ( )BPAQ 矩陣矩陣Smith標(biāo)準形的存在性標(biāo)準形的存在性 定定 理理 任意一個非零的 型的 矩陣都等價于一個對角矩陣對角矩陣，即mn12( )( )( )( )00rddAd 其中 是首項系數(shù)為1的多項式且稱這種形式的

4、矩陣為 的Smith標(biāo)準形。 稱為 的不變因子。1,( )ird1( )( )(1,2,1)iiddir( )A12( ),( ),( )rddd( )A例 122221( )1A將其化成Smith標(biāo)準形。2222222223232432432110( )11101000000A解：32322432100100000001000000(1) 例 22(1)( )(1)A 將其化成Smith標(biāo)準形。2(1)( )(1)A 解：2(1)(1)(1)(2)1 32222(1)2021(1)(1)11(1)(1) 例 3將其化為Smith標(biāo)準形。222223232123( )4353234421A22

5、222421( )32321234353234A解：22222222421437333443532344214373334210222222210421437333412024133437342222221200104313410001043134222232100010344311000100132210001000110001000(1)(1)將其化為Smith標(biāo)準形。例 411( )1aaAaa100010( )001000aaAaa解：221000()1000100010000()10001000aaaaaaa223100001()0001000100001()000()1000aaa

6、aaa331000010000()100010000100001()000aaaa4100001000010000()a矩陣標(biāo)準形的唯一性定定 義義： 為一個為一個 矩陣且矩陣且 對對于任意的正整數(shù)于任意的正整數(shù) ， ， 必有非零的必有非零的 階子式，階子式， 的全部的全部 階子式的最大公因式階子式的最大公因式 稱為稱為 的的 階階行列式因子行列式因子。 ( )A( ( )rank Ark1kr( )Ak( )Ak( )kD( )Ak顯然，如果 ，則行列式因子一共有 個。例 1 求的各階行列式因子。解：( ( )rank Arr22221( )1A由于 ，所以 。顯然 而且其余的7各2 階子式

7、也都包含 作為公因子，所以另外(1, )1 1( )1D2222321(1)( )1(1)( )1fg( ( ), ( )fg32323( )( )AD 2( )D注意 ：觀察 三者之間的關(guān)系。定理： 等價（相抵） 矩陣有相同的各階行列式因子從而有相同的秩。 設(shè) 矩陣 的Smith標(biāo)準形為123( ),( ),( )DDD( )A12( )( )( )( )00rddAd容易計算上面的標(biāo)準形的各階行列式因子為1121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )rrDdDddDddd顯然有：112211( )( )( )( )( )( )( )( )rrrdDDdDDdD由于 與

8、上面的Smith標(biāo)準形具有相同的各階行列式因子，所以 的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定 理： 的Smith標(biāo)準形是唯一的。例 1 求下列 矩陣的Smith標(biāo)準形。( )A( )A12( ),( ),( )rDDD12( ),( ),( )rddd( )A2222121000000(1)0(1)00000(2)nacacaca00120120(3)12002000解 ：（1）容易計算出12224434( )1,( )(1)( )(1) ,( )(1)DDDD 122234( )1,( )(1),( )(1),( )(1)dddd 221(1)( )(1)(1)A

9、 （2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯然下面看 階行列式因子。有一個階子式要注意，即( )()nnDa1n 1n 121 211nncacc ccac容易計算出 從而 121121( )( )( )1( )1,( )1,( )1,( )()nnnnDDDdddda1( )1nD111()na(3) 4111(2)定理定理 矩陣 與 等價的充要條件是對于任何的 ，它們的 階行列式因子相同。定理定理 矩陣 與 等價的充要條件是 與 有相同的不變因子。( )A( )Bkk( )A( )B( )B( )A與一般的數(shù)字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論 矩陣 可逆的充要條件為 與單位矩陣等價。推論 矩陣

10、 可逆的充要條件為 可以表示成一系列初等矩陣的乘積。 ( )A( )A( )A( )A初等因子和矩陣的相似初等因子和矩陣的相似設(shè) 矩陣 的不變因子為在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積：( )A12( ),( ),( )rddd 11112221221211221212() ()()()()()()()()ssrsrreeeseeeseeersddd其中 是互異的復(fù)數(shù)， 是非負整數(shù)。因為 ，所以滿足如下關(guān)系1,sije1|( )(1,1)iiddir112111222212000rrssrseeeeeeeee定義 在上式中，所以指數(shù)大于零的因子稱為 矩陣 的初等因子( )A() ,0,1,

11、 ,1,ijejijeir js例 如果 矩陣 的不變因子為( )A 1222323341(1)(1) (1)(1) (1) (2)dddd 則 的初等因子為( )A2, ,1, 2323(1) ,(1) ,(1) ,(1) ,(2)例 如果 矩陣 的秩為4，其初等因子為( )A5 62233, ,1,(1) ,(1) ,() i 3() i求 的Smith標(biāo)準形。( )A解：首先求出 的不變因子( )A 233342321(1) () ()(1)(1)1diiddd 從而 的Smith標(biāo)準形為定理 階 矩陣 與 等價的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。( )A22323100000

12、0(1)0000( )00(1)000000(1)(1)00000000A n( )A( )B定理 設(shè) 矩陣為準對角形矩陣，則 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：( )( )( )BAC( )B( )C( )A定理 若 矩陣則 各個初等因子的全體就是 的全部初等因子。12( )( )( )( )tAAAA12( ),( ),( )tAAA( )A例 1 求 矩陣的初等因子，不變因子與標(biāo)準形。解：記22000000( )00(1)10022A21223( ),( ),(1)1( )22AAA那么對于 ，其初等因子為 由上面的定理可知 的初等因子為因為 的秩為4，故

13、 的不變因子為123( )00( )0( )000( )AAAA3( )A,1,1 ( )A, , ,1,1,1 ( )A( )A 4321(1)(1),(1),1dddd 因此 的Smith標(biāo)準形為( )A1000000( )00(1)0000(1)(1)A 例 2 判斷下面兩個 矩陣是否等價？22223141( )1122A22122( )2232211B例 3 求下面 矩陣不變因子1000100015432例 4 求下列 矩陣的行列式 因子與不變因子121001000001nnaaaa數(shù)字矩陣的相似與 矩陣的等價定理： 設(shè) 是兩個 階的數(shù)字矩陣，那么 與 相似的充分必要條件為它們的特征矩

14、陣 與等價。定義： 對于數(shù)字矩陣 ，我們稱 的不變因子為 的不變因子，稱 的初等因子為 的初等因子。 ,A BnABIAIBAIAAIAA 對于任何一個數(shù)字矩陣 所以 ，于是可得下面兩個定理定理： 兩個同階的方陣 相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。定理：兩個同階的方陣 相似的充分必要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。例 設(shè) ，證明：,A B,A B,AIAn()rankIAn0（1） 階矩陣與11aaAanaaBa相似；（2） 階矩陣與n11aaAa不相似。 矩陣的Jordan標(biāo)準形定義： 稱 階矩陣11aaBan為Jordan塊。設(shè) 為Jordan塊，稱準對角形矩陣111i

15、iiiiinnaaJa 12,sJ JJ為Jordan標(biāo)準形矩陣。由前面的例題和定理可知Jordan塊的初等因子為，從而Jordan標(biāo)準形矩陣的初等因子為12sJJJJ()inia1212() ,() ,()snnnsaaa于是可以得到下面的定理定理： 設(shè) 的初等因子為則，這里,n nACA1212() ,() ,()snnnsaaaAJ12sJJJJ其中 我們稱 是矩陣 的Jordan標(biāo)準形。特別地，我們有定理： 可以對角化的充分必要條件是111iiiiiinnaaJa ,(1,2, )isJAAA的初等因子都是一次因式。例 1 求矩陣的Jordan標(biāo)準形。解： 先求出 的初等因子。對 運用

16、初等變換可以得到110430102A AIA所以 的初等因子為211043010211(1) (2)IA2(1) ,2A故 的標(biāo)準形為或A110010002J200011001J例 2 求矩陣的Jordan標(biāo)準形。解： 先求出 的初等因子。對 運用初等變換可以得到112336224AAIA1123362241(2)IA 所以 的初等因子為A, ,2 故 的Jordan標(biāo)準形為或000000002J000020000JA求Jordan標(biāo)準形的另一種方法：特征矩陣秩的方法.具體操作步驟：（1）先求出該矩陣的特征多項式及其特征值（2）其Jordan標(biāo)準形的主對角線上都是 的特征值，并且特征值 在主對

17、角線上出現(xiàn)的次數(shù)等于 作為特征根的重數(shù)。對于每個特征值 ，求出以它為主對角元的各級Jordan 塊的數(shù)目 ，首先求出 那么以 為主對角元的 Jordan 塊的總數(shù)是Aiii()iN()irank AIi這里 為該矩陣的階數(shù)，而以 為主對角元的 級 Jordan 塊的數(shù)目是依次先求出直至滿足條件()()iiNnrank AInit11( ;)()()2()tiittiiN trank AIrank AIrank AI(1;),(2;),( ;)iiiNNN t為止。（3）根據(jù)第二步求出的各級Jordan塊的數(shù)目，就可以寫出 的一個Jordan標(biāo)準形。例 1 用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標(biāo)

18、準形。()(1;)(2;)( ;)iiiiNNNN tA2321822143A解： 先求出 的特征多項式及其特征值。 對于特征值 ，它是 的1重根，從而 在 的 Jordan 標(biāo)準形的主對角線上出現(xiàn)一次，因此 中主對角元為1 的Jordan塊只有一個且它為一階的。A2( )232182(1)(3)2143fIA11( )f1AJ對于特征值 ，先求 所以 從而23(3 )rank AI13213231520842146000AI(3 )2rank AI2()2321Nn特征值 是 的兩重根，從而 在 的Jordan標(biāo)準形 的主對角線上出現(xiàn)兩次，因此 中主對角元為 3的Jordan塊只有一個且它為

19、二階的。故 的標(biāo)準形為或2AJ( )f23JA100031003J310030001J例 2 用矩陣秩的方法求出矩陣的Jordan標(biāo)準形。解：首先求出其特征值，顯然其特征多項式為1234012300120001A4( )(1)fIA所以 為 的4重根，從而 在 的 Jordan 標(biāo)準形 的主對角線上出現(xiàn)四次，下面計算 中主對角元為1 的Jordan塊的數(shù)目，先計算 ， 容易得到那么中主對角元為 的Jordan塊數(shù)是由此立即可得其Jordan標(biāo)準形為( )fAJJ( )()431Nnrank AI1()rank AI()3rank AI11100011000110001A如何求相似變換矩陣？ 設(shè)

20、 階方陣 的Jordan標(biāo)準形為 ,則存在可逆矩陣 使得nAJP1P APJ，稱 為相似變換矩陣。對于相似變換矩陣的一般理論我們不作過多的討論，只通過具體的例題說明求 的方法。例 1 求方陣的Jordan標(biāo)準形及其相似變換矩陣 。PP308316205AP解： 首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準形：230831620510001000(1)IA故 的初等因子為從而 的Jordan標(biāo)準形為 再求相似變換矩陣： 設(shè)所求矩陣為 ，則 ，對于 按列分塊記為21,(1)AA100011001JP1P APJP123,PXXX于是有從而可得1231231231223,100,011001,APA XXX

21、AXAXAXPJXXXXXXX 1122323,AXXAXXAXXX 整理以后可得三個線性方程組前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎(chǔ)解系：可以取 ，但是不能簡單地取，這是因為如果 選取不當(dāng)會使得第三個非齊次線性方程組無解。由于1232()0()0()IA XIA XIA XX120,1,0,2,0,1TT 11X22X2X12, 的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應(yīng)該取 使得第三個非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣 的秩也為1。即21122Xkk2,IAX22124082,306204kIAXkk容易看出只需

22、令 就會使得上述矩陣的秩為1，于是再由第三個方程解出一個特解為123,2kk 212324,3,2TX31,0,0TX ，那么所求相似變換矩陣為例 2 求方陣的Jordan標(biāo)準形及其相似變換矩陣 。123041,130020PXXX126103114A 解： 首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準形：21261311410001000(1)IA故 的初等因子為從而 的Jordan標(biāo)準形為 再求相似變換矩陣： 設(shè)所求矩陣為 ，則 ，對于 按列分塊記為A21,(1)A100011001J123,PXXXP1P APJ于是有從而可得1231231231223,100,011001,APA XXXAXA

23、XAXPJXXXXXXX1122323,AXXAXXAXXX整理以后可得三個線性方程組前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎(chǔ)解系：可以取 ，但是不能簡單地取，這是因為如果 選取不當(dāng)會使得第三個非齊次線性方程組無解。由于1232()0()0()IA XIA XIA XX 121,1,0,3,0,1TT 11X22X2X12,的任意線性組合都是前兩個方程組的解，所以應(yīng)該取 使得第三個非齊次方程有解，即其系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同地秩，容易計算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應(yīng)該使得增廣矩陣的秩也為1。即21122Xkk2,IAX122122263,113113kkIAXkk容易看只要 就會使得

24、上述增廣矩陣的秩為1。令 ，于是再由第三個方程解出一個特解為12kk121kk2122,1,1TX32,0,1TX ，那么所求相似變換矩陣為從而有123122,110011PXXX1100011001P AP一般地，設(shè) ，則存在 階可逆矩陣 使得其中 為Jordan塊，記這里n nACnP121tJJP APJiJ12,tPP PPin niPC那么有記 ，又可得121122,1,2,tttiiiAP APAPPJ P JPJAPPJit12,iiiiinPXXX112121iiiiiiiiiiininiinAXXAXXXAXXX注意： 是矩陣 的對應(yīng)于特征值 的特征向量，特征向量 的選取應(yīng)該

25、保證特征向量 可以求出，同樣特征向量 的選取應(yīng)該保證特征向量 可以求出，依此類推，并且使得線性無關(guān)。Jordan標(biāo)準形的某些應(yīng)用例 1 對于方陣1 iXAi1 iX2iX2iX3iX12,iiiinXXX126103114A 求 。解：首先用初等變換法求其Jordan標(biāo)準形：10A21261311410001000(1)IA故 的初等因子為A21,(1)從而 的Jordan標(biāo)準形為再求相似變換矩陣 且 ，那么 按照前面例題的方式，容易計算出 A100011001JP1P APJ10101APJ P122110011P從而10101122100110011001100110219206011210930113101031APJ P 例 2 求解常系數(shù)線性微分方程組解： 令1132123313383825dxxxdtdxxxxdtdxxxdt 112233308316 ,205dxdtxdXdxAXxd