由系統(tǒng)函數(shù)零極點分布決定時域特性

1、序言序言H(s)零、極點與零、極點與h(t)波形特征波形特征H(s) 、E(s)的極點分布與自由響的極點分布與自由響應、強迫響應特性的對應應、強迫響應特性的對應 一序言一序言 沖激響應沖激響應h(t)與系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)H(s) 從時域和變換域兩方從時域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。面表征了同一系統(tǒng)的本性。 在在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點與極點平面零點與極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應的許多分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)

2、出來。零、極點分布表現(xiàn)出來。 主要優(yōu)點：主要優(yōu)點：1可以預言系統(tǒng)的時域特性；可以預言系統(tǒng)的時域特性；2便于劃分系統(tǒng)的各個分量便于劃分系統(tǒng)的各個分量 （自由強迫，瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)）；（自由強迫，瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)）；3可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性?？梢杂脕碚f明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。二二H(s)零、極點與零、極點與h(t)波形特征的對應波形特征的對應)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)的的零零點點 ,21nzzz 系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)的的極極點點 ,21nppp 在在s平面上，畫出平面上，畫出H(s)的零極點圖：的零極點圖： 極點：用極

3、點：用表示，零點：用表示，零點：用表示表示 mjjzs1)( nkkps1)(1系統(tǒng)函數(shù)的零、極點2H(s)極點分布與原函數(shù)的對應關系 jO 0j0j 幾種典型情況幾種典型情況一階極點在原點，在原點，0,1)(1 pssH)()()(1tusHLth apassH 1,1)( , 0),(e)(, , 0),(e)(, , 0指數(shù)增加指數(shù)增加在右實軸上在右實軸上指數(shù)衰減指數(shù)衰減在左實軸上在左實軸上 atuthatuthaatat在虛軸上在虛軸上,j,)(122pssH )(sin)(，等幅振蕩，等幅振蕩ttuth ,)()(22ssH 共軛根共軛根,j,j21 pp當當 ，極點在左半平面，衰減

4、振蕩，極點在左半平面，衰減振蕩當當 ，極點在右半平面，增幅振蕩，極點在右半平面，增幅振蕩0 0 二階極點,1)(2極點在原點極點在原點ssH )(,),()(thtttuth極點在實軸上，極點在實軸上，,)(1)(2assH 0)(, 0),(e)( thttuttht 在虛軸上，在虛軸上，,)(2)(222sssH 增幅振蕩增幅振蕩 )(,),(sin)(thtttutth , t)(sH 有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)，即隨，即隨 ， 這表明的極點位于這表明的極點位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知，收斂域收斂域包括虛軸包括虛軸， 均存在，兩

5、者可通用，只均存在，兩者可通用，只需需 將即可。將即可。 )(j FsF和和 js 0th三H(s) 、E(s)的極點分布與自由響應、強迫響應特性的對應激勵：激勵：)()(sEte vkkullPszssE11)()()(系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：)()(sHth niimjjPszssH11)()()(響應：響應：)()(sRtr niimjjpszs11)()( vkkkpsA1 )()(1sRLtr自由響應分量自由響應分量 強制響應分量強制響應分量 vkkullPszs11)()( )(sR niiipsA1 )(sR vktpktuAk1)(e nitpituAi1)(e討論自由響應自由響應

6、的極點只由系統(tǒng)的極點只由系統(tǒng)本身的特性本身的特性所決定，與激勵所決定，與激勵函數(shù)的形式無關，然而系數(shù)函數(shù)的形式無關，然而系數(shù) 都有關。都有關。 sEsHAAki,與與響應函數(shù)響應函數(shù)r(t)由兩部分組成：由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的極點的極點自由自由響應分量；響應分量；激勵函數(shù)激勵函數(shù)的極點的極點強迫強迫響應分量。響應分量。定義定義系統(tǒng)行列式（特征方程）的根為系統(tǒng)的系統(tǒng)行列式（特征方程）的根為系統(tǒng)的固有頻率固有頻率（或稱（或稱“自然頻率自然頻率”、“自由頻率自由頻率”）。）。H(s)的極點都是系統(tǒng)的固有頻率；的極點都是系統(tǒng)的固有頻率；H(s)零、極點相消時，某些固有頻率將丟失零、極點相消時

7、，某些固有頻率將丟失。暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應瞬態(tài)響應是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現(xiàn)是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現(xiàn)的有關成分，隨著的有關成分，隨著t增大，將消失。增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應完全響應瞬態(tài)響應完全響應瞬態(tài)響應左半平面的極點產(chǎn)生的函數(shù)項和瞬態(tài)響應對應左半平面的極點產(chǎn)生的函數(shù)項和瞬態(tài)響應對應。例4-7-1)2j)(2j()1()1j1)(1j1()(2 sssssssH極點：極點：, 121 pp零點：零點： 4z j0j 1j 12j 2j1 畫出零極點圖：畫出零極點圖：, 2j3 p2j4 p, 01 z, 1j12 z, 1j13 z例4-7-2，教材習

8、題2-6(1)給定系統(tǒng)微分方程給定系統(tǒng)微分方程 tettetrttrttr3dd2dd3dd22 20,10/ rrtute，起起始始狀狀態(tài)態(tài)為為激激勵勵試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量。響應分量。 sEessEsRrssRrsrsRs30203002 解：解：方程兩端取拉氏變換方程兩端取拉氏變換零輸入響應零狀態(tài)響應 03003232rrsrsEssRss則則 2303002zi ssrrsrsR 2332zs sssE

9、ssR 0 e3e4)(2zi ttrtt:即零狀態(tài)響應為即零狀態(tài)響應為 )0( 5 . 1e2e5 . 0)(2zs ttrtt:零輸入響應為零輸入響應為穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應，自由響應強迫響應 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 ttt極點位于極點位于s s左半平面左半平面 5 . 1)( tr極點位于虛軸極點位于虛軸暫態(tài)響應暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 tttH(s)的極點的極點 5 . 1)( trE(s)的極點的極點自由響應自由響應強迫響應強迫響應 定義定義幾種常見的濾波器幾

10、種常見的濾波器根據(jù)根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線一定義 所謂所謂“頻響特性頻響特性”是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響應隨頻率的變化情況。應隨頻率的變化情況。 H j前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 有實際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。有實際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 0lim tht時域：時域：頻域：頻域：H(s)的全部極點落在的全部極點落在s左半平面。左半平面。 其收斂域包括虛軸：其收斂域包括虛軸：拉氏變換拉氏變換 存在存在傅里葉變換傅里葉變換 存在存在 tEtesH0msin ，激勵源，激勵源設系統(tǒng)函

11、數(shù)為設系統(tǒng)函數(shù)為 000mmmsin tHEtr 0j000ejj HHssH 其中其中 HHssH jejjj H j H(s)和頻響特性的關系頻響特性頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應幅頻特性幅頻特性相相頻特性（相移特性）頻特性（相移特性）二幾種常見的濾波器O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低低通通濾濾波波器器高高通通濾濾波波器器帶帶通通濾濾波波器器帶帶阻阻濾濾波波器器通通帶帶阻阻帶帶截截止止頻頻率率2c 三根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線 niimjjsniimjjspzKPszsKsHH11j11jjjjjjjNzjej iiiMPjej 平面

12、內(nèi)。平面內(nèi)。矢量圖畫于復矢量圖畫于復都看作兩矢量之差，將都看作兩矢量之差，將、將將 -j jijp z 有有關關。的的特特性性與與零零極極點點的的位位置置可可見見H j令分子中每一項令分子中每一項分母中每一項分母中每一項畫零極點圖OjzjjNj jiMipjzjNjiO發(fā)發(fā)生生變變化化。都都、和和、則則矢矢量量變變是是滑滑動動矢矢量量，iijjMN , jjiipMi jej ：極極點點jjzNj jej ：零零點點 nmnmMMMNNNKHjj2j1jj2j1eeeeeej2121 nmnmMMMNNNK 2121j21j21ee nmMMMNNNKH2121j nm 2121 當當 沿虛軸

13、移動時，各復數(shù)因子沿虛軸移動時，各復數(shù)因子( (矢量矢量) )的模和輻角都的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。 由矢量圖確定頻率響應特性例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。sC1R sV1 sV2 sCRRsVsVsH1)()(12 RCsssH1)( 11j1j1ee1jjjMNRCH O RC1 j1M1N1 1 01 z零點：零點：RCp11 極點：極點：頻響特性分析頻響特性分析 H j221 RC 1j21j10j0HHRCH CRarctan2 04120RC O RC1 j1M1N1 1 0

14、24681000.51024681000.511.52例4-8-2ORC1 j1M1CR tv1 tv2研究下圖所示研究下圖所示RCRC低通濾波網(wǎng)絡低通濾波網(wǎng)絡的頻響特性的頻響特性。 VVHjjj12 寫出網(wǎng)絡轉移函數(shù)表達式寫出網(wǎng)絡轉移函數(shù)表達式 RCsRCsVsVsH11112解解: : VVMRC j12j1ee111 頻響特性 VVMRCH j12j1ee11j1 ORC1 j1M1ORC112VV121ORC1 45 90 112,11MRCVV式中：式中： 處處于于低低通通網(wǎng)網(wǎng)絡絡，截截止止頻頻率率位位RC1 例4-8-3 。源，且源，且是受控電壓是受控電壓注意，圖中注意，圖中的頻響

15、特性的頻響特性系統(tǒng)系統(tǒng)研究右圖所示二階研究右圖所示二階2211312,jjjCRCRkvVVHRC 其轉移函數(shù)為其轉移函數(shù)為 221111121111CRsskCRsCRsVsVsH 相當于低通與高通級聯(lián)構成的帶通系統(tǒng)。相當于低通與高通級聯(lián)構成的帶通系統(tǒng)。 解：解：低通濾波器低通濾波器高通濾波器高通濾波器 1R1C2C2R3kv tv2 tv1 tv3頻響特性頻響特性Oj1M1 111CR 2M221CR 2 1N1 01 11222111 zCRpCRp零點：零點：，極點：極點：2211CRCRk2k12VV221CR 111CR O O 9090 4545 全通網(wǎng)絡全通網(wǎng)絡最小相移網(wǎng)絡最小

16、相移網(wǎng)絡級聯(lián)級聯(lián)一全通網(wǎng)絡 所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù)，對于全部頻率的所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù)，對于全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過。正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過。 零、極點分布零、極點分布 2211331M1N2N3N2M3M3p2p1p1z3z2zj極點位于左半平面，極點位于左半平面，零點位于右半平面，零點位于右半平面，零點與極點對于虛軸零點與極點對于虛軸互為鏡像互為鏡像 頻率特性頻率特性幅頻特性幅頻特性常數(shù)常數(shù)相頻特性相頻特性不受約束不受約束全通網(wǎng)絡可以保證不影響待傳送信號的幅度頻譜特性，全通網(wǎng)絡可以保證不影響待傳送信號的幅度頻譜特性，只改變信號的相位頻譜

17、特性，在傳輸系統(tǒng)中常用來進行只改變信號的相位頻譜特性，在傳輸系統(tǒng)中常用來進行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。 321321321321jj321321eejKMMMNNNKH 由于由于N1N2N3與與M1M2M3相消，幅頻特性等于常數(shù)相消，幅頻特性等于常數(shù)K，即，即 KH j二最小相移網(wǎng)絡 j12122j2j 1j1j 1p2p1z2zO1 1 j12122j2j 1 j1j 3p4p3z4z移移網(wǎng)網(wǎng)絡絡”。軸軸的的網(wǎng)網(wǎng)絡絡稱稱為為“最最小小相相零零點點僅僅位位于于左左半半平平面面或或 j 若網(wǎng)絡函數(shù)在右半平面有一個或多個零點，就稱為若網(wǎng)絡函數(shù)在右半

18、平面有一個或多個零點，就稱為“非非最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)”，這類網(wǎng)絡稱為，這類網(wǎng)絡稱為“非最小相移網(wǎng)絡非最小相移網(wǎng)絡”。 3 3 33113131 O三級聯(lián)1z2zjjjj Ojj1z2zjjOjjj j 非最小相移網(wǎng)絡可代之以最小相移網(wǎng)絡與全通網(wǎng)絡的非最小相移網(wǎng)絡可代之以最小相移網(wǎng)絡與全通網(wǎng)絡的級聯(lián)。級聯(lián)。 jjjj Ojjj 非最小相移網(wǎng)絡非最小相移網(wǎng)絡最小相移網(wǎng)絡最小相移網(wǎng)絡全通網(wǎng)絡全通網(wǎng)絡 全通函數(shù)全通函數(shù)最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)移函數(shù)移函數(shù)非最小相非最小相222222minjjjjjjssssHsH 引言引言定義（定義（BIBO）證明證明由由H(s)的極點位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的極點位

19、置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性一引言一引言某連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)某連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 2001. 011 sssH當輸入為當輸入為u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的象函數(shù)為時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的象函數(shù)為 2005. 011005. 01zs ssssR tutrtt2zse005. 0e1 1005. 0但但t很大時，這個正指數(shù)項超很大時，這個正指數(shù)項超過其他項并隨著過其他項并隨著t 的增大而不的增大而不斷增大斷增大 續(xù) 實際的系統(tǒng)實際的系統(tǒng)不會是完全線性不會是完全線性的，這樣，很大的信號的，這樣，很大的信號將使設備工作在將使設備工作在非線性非線性部分，放大器的晶體管會飽和或部分，放大器的晶體管會飽和或截

20、止，一個機械系統(tǒng)可能停車或發(fā)生故障等。這不僅使截止，一個機械系統(tǒng)可能停車或發(fā)生故障等。這不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時還會發(fā)生損壞危險，如燒毀設系統(tǒng)不能正常工作，有時還會發(fā)生損壞危險，如燒毀設備等。備等。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質自身的性質之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激與激勵信號的情況無關勵信號的情況無關。沖激響應和。沖激響應和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個方面確從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二定義（BIBO） 一個系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應一個系統(tǒng)，如果對任意的有

21、界輸入，其零狀態(tài)響應也是也是有界有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。對所有的激勵信號對所有的激勵信號e(t) eMte rMtr 其響應其響應r(t)滿足滿足 則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中，穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是（絕對可積條件）（絕對可積條件）：為為有有界界正正值值。re,MM Mtth d為為有有界界正正值值。M三證明對任意有界輸入對任意有界輸入e(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為： d tehtr d tehtr 的雙邊拉式變換為的雙邊拉式

22、變換為tvc 01 11 RCsCRsCsEsHsEsVc 01 11 RCsCRsCsE求得求得 01 e1RCtuEtEutvRCc每一步都應寫明變換式的收斂域。每一步都應寫明變換式的收斂域。 Ot teEOt tvCE 演演變變?yōu)闉槔鲜献冏儞Q換作作傅傅氏氏變變換換對對其其乘乘以以一一個個衰衰減減因因子子可可積積條條件件不不滿滿足足絕絕對對是是針針對對時時我我們們在在引引出出拉拉氏氏變變換換 , e , , ttf )(e)()(jstsFtutfFtfL 由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關系由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關系右右半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當 , 00

23、s 左左半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當s,00 收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當當,00 引言傅氏變換與拉氏變換的關系 tsj雙雙邊邊拉拉氏氏變變換換 tsj傅傅氏氏變變換換 ts0j單邊拉氏變換單邊拉氏變換0)(0 tft當當0 )j(estutfFtfLt 一Oj平平面面右右半半邊邊收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當 , 00s )0()(e)( tutft ssF 1 : 其其拉拉氏氏變變換換。求求不不存存在在，不不能能由由)()()(FsFF : 收斂域收斂域Ot tute二Oj Ot tut e平平面面左左半半邊邊收收斂斂邊邊界界落落于于時時當當s,00 )0()(

24、e tutft衰減函數(shù)，傅氏變換是存在衰減函數(shù)，傅氏變換是存在: : 1ssF j1)(jF :收收斂斂域域 ssFFj)(j 三收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當當,00 異異函函數(shù)數(shù)項項。因因為為傅傅氏氏變變換換中中包包括括奇奇關關系系之之間間不不再再是是簡簡單單的的置置換換與與是是存存在在的的，,sFFsF tutf ， 1ssF j1)()(j F例如：例如： 當初求階躍函數(shù)的傅氏變換，不是用當初求階躍函數(shù)的傅氏變換，不是用經(jīng)典法經(jīng)典法( (定義式定義式) )，而是用，而是用取極限取極限的方法（矩形脈沖的周期的方法（矩形脈沖的周期為無窮大）引入了為無窮大）引入了沖激函數(shù)沖激函數(shù)而得到的。而得到的。 ?jFsF求求那那么么如如何何由由)(j,j)()(為為極極點點nnnnsksFtfL )(| )()(j nnsksFtfF ：，將將其其展展開開成成部部分分分分式式出出發(fā)發(fā)由由 sF對于只有對于只有一階一階極點的情況，極點位于極點的情況，極點位于虛軸虛軸 ?FsF求求那么如何由那么如何由 ssF j 代代中以中以 . , j ksn而沖激函數(shù)之強度為而沖激函數(shù)之強度為點相對應點相對應每個沖激