高數(shù)2正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法

1、級(jí)數(shù)的主要問題： (1)判斂，(2)求和正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). . nsss21部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns部分和數(shù)列特點(diǎn)部分和數(shù)列特點(diǎn)回憶回憶：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列收斂原理單調(diào)數(shù)列收斂原理單調(diào)數(shù)列有界，則必有極限。單調(diào)數(shù)列有界，則必有極限。2.2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件: :定理定理 .有界部分和數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂sn若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.單調(diào)

2、遞增, 收斂 , 也收斂.證證: :“ ”問題：尋找更實(shí)用的判斂法。問題：尋找更實(shí)用的判斂法。且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv發(fā)散發(fā)散. .均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu3.比較審斂法比較審斂法證明證明證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnunvvv 21nns 則則)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.注釋：注釋： 1.

3、 條件改為條件改為 N,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)時(shí)，不等式成立，則相應(yīng)，不等式成立，則相應(yīng) 結(jié)論仍成立。結(jié)論仍成立。(收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)3) 2. 條件改為條件改為 N,當(dāng)當(dāng)nN時(shí)，時(shí)，un Cvn，則相應(yīng)，則相應(yīng) 結(jié)論仍成立。結(jié)論仍成立。(收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)1) 3. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) un 發(fā)散發(fā)散, 則則 un=+ 。例例 2 2 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 1)1(1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： 12)1(2)1(nnn（2）含三角函數(shù)的級(jí)數(shù)?？煽紤]用比較判別

4、法 12sinnnnx例例 1 1 討討論論 P P- -級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂則則 P 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),1,1ppP比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 先要估計(jì)斂散性，找參考級(jí)先要估計(jì)斂散性，找參考級(jí)數(shù)數(shù). 且不等式不易估計(jì)。且不等式不易估計(jì)。

5、重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), P-, P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), , 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù). .4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu證明及例證明及例 本質(zhì)意義本質(zhì)意義證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對(duì)對(duì)于于

6、,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.證明證明, 0)2( l由,0 對(duì)于,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn nnvu0 得證得證.,由)3(l,M0固定的對(duì)于,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn nnvMu0 ,0Mvunn 得證得證.注意：注意：比較審斂法的極限形式本質(zhì)上是兩個(gè)無窮比較審斂法的極限形式本質(zhì)上是兩個(gè)無窮小比階，若同階，則斂散性相同。小比階，若同階，則斂散性相同。因此可充分利因此可充分利用等價(jià)、同階無窮小幫助分析用等價(jià)、同階無窮小幫助分析 例例 3 3 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性: :(1) 11sin

7、nn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.注意：注意：在使用在使用比較審斂法及其的極限形式時(shí)，需與已知斂散性的比較審斂法及其的極限形式時(shí)，需與已知斂散性的級(jí)數(shù)相比較，而這一比較對(duì)象有時(shí)不易找到，本質(zhì)上級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)相比較，而這一比較對(duì)象有時(shí)不易找到，本質(zhì)上級(jí)數(shù)的斂散性應(yīng)由級(jí)數(shù)本身的結(jié)構(gòu)決定。的斂散性應(yīng)由級(jí)數(shù)本身的結(jié)構(gòu)決定。因此下面尋找由因此下面尋找由級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)本身特點(diǎn)就能判定其斂散性的本身特點(diǎn)就能判定其斂散性的方法方法

8、6 6. .比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果)(lim1 數(shù)或數(shù)或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .證明證明,為為有有限限數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對(duì)對(duì),N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收收斂斂而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),1收斂 mmNu原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂

9、, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散取取 充分小，充分小，取取 充分小，充分小，比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): 不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù). . ,11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例 nn,112收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn)1( 例例 4 4 判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn)3

10、()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 7 7. .根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)

11、或或 , ,則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;,1 ,1 nnn設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂.1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .12112lim12lim nnnnnnnn解解故原級(jí)數(shù)收斂。（亦可用比值法。） 總之，（1）這一部分主要內(nèi)容是級(jí)數(shù)的相關(guān)定義，級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法對(duì)一個(gè)給定的級(jí)數(shù)，在判別其收斂性之前，應(yīng)先分析清楚級(jí)數(shù)的結(jié)構(gòu)，再選擇適當(dāng)?shù)呐袆e法這就要求我們熟練記住及運(yùn)用級(jí)數(shù)的性質(zhì)及判別法 （2）通過分析前面的例子，我們看到，熟練運(yùn)用一些常見極限的結(jié)論，能進(jìn)行靈活的極限運(yùn)算及等價(jià)無窮小運(yùn)算，對(duì)于我們準(zhǔn)確地分析級(jí)數(shù)的斂散

12、性有重要意義方法以此數(shù)列為一般項(xiàng)構(gòu)造一級(jí)數(shù)，證明此級(jí)數(shù)收斂，方法以此數(shù)列為一般項(xiàng)構(gòu)造一級(jí)數(shù)，證明此級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，得數(shù)列極限為零由此求數(shù)列由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，得數(shù)列極限為零由此求數(shù)列極限又多了一種方法極限又多了一種方法思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示: :nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: : 反之不成立.例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .;) 1ln(1) 1 (1nn1.1. 練習(xí) 判別級(jí)數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: : (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(1

13、11nn發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .11npnp:級(jí)數(shù)不是 p級(jí)數(shù)(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 ,故原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nnn1n1二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的數(shù)數(shù)列列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(limlim12212 nnnnnu

14、ss, s .,1uss 且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和),(21 nnnuur余項(xiàng)余項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件滿足收斂的兩個(gè)條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 解解2)1(2)1()1( xxxx

15、x)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂方法：轉(zhuǎn)化為之前的方法。而相關(guān)的級(jí)數(shù)判斂方法：轉(zhuǎn)化為之前的方法。而相關(guān)的級(jí)數(shù)|1 nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，尋找兩者關(guān)系？是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，尋找兩者關(guān)系？ 定義定義: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,nnuv 且且,1收收斂斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又

16、 1nnu收收斂斂.上定理的作用：上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)注：注： （1）但逆命題不成立，例如但逆命題不成立，例如（2）若）若 發(fā)散，則發(fā)散，則 不確定。不確定。 1nnu 1nnu 1nnu小結(jié)：小結(jié)：對(duì)于級(jí)數(shù)對(duì)于級(jí)數(shù) 發(fā)散，則發(fā)散，則 需另外判定。需另外判定。 1nnu 1nnu三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂問題：為何要區(qū)分這兩種情況？如何判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的問題：為何要區(qū)分這兩種情況？如何判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的 斂散性？斂散性？111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn為條件收斂為條件收斂 .例如例如 ：均為絕對(duì)收斂均為絕

17、對(duì)收斂.), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令,nnuv 且且,1收收斂斂 nnv), 2 , 1()(21 nuuwnnn類似地，令類似地，令 11nnnnwv ,均收斂；均收斂； 11nnnnwv ,均發(fā)散。均發(fā)散。為何要區(qū)分這兩種情況？為何要區(qū)分這兩種情況？絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì). 1nnu則任意交換此級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序后所得的新級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和仍為S。 1nnu如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，且其和為S， 條件收斂的級(jí)數(shù)不具備這個(gè)性質(zhì)，而且可以證明，條件收斂的級(jí)數(shù)不具備這個(gè)性質(zhì)，而且可以證明，對(duì)于條件收斂的級(jí)數(shù)，適當(dāng)?shù)亟粨Q各項(xiàng)的次序所組成的對(duì)于條件收斂的級(jí)數(shù)，適當(dāng)?shù)亟粨Q各項(xiàng)的次序所組成的級(jí)數(shù)，可以

18、收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)或發(fā)散級(jí)數(shù)，可以收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)或發(fā)散. 例如，例如， 111)1(nnn是條件收斂的，設(shè)其和為S，即s 12111110191817161514131211218116114112110181614121s 218101610141012101010810610410210s s23611110914171051213101 將上式兩邊都乘以1/2，得上式可以改寫為根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，兩個(gè)收斂的級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加，s23是更序級(jí)數(shù)，但是和為解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂 故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

19、方法：一般先判斷絕對(duì)收斂性方法：一般先判斷絕對(duì)收斂性小結(jié)小結(jié)：若用比值法或根值法判別了若用比值法或根值法判別了 發(fā)散，則原發(fā)散，則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散。級(jí)數(shù)一定發(fā)散。其他例其他例 1nnu練習(xí)練習(xí). 判斷下列級(jí)數(shù)斂散性判斷下列級(jí)數(shù)斂散性 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對(duì)收斂 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對(duì)收斂.2.2. ),3,2, 1(0nun設(shè), 1limnunn且則級(jí)數(shù)).() 1(11111nnuunn(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對(duì)收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析: :, 1limnunn由發(fā)散發(fā)散知知 nu1 (B) 錯(cuò) ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu12vu22v