光輝燦爛的幾何文化

1、關(guān)于光輝燦爛的幾何文化現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共103頁主要內(nèi)容幾何發(fā)展幾何發(fā)展幾何證明幾何證明幾何計(jì)算幾何計(jì)算幾何變換幾何變換幾何作圖幾何作圖幾何解題幾何解題幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用幾何教學(xué)幾何教學(xué)幾何課程幾何課程每個(gè)板塊，每組下載1篇關(guān)于初等幾何研究的論文進(jìn)行研讀，并上臺講解?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共103頁考核方式理論知識考查與實(shí)踐能力考察相結(jié)合。理論知識考查與實(shí)踐能力考察相結(jié)合。 課堂內(nèi)考察（聽講，參與和思考）于課堂外考察（課外作業(yè)）作為課堂內(nèi)考察（聽講，參與和思考）于課堂外考察（課外作業(yè)）作為平時(shí)成績共計(jì)平時(shí)成績共計(jì)30%30%。 期末考核占期末考核占70%70%；時(shí)間形式為期末集中考試的形式進(jìn)行

2、，考試時(shí)間；時(shí)間形式為期末集中考試的形式進(jìn)行，考試時(shí)間120120分鐘，分鐘，完成一套試題。完成一套試題?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共103頁教學(xué)方式一、一、3 3 人一組，以課題加習(xí)題的形式向各小組下達(dá)學(xué)習(xí)任務(wù)，以小組團(tuán)人一組，以課題加習(xí)題的形式向各小組下達(dá)學(xué)習(xí)任務(wù)，以小組團(tuán)隊(duì)為單位參與隊(duì)為單位參與“初等數(shù)學(xué)研究初等數(shù)學(xué)研究”課程的學(xué)習(xí)。課程的學(xué)習(xí)。二、分幾何證明、計(jì)算、變換、作圖、解題五個(gè)研究學(xué)習(xí)板塊，三周為二、分幾何證明、計(jì)算、變換、作圖、解題五個(gè)研究學(xué)習(xí)板塊，三周為一個(gè)學(xué)段完成一個(gè)板塊。小組結(jié)合教材內(nèi)容研究各自的課題和習(xí)題，課一個(gè)學(xué)段完成一個(gè)板塊。小組結(jié)合教材內(nèi)容研究各自的課題和習(xí)題，課堂上

3、進(jìn)行互動交流，主要介紹自己小組的研究成果，在交流的過程中，堂上進(jìn)行互動交流，主要介紹自己小組的研究成果，在交流的過程中，有師生的提問和評議。有師生的提問和評議。三、每人撰寫一篇關(guān)于初等幾何的小論文。三、每人撰寫一篇關(guān)于初等幾何的小論文。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共103頁課題來源中國初等數(shù)學(xué)研究雜志中國初等數(shù)學(xué)研究雜志初等數(shù)學(xué)研究作者初等數(shù)學(xué)研究作者: : 甘志國，圖書館有藏書甘志國，圖書館有藏書現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共103頁光輝燦爛的幾何文化現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共103頁 幾何學(xué)是一門源遠(yuǎn)流長，多姿多彩的學(xué)科，在人幾何學(xué)是一門源遠(yuǎn)流長，多姿多彩的學(xué)科，在人類的理性文明中，它是當(dāng)之無愧的老大哥。數(shù)千

4、年來，類的理性文明中，它是當(dāng)之無愧的老大哥。數(shù)千年來，不論在思想領(lǐng)域的突破上，在科學(xué)方法論的創(chuàng)建上，不論在思想領(lǐng)域的突破上，在科學(xué)方法論的創(chuàng)建上，幾何學(xué)總是扮演著幾何學(xué)總是扮演著“開路先鋒開路先鋒”的角色。的角色。 今天，幾何今天，幾何學(xué)仍然是一門方興未艾、蓬勃發(fā)展的學(xué)科，在整個(gè)數(shù)學(xué)仍然是一門方興未艾、蓬勃發(fā)展的學(xué)科，在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中，幾何一直是一個(gè)重要的主角。學(xué)體系中，幾何一直是一個(gè)重要的主角。 題題 記記現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共103頁本章提綱本章提綱一、幾何的發(fā)展歷史線索一、幾何的發(fā)展歷史線索二、幾何學(xué)發(fā)展概述二、幾何學(xué)發(fā)展概述 三、中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)三、中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)四、小結(jié)四、小結(jié)

5、現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共103頁一、幾何的發(fā)展歷史線索一、幾何的發(fā)展歷史線索經(jīng)驗(yàn)幾何經(jīng)驗(yàn)幾何（遠(yuǎn)古（遠(yuǎn)古元前元前600600年）年）論證幾何論證幾何（歐氏幾何）（歐氏幾何）演繹化演繹化（元前（元前600600年年 400 400年）年）積累了豐富的經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，但未上升成驗(yàn)，但未上升成系統(tǒng)理論系統(tǒng)理論埃及幾何跟希臘邏輯埃及幾何跟希臘邏輯方法相結(jié)合，以抽象方法相結(jié)合，以抽象化、邏輯化為特點(diǎn)化、邏輯化為特點(diǎn)非歐幾何非歐幾何第第公設(shè)研究公設(shè)研究幾何基礎(chǔ)（幾何基礎(chǔ)（公理幾何）公理幾何）對古典公理體系的完善對古典公理體系的完善解析幾何解析幾何射影幾何射影幾何微分幾何微分幾何研究方法改變研究方法改變拓

6、撲學(xué)拓?fù)鋵W(xué)哥德堡七橋問題哥德堡七橋問題現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共103頁畫法幾何畫法幾何仿射幾何仿射幾何代數(shù)幾何代數(shù)幾何解析幾何解析幾何(17(17世紀(jì)世紀(jì)) )（坐標(biāo)法）（坐標(biāo)法）代數(shù)法代數(shù)法代數(shù)曲線代數(shù)曲線代數(shù)曲面代數(shù)曲面代數(shù)族代數(shù)族域上多胞形域上多胞形微分幾何微分幾何(19(19世紀(jì)世紀(jì)) )（分析方法）（分析方法）張量分析張量分析微分流形、黎曼流形、復(fù)流形微分流形、黎曼流形、復(fù)流形大范圍微分幾何大范圍微分幾何射影幾何射影幾何(19(19世紀(jì)世紀(jì)) )（綜合法、愛爾蘭（綜合法、愛爾蘭根綱領(lǐng)代數(shù)法）根綱領(lǐng)代數(shù)法）特例特例應(yīng)用應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共103頁非歐幾何非歐幾何黎曼幾何黎曼幾何（1

7、919世紀(jì)）世紀(jì)）拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)（幾何與代數(shù)（幾何與代數(shù)、分析相結(jié)合、分析相結(jié)合，多樣化發(fā)展，多樣化發(fā)展）點(diǎn)集拓?fù)潼c(diǎn)集拓?fù)浯鷶?shù)拓?fù)浯鷶?shù)拓?fù)浣馕鐾負(fù)浣馕鐾負(fù)浞中螏缀畏中螏缀挝⒎滞負(fù)湮⒎滞負(fù)湮⒎至餍挝⒎至餍卫w維叢纖維叢羅巴切夫斯基幾何羅巴切夫斯基幾何現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共103頁1.1.幾何學(xué)的產(chǎn)生幾何學(xué)的產(chǎn)生無意識幾何階段無意識幾何階段幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時(shí)代術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時(shí)代( (公元前公元前50005000年以前年以前) )，人們在實(shí)，人們在實(shí)踐中積累了十分豐富的有關(guān)踐中積累了十分豐

8、富的有關(guān)平面、直線、方、圓、長、短、平面、直線、方、圓、長、短、寬、窄、厚、薄寬、窄、厚、薄等概念，并且逐步認(rèn)識了這些概念之間、它等概念，并且逐步認(rèn)識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學(xué)的基本概念。就成了幾何學(xué)的基本概念。 二、幾何學(xué)發(fā)展概述二、幾何學(xué)發(fā)展概述 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共103頁恩格斯說：恩格斯說：“數(shù)學(xué)是從計(jì)算時(shí)間和器皿制造中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)是從計(jì)算時(shí)間和器皿制造中產(chǎn)生的”。計(jì)算時(shí)間產(chǎn)生了計(jì)算時(shí)間產(chǎn)生了“數(shù)數(shù)”，而器皿制造則產(chǎn)生了而器皿制造則產(chǎn)生了“形形”。正正是這些有如器皿制造等生產(chǎn)實(shí)

9、踐的需要，原始的幾何概念是這些有如器皿制造等生產(chǎn)實(shí)踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗(yàn)性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗(yàn)性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些零散、經(jīng)驗(yàn)性的、粗淺的幾何知識之上的。零散、經(jīng)驗(yàn)性的、粗淺的幾何知識之上的?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共103頁幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。域里最基礎(chǔ)的分支之一。古巴比倫、古埃及、古印度、古巴比倫、古埃及、古印度、中中國、國、古希臘古希臘都

10、是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。在我國的史前時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知在我國的史前時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識，這有大量出土文物可以證明，識，這有大量出土文物可以證明，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共103頁如甘肅省景泰縣張家臺（如甘肅省景泰縣張家臺（新石器時(shí)代，約公元前新石器時(shí)代，約公元前20002000年左年左右右）出土的彩陶罐上發(fā)現(xiàn)的大量的平行線、三角形、）出土的彩陶罐上發(fā)現(xiàn)的大量的平行線、三角形、正方形、圓弧等。正方形、圓弧等。在西安半坡遺址（新石器時(shí)代）的考古過程中發(fā)現(xiàn)一在西安半坡遺址（新石器時(shí)代）的考古過程中發(fā)現(xiàn)一些陶罐片上繪有些陶罐片上繪有方格、米字、回

11、文方格、米字、回文等幾何圖案?？匆豢吹葞缀螆D案?？匆豢催h(yuǎn)古時(shí)期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱遠(yuǎn)古時(shí)期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當(dāng)時(shí)人們掌握的幾何知識是多么豐的器皿，都足以說明當(dāng)時(shí)人們掌握的幾何知識是多么豐富了。富了?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共103頁2.2.幾何學(xué)的初步發(fā)展幾何學(xué)的初步發(fā)展經(jīng)驗(yàn)幾何階段經(jīng)驗(yàn)幾何階段當(dāng)人們經(jīng)歷了無意識幾何的漫長的醞釀之后、初步形成了當(dāng)人們經(jīng)歷了無意識幾何的漫長的醞釀之后、初步形成了“形形”的意識，進(jìn)而嘗試了一些簡單的的意識，進(jìn)而嘗

12、試了一些簡單的“度量度量”工作，同工作，同時(shí)對幾何時(shí)對幾何“結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”關(guān)系的探索也慢慢地開始了。這樣，幾何關(guān)系的探索也慢慢地開始了。這樣，幾何就從無意識幾何階段步入了經(jīng)驗(yàn)幾何階段。就從無意識幾何階段步入了經(jīng)驗(yàn)幾何階段?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共103頁所謂所謂經(jīng)驗(yàn)幾何經(jīng)驗(yàn)幾何，就是人們通過對大量的具體幾何素材就是人們通過對大量的具體幾何素材進(jìn)行反復(fù)的感受和體驗(yàn)，歸納、概括出較為一般的幾進(jìn)行反復(fù)的感受和體驗(yàn)，歸納、概括出較為一般的幾何關(guān)系，在實(shí)踐中對其加以驗(yàn)證和檢驗(yàn)，并從中挖掘何關(guān)系，在實(shí)踐中對其加以驗(yàn)證和檢驗(yàn)，并從中挖掘和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關(guān)系的一種實(shí)驗(yàn)型幾何的歷史階段。和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關(guān)系的一種實(shí)

13、驗(yàn)型幾何的歷史階段?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共103頁經(jīng)驗(yàn)幾何最大的好處就是它包含了很重要的思想方法經(jīng)驗(yàn)幾何最大的好處就是它包含了很重要的思想方法特特例研究發(fā)現(xiàn)法例研究發(fā)現(xiàn)法，即對具體事例進(jìn)行分析、研究和實(shí)驗(yàn)，采用，即對具體事例進(jìn)行分析、研究和實(shí)驗(yàn)，采用歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系的本質(zhì)特征，歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系的本質(zhì)特征，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，尋找解決問題的辦法，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，尋找解決問題的辦法，從而達(dá)到解決從而達(dá)到解決問題的目的。問題的目的?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共103頁但是在經(jīng)驗(yàn)幾何階段，人們的思維發(fā)展水平不高限制了但是在經(jīng)驗(yàn)幾何階段，人們的思維發(fā)展水

14、平不高限制了對一些難度較大的問題的進(jìn)一步探索，被迫轉(zhuǎn)而采用實(shí)對一些難度較大的問題的進(jìn)一步探索，被迫轉(zhuǎn)而采用實(shí)驗(yàn)的方法對問題進(jìn)行粗略的、近似的處理。在這些問題驗(yàn)的方法對問題進(jìn)行粗略的、近似的處理。在這些問題中，人們首要考慮的是實(shí)際應(yīng)用迫切需要但理論上又暫中，人們首要考慮的是實(shí)際應(yīng)用迫切需要但理論上又暫時(shí)得不到解決的問題，比如時(shí)得不到解決的問題，比如“如何求圓的面積如何求圓的面積”，“球體球體體積如何計(jì)算體積如何計(jì)算”等等。等等?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共103頁林永偉先生認(rèn)為：對于現(xiàn)今中小學(xué)幾何教學(xué)而言，經(jīng)驗(yàn)幾何林永偉先生認(rèn)為：對于現(xiàn)今中小學(xué)幾何教學(xué)而言，經(jīng)驗(yàn)幾何的思想方法無疑給我們提供了許多更深

15、層次的啟示意義：的思想方法無疑給我們提供了許多更深層次的啟示意義：經(jīng)經(jīng)驗(yàn)幾何能夠提供學(xué)生廣闊的數(shù)學(xué)活動空間，使數(shù)學(xué)教學(xué)驗(yàn)幾何能夠提供學(xué)生廣闊的數(shù)學(xué)活動空間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為真正意義上的成為真正意義上的“數(shù)學(xué)活動的教學(xué)數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共103頁以經(jīng)驗(yàn)幾何的活動方式對幾何問題進(jìn)行探索，不僅能使學(xué)生以經(jīng)驗(yàn)幾何的活動方式對幾何問題進(jìn)行探索，不僅能使學(xué)生充分體會到幾何原理的來龍去脈，加深對其本質(zhì)意義的理解，充分體會到幾何原理的來龍去脈，加深對其本質(zhì)意義的理解，而且其過程本身就包含了豐富的內(nèi)容，體現(xiàn)一定的趣味性和而且其過程本身就包含了豐富的內(nèi)容，體現(xiàn)一定的趣味性和吸引力，從而使提高學(xué)

16、生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性；經(jīng)驗(yàn)幾何中所吸引力，從而使提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性；經(jīng)驗(yàn)幾何中所包含的還有另一主要思想方法包含的還有另一主要思想方法不完全歸納法，不完全歸納法，而這一方而這一方法在發(fā)展學(xué)生法在發(fā)展學(xué)生“策略創(chuàng)造策略創(chuàng)造”思維方面具有獨(dú)特的效能。思維方面具有獨(dú)特的效能?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共103頁所以在幾何教學(xué)，尤其是初等幾何教學(xué)中，我們主張先所以在幾何教學(xué)，尤其是初等幾何教學(xué)中，我們主張先從從“宏觀宏觀”生動活潑的生動活潑的“策略效能策略效能”出發(fā)，再以出發(fā)，再以“微觀微觀”一絲不茍的一絲不茍的“邏輯演繹邏輯演繹”予以補(bǔ)正。予以補(bǔ)正?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共103頁3.3.由哲學(xué)而

17、來的新幾何由哲學(xué)而來的新幾何論證幾何論證幾何幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識，研究幾何就是最感興趣發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識，研究幾何就是最感興趣的內(nèi)容之一。在這里應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的是古希臘著名哲學(xué)家、的內(nèi)容之一。在這里應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的是古希臘著名哲學(xué)家、幾何學(xué)家?guī)缀螌W(xué)家柏拉圖柏拉圖和和亞里士多德亞里士多德對發(fā)展幾何學(xué)的貢獻(xiàn)。對發(fā)展幾何學(xué)的貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁，共103頁論證幾何有兩大

18、基本要素：論證幾何有兩大基本要素：一是幾何的基本原理一是幾何的基本原理公理是公理是否可靠，即出發(fā)點(diǎn)是否正確；否可靠，即出發(fā)點(diǎn)是否正確；二是邏輯推理的過程是否嚴(yán)二是邏輯推理的過程是否嚴(yán)密。密。古希臘的哲學(xué)為論證幾何的產(chǎn)生和發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的理古希臘的哲學(xué)為論證幾何的產(chǎn)生和發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和思想支柱，因?yàn)檎軐W(xué)研究的思想方法就是從最簡單論基礎(chǔ)和思想支柱，因?yàn)檎軐W(xué)研究的思想方法就是從最簡單的始點(diǎn)出發(fā)演繹出最復(fù)雜、最豐富的世界。另外，對理性的的始點(diǎn)出發(fā)演繹出最復(fù)雜、最豐富的世界。另外，對理性的追求，對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目释钌钤诠畔ＥD人的心靈深處。追求，對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目释?，深深扎根于古希臘人的心靈深處?，F(xiàn)在學(xué)

19、習(xí)的是第二十四頁，共103頁事實(shí)上，事實(shí)上，古代中國的數(shù)學(xué)研究者注重的是實(shí)際問題的解決，古代中國的數(shù)學(xué)研究者注重的是實(shí)際問題的解決，如土地面積計(jì)算等，這也正是為什么論證幾何沒有也不如土地面積計(jì)算等，這也正是為什么論證幾何沒有也不可能在中國產(chǎn)生的原因。可能在中國產(chǎn)生的原因。柏拉圖把柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法邏輯學(xué)的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題

20、作了論證。幾何中的一些命題作了論證。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共103頁亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，他所提出的亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，他所提出的“三段論三段論”的演繹推理的方法，對于幾何學(xué)的發(fā)展，影響更為巨大。的演繹推理的方法，對于幾何學(xué)的發(fā)展，影響更為巨大。到今天，在初等幾何學(xué)中，更多的仍然運(yùn)用三段論的形到今天，在初等幾何學(xué)中，更多的仍然運(yùn)用三段論的形式來進(jìn)行推理。式來進(jìn)行推理。但是，盡管那時(shí)候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識，這些但是，盡管那時(shí)候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總知識仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門具

21、有比較嚴(yán)明理論的學(xué)科的，是古希臘杰出的結(jié)成一門具有比較嚴(yán)明理論的學(xué)科的，是古希臘杰出的數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家歐幾里得歐幾里得?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁，共103頁歐幾里得歐幾里得(Euclid of Alexandria)(Euclid of Alexandria)的的生平，生平，“從生活年代來說，屬于希臘從生活年代來說，屬于希臘歷史上第二個(gè)大分期，即歷史上第二個(gè)大分期，即亞歷山大里亞歷山大里亞時(shí)期。亞時(shí)期。4.4.歐幾里得的歐幾里得的幾何原本幾何原本歐幾里得在公元前歐幾里得在公元前300年左右生活在亞歷山大里亞城并年左右生活在亞歷山大里亞城并在該處授徒，這一點(diǎn)是很肯定的，雖然他本人的教育可在該處授徒，這

22、一點(diǎn)是很肯定的，雖然他本人的教育可能得自雅典學(xué)院。我們對歐幾里得個(gè)人的生平幾乎就只能得自雅典學(xué)院。我們對歐幾里得個(gè)人的生平幾乎就只知道這點(diǎn)情況，而且連這點(diǎn)情況也還是從知道這點(diǎn)情況，而且連這點(diǎn)情況也還是從Proclus評述評述的一段文字中得來的。的一段文字中得來的?！保ㄒ姡ㄒ奙.M.克萊因克萊因古今數(shù)學(xué)古今數(shù)學(xué)思想史思想史6565頁）。頁）?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁，共103頁幾何原本幾何原本是歐幾里得最出名的著作。它最突出的是是歐幾里得最出名的著作。它最突出的是從從一些特別提出的公理、公設(shè)和定義有計(jì)劃地來論證其它命一些特別提出的公理、公設(shè)和定義有計(jì)劃地來論證其它命題題，其次是，其次是它第一次把豐

23、富而散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)它第一次把豐富而散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴(yán)明的讀本嚴(yán)明的讀本。正因?yàn)槿绱?，它成為人類歷史上最作大的科學(xué)。正因?yàn)槿绱?，它成為人類歷史上最作大的科學(xué)杰作。所以他的杰作。所以他的幾何原本幾何原本一直被后世所推崇，以至于一直被后世所推崇，以至于二千多年來所有初等幾何教科書以及初等幾何的論著無二千多年來所有初等幾何教科書以及初等幾何的論著無不以他的不以他的幾何原本幾何原本為根據(jù)。為根據(jù)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁，共103頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁，共103頁由于由于幾何原本幾何原本有其無與倫比的歷史意義，我們有必有其無與倫比的歷史意義，我們有必要對其作一個(gè)基本的介紹，特別是平

24、面幾何部分。要對其作一個(gè)基本的介紹，特別是平面幾何部分。幾何原本幾何原本共有十三篇。共有十三篇。（一）（一）第一篇先給出書中第一部分的所用概念的定義，共第一篇先給出書中第一部分的所用概念的定義，共2323個(gè)。個(gè)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁，共103頁定義定義1. 1. 點(diǎn)是沒有部分的東西點(diǎn)是沒有部分的東西 。定義定義2. 2. 線只有長度而沒有寬度。線只有長度而沒有寬度。 定義定義3. 3. 一線的兩端是點(diǎn)。一線的兩端是點(diǎn)。 定義定義4. 4. 直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線。直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線。 定義定義5. 5. 面只有長度和寬度。面只有長度和寬度。定義定義6. 6. 面的邊緣是

25、線。面的邊緣是線。定義定義7. 7. 平面是它上面的線一樣地平放著的面。平面是它上面的線一樣地平放著的面。定義定義8. 8. 平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。交線相互的傾斜度。定義定義9. 9. 當(dāng)包含角的兩條線都是直線時(shí)，這個(gè)角叫做直當(dāng)包含角的兩條線都是直線時(shí)，這個(gè)角叫做直線角。線角?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十一頁，共103頁定義定義10. 10. 當(dāng)一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時(shí)，這些當(dāng)一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時(shí)，這些角每一個(gè)被叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。角每一個(gè)被叫做直角，而且稱這一條直線垂

26、直于另一條直線。 定義定義11. 11. 大于直角的角稱為鈍角。大于直角的角稱為鈍角。定義定義12. 12. 小于直角的角稱為銳角。小于直角的角稱為銳角。定義定義13. 13. 邊界是物體的邊緣。邊界是物體的邊緣。定義定義14. 14. 圖形是一個(gè)邊界或者幾個(gè)邊界所圍成的圖形是一個(gè)邊界或者幾個(gè)邊界所圍成的 ?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十二頁，共103頁定義定義15. 15. 圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線段都相等。與這條線上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線段都相等。 定義定義16. 16. 這個(gè)點(diǎn)（指定義這個(gè)點(diǎn)（指定義1515中提到的那

27、個(gè)點(diǎn)）叫做圓心。中提到的那個(gè)點(diǎn)）叫做圓心。 定義定義17. 17. 圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個(gè)方向被圓圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個(gè)方向被圓截得的線段，且把圓二等分。截得的線段，且把圓二等分。 定義定義18. 18. 半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。的圓心與原圓心相同。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十三頁，共103頁定義定義19. 19. 直線形是由直線圍成的直線形是由直線圍成的. .三邊形是由三條直線圍成三邊形是由三條直線圍成的的, ,四邊形是由四條直線圍成的四邊形是由四條直線圍成的, ,多邊形是由四條以上直

28、線多邊形是由四條以上直線圍成的。圍成的。定義定義20. 20. 在三邊形中在三邊形中, ,三條邊相等的三條邊相等的, ,叫做等邊三角形叫做等邊三角形; ;只有兩只有兩條邊相等的條邊相等的, ,叫做等腰三角形叫做等腰三角形; ;各邊不等的各邊不等的, ,叫做不等邊三角叫做不等邊三角形。形。 定義定義21. 21. 此外此外, ,在三邊形中在三邊形中, ,有一個(gè)角是直角的有一個(gè)角是直角的, ,叫做直角三叫做直角三角形角形; ;有一個(gè)角是鈍角的有一個(gè)角是鈍角的, ,叫做鈍角三角形叫做鈍角三角形; ;各邊不等的各邊不等的, ,叫做不等邊三角形。叫做不等邊三角形?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十四頁，共103頁定義定

29、義22. 22. 在四邊形中在四邊形中, ,四邊相等且四個(gè)角是直角的四邊相等且四個(gè)角是直角的, ,叫做正方叫做正方形形; ;角是直角角是直角, ,但四邊不全相等的但四邊不全相等的, ,叫做長方形叫做長方形; ;四邊相等四邊相等, ,但角不是直角的但角不是直角的, ,叫做菱形叫做菱形; ;對角相等且對邊相等對角相等且對邊相等, ,但邊不但邊不全相等且角不是直角的全相等且角不是直角的, ,叫做斜方形叫做斜方形; ;其余的四邊形叫做其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形。不規(guī)則四邊形。定義定義23. 23. 平行直線是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交平行直線是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交的直線。的

30、直線。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十五頁，共103頁五個(gè)公設(shè)（公設(shè)只應(yīng)用于幾何）五個(gè)公設(shè)（公設(shè)只應(yīng)用于幾何）：1.1.從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線 是可能的是可能的 。2.2.把有限直線不斷循直線延長把有限直線不斷循直線延長 是可能的是可能的 。3.3.以任一點(diǎn)為中心和任一距離以任一點(diǎn)為中心和任一距離 為半徑為半徑 作一圓作一圓 是可能的是可能的 。4.4.所有直角彼此相等。所有直角彼此相等。5.5.若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)。直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)。第五

31、條公設(shè)就是著名的第五條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)平行公設(shè), ,它引發(fā)了幾何史上最著它引發(fā)了幾何史上最著名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論平行線理論”的討論的討論, ,并最并最終誕生了非歐幾何。終誕生了非歐幾何?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十六頁，共103頁五個(gè)公理（公理是適用于一切科學(xué)的真理）：五個(gè)公理（公理是適用于一切科學(xué)的真理）：1.1.跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。2.2.等量加等量，總量仍相等。等量加等量，總量仍相等。3.3.等量減等量，余量仍相等。等量減等量，余量仍相等。4.4.彼此重合的東西是相等的。彼此重合的

32、東西是相等的。5.5.整體大于部分。整體大于部分?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十七頁，共103頁（二）第一篇到第四篇講（二）第一篇到第四篇講直邊形直邊形和和圓圓的基本性質(zhì)第一篇的的基本性質(zhì)第一篇的內(nèi)容是關(guān)于全等形的一些熟知的定理，平行線，內(nèi)容是關(guān)于全等形的一些熟知的定理，平行線，畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯斯( (Pythagoras)Pythagoras)定理，初等作圖法定理，初等作圖法, ,等價(jià)形等價(jià)形( (有等面積的圖有等面積的圖形形) )和平行四邊形所有圖形都是直邊的和平行四邊形所有圖形都是直邊的, ,就是說都是由直線就是說都是由直線段組成的段組成的特別值得指出的是以下幾個(gè)定理：特別值得指出的是以下幾個(gè)定理

33、：命題命題1 1在給定直線上作一等邊三角形在給定直線上作一等邊三角形命題命題4.4.若兩個(gè)三角形的兩邊和夾角對應(yīng)相等，它們就全等若兩個(gè)三角形的兩邊和夾角對應(yīng)相等，它們就全等現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十八頁，共103頁命題命題5.5.等腰三角形兩底角相等等腰三角形兩底角相等命題命題16.16.三角形一角的外角大于其他兩角中的任一角三角形一角的外角大于其他兩角中的任一角命題命題20.20.任何三角形的兩邊之和必大于第三邊任何三角形的兩邊之和必大于第三邊命題命題27.27.若一直線與兩直線相交并使內(nèi)錯(cuò)角相等，則該兩若一直線與兩直線相交并使內(nèi)錯(cuò)角相等，則該兩直線平行直線平行命題命題29.29.一直線與兩平行線相

34、交時(shí)內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相一直線與兩平行線相交時(shí)內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，且同傍內(nèi)角之和等于兩直角等，且同傍內(nèi)角之和等于兩直角現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十九頁，共103頁命題命題44.44.在給定直線上作一平行四邊形，使其一角等于已給角，在給定直線上作一平行四邊形，使其一角等于已給角，而其面積等于已知三角形而其面積等于已知三角形. .命題命題47.47.直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和。正方形之和。這定理告訴我們怎樣作出一個(gè)正方形使其面積為所給兩正方這定理告訴我們怎樣作出一個(gè)正方形使其面積為所給兩正方形之和。因此這是幾何代數(shù)法的又一個(gè)例子。形

35、之和。因此這是幾何代數(shù)法的又一個(gè)例子。命題命題48.48.若三角形一邊上的正方形等于其他兩邊上的正方形若三角形一邊上的正方形等于其他兩邊上的正方形之和，則其他兩邊的夾角是直角。之和，則其他兩邊的夾角是直角?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十頁，共103頁 第二篇中的突出內(nèi)容是對于幾何代數(shù)第二篇中的突出內(nèi)容是對于幾何代數(shù)法的貢獻(xiàn)。法的貢獻(xiàn)。 如：如： 命題命題4 4若把一線在任意一點(diǎn)割開，則在若把一線在任意一點(diǎn)割開，則在整個(gè)線上的正方形等于兩段上的正方整個(gè)線上的正方形等于兩段上的正方形加上以兩段為邊的矩形。形加上以兩段為邊的矩形。命題命題1111、分割一已給直線，使整段與其、分割一已給直線，使整段與其中一分段所

36、成矩形等于另一分段上的中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。正方形。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十一頁，共103頁第三篇含第三篇含3737個(gè)命題個(gè)命題它開頭給出有關(guān)圓的一些幾何定義，它開頭給出有關(guān)圓的一些幾何定義，然后著手討論弦、切線、割線、圓心角及圓周角等等這然后著手討論弦、切線、割線、圓心角及圓周角等等這些定理大多是中學(xué)幾何里所熟知的。些定理大多是中學(xué)幾何里所熟知的。 第四篇在它的第四篇在它的1616個(gè)命題里論述個(gè)命題里論述圓的內(nèi)接和外切圖形，圓的內(nèi)接和外切圖形，如如三三角形、正方形、正五邊形和正六邊形角形、正方形、正五邊形和正六邊形。最后的命題講怎樣。最后的命題講怎樣在一給定圓內(nèi)作正在一給定圓內(nèi)

37、作正1515邊形。邊形。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十二頁，共103頁第五篇：比例論第五篇：比例論這一篇被認(rèn)為是歐幾里得幾何的最大成就。這一篇被認(rèn)為是歐幾里得幾何的最大成就。第六篇：相似形第六篇：相似形第六篇里利用第五篇的比例理論討論相似形。第六篇里利用第五篇的比例理論討論相似形。這里從這里從3333個(gè)定理中舉出幾個(gè)來看看歐幾里得怎樣用幾何個(gè)定理中舉出幾個(gè)來看看歐幾里得怎樣用幾何來處理現(xiàn)代代數(shù)里的幾個(gè)基本結(jié)果來處理現(xiàn)代代數(shù)里的幾個(gè)基本結(jié)果現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十三頁，共103頁命題命題1.1.等高的三角形和等高的平行四邊形等高的三角形和等高的平行四邊形 的面積的面積 之比等之比等于它們的底邊之比。于它們的底邊之

38、比。命題命題4.4.在各角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形里，夾等角的邊以在各角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形里，夾等角的邊以及所等角所對的相應(yīng)邊都成比例。及所等角所對的相應(yīng)邊都成比例。命題命題5.5.若兩三角形的邊成比例，則兩三角形有同樣的角且若兩三角形的邊成比例，則兩三角形有同樣的角且此兩三角形對應(yīng)邊所對之角相等。此兩三角形對應(yīng)邊所對之角相等。命題命題12.12.從三根已給直線求其比例第四項(xiàng)從三根已給直線求其比例第四項(xiàng)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十四頁，共103頁命題命題13.13.求兩根已給直線的比例中項(xiàng)。求兩根已給直線的比例中項(xiàng)。命題命題19.19.相似三角形相似三角形 面積面積 之比等于其對應(yīng)邊的二次比之比等于其對應(yīng)

39、邊的二次比命題命題31.31.直角三角形斜邊上的一直邊形，其面積為兩直角直角三角形斜邊上的一直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和這是畢達(dá)哥拉斯這是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)(Pythagoras)定理的一個(gè)推廣定理的一個(gè)推廣現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十五頁，共103頁第七、八、九篇：數(shù)論第七、八、九篇：數(shù)論 這三篇講述數(shù)論，即講述關(guān)于整數(shù)和整數(shù)之比這三篇講述數(shù)論，即講述關(guān)于整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)。這三篇是的性質(zhì)。這三篇是幾何原本幾何原本中純粹討論算術(shù)的唯一中純粹討論算術(shù)的唯一篇章。篇章。第十篇：不可公度量的分類第十篇：不可公度量的分類 幾何原本幾何

40、原本第十篇著手對無理量第十篇著手對無理量( (與給定量不與給定量不可公度的量可公度的量) )進(jìn)行分類。本篇共有進(jìn)行分類。本篇共有115115個(gè)命題。其中就有我們個(gè)命題。其中就有我們熟悉的是無理數(shù)的證明等。熟悉的是無理數(shù)的證明等?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十六頁，共103頁第十一、十二、十三篇：立體幾何及窮竭法第十一、十二、十三篇：立體幾何及窮竭法原本原本十三篇中共含十三篇中共含467467個(gè)命題個(gè)命題 綜上可以看出，人們普遍認(rèn)為歐幾里得的綜上可以看出，人們普遍認(rèn)為歐幾里得的幾何原本幾何原本是一本幾何學(xué)的經(jīng)典著作，其實(shí)不盡然。甚至，我們是一本幾何學(xué)的經(jīng)典著作，其實(shí)不盡然。甚至，我們說說幾何原本幾何原本是古

41、代所有數(shù)學(xué)成果之大成也一點(diǎn)不為是古代所有數(shù)學(xué)成果之大成也一點(diǎn)不為過。在過。在幾何原本幾何原本出版以來到出版以來到1616世紀(jì)，世紀(jì)， 幾何原本幾何原本幾乎成了數(shù)學(xué)的代名詞。幾乎成了數(shù)學(xué)的代名詞?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十七頁，共103頁在中國，因明代在中國，因明代利瑪竇、徐光啟利瑪竇、徐光啟合譯合譯幾何原本幾何原本而介紹到而介紹到中國，當(dāng)時(shí)稱為中國，當(dāng)時(shí)稱為“形學(xué)形學(xué)”。在。在18571857年年李善蘭、偉烈亞力李善蘭、偉烈亞力再再續(xù)譯了續(xù)譯了幾何原本幾何原本后后9 9卷。第卷。第1111次印刷成翻刊本時(shí)，次印刷成翻刊本時(shí)，徐徐樹勛樹勛就將其改名為就將其改名為續(xù)幾何續(xù)幾何。至此，。至此，“幾何學(xué)幾何學(xué)

42、”就被國就被國人普遍使用。人普遍使用。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十八頁，共103頁歐幾里得歐幾里得幾何原本幾何原本的誕生標(biāo)志著的誕生標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一門有著幾何學(xué)已成為一門有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的獨(dú)立學(xué)科。比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的獨(dú)立學(xué)科。從歐幾里得發(fā)表從歐幾里得發(fā)表幾何原本幾何原本到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍然是中年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍然是中小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的經(jīng)典著作。特別是公理化思想小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的經(jīng)典著作。特別是公理化思想已經(jīng)成為影響幾乎所有科學(xué)學(xué)科乃至所有文化的重要思想。

43、已經(jīng)成為影響幾乎所有科學(xué)學(xué)科乃至所有文化的重要思想?；蛘哒f，公理化思想是影響世界文化的重要思想之一?；蛘哒f，公理化思想是影響世界文化的重要思想之一?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十九頁，共103頁但是，在人類認(rèn)識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，但是，在人類認(rèn)識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在得在幾何原本幾何原本中提出幾何學(xué)的中提出幾何學(xué)的“根據(jù)根據(jù)”問題并沒有得到問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實(shí)際上是用

44、一個(gè)未知的定義來解釋另一個(gè)未知的定線的定義實(shí)際上是用一個(gè)未知的定義來解釋另一個(gè)未知的定義。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了義。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)連續(xù)”的概念，的概念，但是在但是在幾何原本幾何原本中從未提到過這個(gè)概念。中從未提到過這個(gè)概念?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十頁，共103頁5.5.笛卡兒和他的笛卡兒和他的幾何幾何一千年后，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（一千年后，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Rene Rene DescartesDescartes，1596159616501650）在其著作）在其著作方法論方法論（Discours de la Discours de la mthodemthode）的附

45、錄）的附錄幾何幾何中，將中，將“坐標(biāo)坐標(biāo)”引入幾何。由此給幾何帶引入幾何。由此給幾何帶來了革命性的進(jìn)步來了革命性的進(jìn)步實(shí)現(xiàn)了實(shí)現(xiàn)了幾何問幾何問題題“代數(shù)化代數(shù)化”和代數(shù)問題和代數(shù)問題“幾何化幾何化”?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十一頁，共103頁文藝復(fù)興使文藝復(fù)興使“理性精神理性精神”得以復(fù)蘇和發(fā)揚(yáng)。歐洲學(xué)者得以復(fù)蘇和發(fā)揚(yáng)。歐洲學(xué)者繼承了古希臘的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫷膸缀螌W(xué)，同時(shí)也接受了繼承了古希臘的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫷膸缀螌W(xué)，同時(shí)也接受了東方傳入的代數(shù)學(xué)。用東方傳入的代數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動成為人們關(guān)成為人們關(guān)心的中心問題之一。心的中心問題之一?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十二頁，共103頁笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)

46、學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒有它們的缺點(diǎn)的方外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒有它們的缺點(diǎn)的方法法”。他在。他在幾何學(xué)幾何學(xué)卷一中，卷一中，用平面上的一點(diǎn)到兩條用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來描述空間固定直線的距離來確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。何性質(zhì)，證明幾何性

47、質(zhì)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十三頁，共103頁解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何相解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何相互分離的趨向，把相互對立著的互分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)數(shù)”與與“形形”統(tǒng)一起統(tǒng)一起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。正如恩格斯所說：。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變

48、數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了?？坛蔀楸匾?。”現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十四頁，共103頁6.6.球面幾何球面幾何 我們生活在地球上，雖然地球的局部地貌是丘陵起伏、我們生活在地球上，雖然地球的局部地貌是丘陵起伏、山川縱橫，但是其全局的形狀山川縱橫，但是其全局的形狀十分接近于一個(gè)球面十分接近于一個(gè)球面。遠(yuǎn)遠(yuǎn)在公元前在公元前3 3世紀(jì)，古希臘亞歷山大城的依茨都山尼就應(yīng)用簡單世紀(jì)，古希臘亞歷山大城的依茨都山尼就應(yīng)用簡單的幾何知識和日光觀察，對地球的大小作了一個(gè)初步的估計(jì)，的幾何知識和日光觀察，對地球的大小作了一個(gè)初步的估計(jì)，他的計(jì)

49、算結(jié)果化為現(xiàn)代單位，他的計(jì)算結(jié)果化為現(xiàn)代單位，地球半徑約為地球半徑約為72707270千米千米，比近，比近代人造地球衛(wèi)星測得的數(shù)據(jù)代人造地球衛(wèi)星測得的數(shù)據(jù)63786378千米僅相差千米僅相差15%.15%.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十五頁，共103頁在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，構(gòu)成一個(gè)在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，構(gòu)成一個(gè)封閉曲面封閉曲面球面球面。專門研究球面上幾何圖形性質(zhì)和有關(guān)。專門研究球面上幾何圖形性質(zhì)和有關(guān)的數(shù)量關(guān)系的理論叫做的數(shù)量關(guān)系的理論叫做球面幾何球面幾何。球面幾何產(chǎn)生于大地測。球面幾何產(chǎn)生于大地測量，航海，航空等實(shí)際需要，具有重要的實(shí)用價(jià)值。近量，航海，航空等實(shí)際需要

50、，具有重要的實(shí)用價(jià)值。近200200年來，隨著幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，人們把球面看作高斯年來，隨著幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，人們把球面看作高斯曲面為正的長曲率曲面；把球面看作一類非歐幾何的代表，曲面為正的長曲率曲面；把球面看作一類非歐幾何的代表，并且把球面幾何與拓?fù)鋵W(xué)聯(lián)系起來，這樣球面幾何的研究并且把球面幾何與拓?fù)鋵W(xué)聯(lián)系起來，這樣球面幾何的研究又具有重要的理論意義。又具有重要的理論意義?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十六頁，共103頁球面幾何與歐氏幾何相比較，有如下的特點(diǎn)球面幾何與歐氏幾何相比較，有如下的特點(diǎn)：（1 1）在相對于半徑來說，很小的一片球面看起來幾乎是）在相對于半徑來說，很小的一片球面看起來幾乎是一片

51、平面。一片平面。（2 2）一個(gè)過球心的平面與球面的截線叫做該球面的一個(gè)大圓。）一個(gè)過球心的平面與球面的截線叫做該球面的一個(gè)大圓。大圓在球面幾何中扮演的角色相當(dāng)于平面幾何中的直線。大圓在球面幾何中扮演的角色相當(dāng)于平面幾何中的直線。（3 3）在球面上任意兩條直線都相交，三角形的內(nèi)角和是一）在球面上任意兩條直線都相交，三角形的內(nèi)角和是一個(gè)變式，且大于平角。個(gè)變式，且大于平角?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十七頁，共103頁三角形的研究是平面幾何學(xué)的核心問題，同樣的，球面三角形的研究是平面幾何學(xué)的核心問題，同樣的，球面三角形三角形( (球面上連接三個(gè)頂點(diǎn)的大圓圓弧，每一段均小于球面上連接三個(gè)頂點(diǎn)的大圓圓弧，每一段均

52、小于R/2)R/2)的研究也是球面幾何的核心問題。的研究也是球面幾何的核心問題。大約在公元大約在公元1616世紀(jì)，球面幾何就成為航海、天文學(xué)研究的基世紀(jì)，球面幾何就成為航海、天文學(xué)研究的基本工具了。本工具了。20012001年，中國的第八次基礎(chǔ)教育課程改革，將年，中國的第八次基礎(chǔ)教育課程改革，將“球面中球面中的幾何的幾何”作為選修系列作為選修系列4 4中的一個(gè)專題，開設(shè)這個(gè)專題中的一個(gè)專題，開設(shè)這個(gè)專題的目的就是：的目的就是：通過比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯(lián)通過比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯(lián)系，感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)模型系，感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)

53、的是第五十八頁，共103頁7.7.現(xiàn)代幾何公理體系現(xiàn)代幾何公理體系希爾伯特公理體系希爾伯特公理體系前面提到，歐幾里得前面提到，歐幾里得幾何原本幾何原本并不是完美無缺的，或者并不是完美無缺的，或者說其說其“公理體系公理體系”存在邏輯漏洞。特別是存在邏輯漏洞。特別是“第五公設(shè)第五公設(shè)”的的“獨(dú)立性獨(dú)立性”受大家質(zhì)疑。而正是這種受大家質(zhì)疑。而正是這種“質(zhì)疑質(zhì)疑”極大地推動極大地推動了幾何學(xué)的發(fā)展。了幾何學(xué)的發(fā)展。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他18991899年發(fā)表的年發(fā)表的幾何基礎(chǔ)幾何基礎(chǔ)一書中提出了一個(gè)更加完善的幾一書中提出了一個(gè)更加完

54、善的幾何學(xué)的公理體系。這個(gè)公理體系叫做何學(xué)的公理體系。這個(gè)公理體系叫做希爾伯特公理體系。希爾伯特公理體系?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十九頁，共103頁希爾伯特不僅提出了希爾伯特不僅提出了個(gè)完善的幾何體系個(gè)完善的幾何體系, ,并且還提出了并且還提出了建立一個(gè)公理系統(tǒng)的原則。建立一個(gè)公理系統(tǒng)的原則。第一、和諧性第一、和諧性( (無矛盾性無矛盾性) )。就是在一個(gè)公理系統(tǒng)中，各條公。就是在一個(gè)公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。第二、獨(dú)立性。公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互第二、獨(dú)立性。公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互不依附

55、的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。第三、完備性。公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證第三、完備性。公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。明本學(xué)科的任何新命題。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十頁，共103頁這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法公理化方法”，而把，而把歐幾里得在歐幾里得在幾何原本幾何原本提出的體系叫做提出的體系叫做古典公理法。古典公理法。公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個(gè)新穎的觀點(diǎn)，公理化

56、的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個(gè)新穎的觀點(diǎn)，在在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。系、性質(zhì)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十一頁，共103頁從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，

57、這就構(gòu)成了幾何學(xué)。公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十二頁，共103頁因此，凡是因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個(gè)幾符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個(gè)幾何學(xué)的直觀形象不止只有何學(xué)的直觀形象不止只有個(gè)，而是可能有無窮多個(gè)，個(gè)，而是可能有無窮多個(gè)，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫做某種幾何學(xué)的模型。做某種幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時(shí)候，并不是必須的，它不過是一種在研究幾何學(xué)的時(shí)候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。直觀形象而已?，F(xiàn)在學(xué)

58、習(xí)的是第六十三頁，共103頁就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時(shí)代更為抽象。這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深里得時(shí)代更為抽象。這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響?？梢哉f，希爾伯特公理體系是現(xiàn)代幾何的奠基石。遠(yuǎn)的影響?？梢哉f，希爾伯特公理體系是現(xiàn)代幾何的奠基石。下面簡單地介紹一下希爾伯特公理體系。下面簡單地介紹一下希爾伯特公理體系。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十四頁，共103頁希爾伯特公理體系的結(jié)構(gòu)是：希爾伯特公理體系的結(jié)構(gòu)是：1.1.基本概念（不加定義）基本概念（不加定義）基本元素：基本元素：點(diǎn)，線，面點(diǎn)，線，面基本關(guān)系基

59、本關(guān)系 結(jié)合關(guān)系結(jié)合關(guān)系順序關(guān)系順序關(guān)系 合同關(guān)系合同關(guān)系 點(diǎn)與直線結(jié)合，點(diǎn)與直線結(jié)合，點(diǎn)與平面結(jié)合點(diǎn)與平面結(jié)合一點(diǎn)在兩點(diǎn)之間一點(diǎn)在兩點(diǎn)之間線段合同線段合同角合同角合同現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十五頁，共103頁公理（公理（五組公理共五組公理共2020條條）： 結(jié)合公理：結(jié)合公理： 1 1-8 8順序公理：順序公理： 1 1-4 4合同公理：合同公理： 1 1-5 5連續(xù)公理：連續(xù)公理： 1 1-2 2平行公理：平行公理： 以上公理組滿足以上公理組滿足和諧性、獨(dú)立性、完備性和諧性、獨(dú)立性、完備性。（。（公理詳細(xì)內(nèi)容后面介紹。）；使用公理體系時(shí)，公理詳細(xì)內(nèi)容后面介紹。）；使用公理體系時(shí)，除邏輯法則和實(shí)數(shù)理

60、論外，不允許利用其它知識除邏輯法則和實(shí)數(shù)理論外，不允許利用其它知識?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十六頁，共103頁希爾伯特公理體系的產(chǎn)生源于兩個(gè)方面：一個(gè)是對希爾伯特公理體系的產(chǎn)生源于兩個(gè)方面：一個(gè)是對“第第公公設(shè)設(shè)”的試證，的試證，另一個(gè)是對古典公理體系的完善。另一個(gè)是對古典公理體系的完善。這個(gè)公這個(gè)公理體系是希爾伯特集前人研究之大成：理體系是希爾伯特集前人研究之大成： 18661866年，霍姆霍爾茲（年，霍姆霍爾茲（1821-19241821-1924）提出了）提出了“運(yùn)動運(yùn)動”的概的概念，為合同公理的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。念，為合同公理的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。18711871年，康托（年，康托（1845-191