-新課標創(chuàng)新理數(shù)總復習第六章數(shù)列

1、第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示考綱要求：1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法考綱要求：1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)2. 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).基礎知識自查自糾1.數(shù)列的有關概念(1) 數(shù)列的定義按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，通常也叫作首項.數(shù)列的分類(3)數(shù)列的表示法分類原則類型滿足條件按項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限分類無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an+1>an其中nN+遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，

2、有些項小于它的前一項的數(shù)列數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和解析式法.2.數(shù)列的通項公式(1) 數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表達,那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式.Si,n=1,(2) 已知數(shù)列an的前n項和Sn,則an=-g匯丄,n2.自我查驗1 判斷下列結論的正誤.(正確的打“V”,錯誤的打“x”)(1) an與an是不同的概念.()(2) 所有的數(shù)列都有通項公式，且通項公式在形式上一定是唯一的.()(3) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù).()(4) 根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個.()(5) 如果數(shù)列an的前n項和為Sn,則對

3、任意nN+,都有an+1=Sn+1Sn.()1若已知數(shù)列an的遞推公式為an+1=二,且a2=1,貝V可以寫出數(shù)列%的任何一2an1項.()答案：(1)V(2)x(3)VV(5)V(6)VX12. 已知函數(shù)f(x)=,設an=f(n)(nN+),則對是數(shù)列(填“遞增”或“遞X減”).答案：遞增3. 對于數(shù)列an,“an+1>|an|(n=1,2,)”是“an為遞增數(shù)列”的條件.答案：充分不必要14. 在數(shù)列an中，a1=1,an=1+(n>2),貝Ua5=.an-1答案：855. 寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(1) 1,(2) 2,0,2,0.答案：(1

4、)an=千一(2)an=(1)n+1+1熱點題型-分類突破由數(shù)列的前幾頃求數(shù)列前通項公式由數(shù)列的前幾頃求數(shù)列前通項公式典題1(1)已知nN+,給出4個表達式：an=，°，“為奇數(shù)，J,n為偶數(shù),an=1+cosnn2an=nnsin其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1,的通項公式的是()B.D.C.寫出下面各數(shù)列的一個通項公式: 3,5,7,9，,；715314，8'16'32'''一1,一1,32,13133，4，5，6,3,33,333,3333,聽前試做(1)檢驗知都是所給數(shù)列的通項公式.，所以an=2于(2) 各項減去1后為正

5、偶數(shù)，所以an=2n+1. 每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24, 奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(-1)n;各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,;而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為3,即奇數(shù)項為21,偶數(shù)項為2+1,所以an=(1)n2+1.'1,n為正奇數(shù)，rn也可寫為an=3,n為正偶數(shù).n 將數(shù)列各項改寫為9,T,999,999,分母都是3,而分子分別是101,1021,10333331,1041,，所以an=1(10n1).答案：(1)A方址'規(guī)律根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察

6、出項與n之間的關系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數(shù)列的通項公式來求對于正負符號變化，可用(1)n或(1)n+1來調整.肴點二由遞推公式求通項公式*K題根味穆-戎般球兜】I典題2設數(shù)列a*中，a1=2,a*+1=an+n+1,貝Ua*=.聽前試做由條件知an+1an=n+1,n2+n+22n+n+22答案:探究1若將“an+1=an+n+1”改為“an+1=an”,如何求解?n+1解：Tan+1=n+1an,an+1nann+1anan1an2a3a2anan-1an-2an-3,a2a1a1，探究2若將“an+1=an+n+1”改為“a.+1=2a.+3”,如何求解?解：

7、設遞推公式an+1=2an+3可以轉化為an+11=2(ant)，即an+1=2ant，解得t=一3.故an+1+3=2(an+3).bn+1an+1+3-令bn=an+3,貝Ub1=a1+3=5，且=2.bnan十3所以bn是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以bn=5x2nS故an=5X2n13.探究3若將“an+1=an+n+1”改為“an+1=十3”,如何求解?an十2解：Tan+1=解：Tan+1=2anan+2'a1=2,an*0,111=_+：an+1an21即丄an+1丄an12又a1=2則0；=2111是以;為首項，1為公差的等差數(shù)列.n-2=丄2X17-+丄a1=丄

8、an-an=探究4若將本例條件換為“ai=1,an+i+an=2n”,如何求解?解：Tan+1+an=2n,.an+2+an+1=2n+2,故an+2an=2,即數(shù)列an是奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列.當n為偶數(shù)時，a2=1,故an=a2+2號一1=n1.當n為奇數(shù)時，Ian+i+an=2n,an+i=n(n+1為偶數(shù))，故an=n.綜上所述，an，n為奇數(shù)，n>1,ncN+.n1,n為偶數(shù)，方法規(guī)律由遞推關系式求通項公式的常用方法(1) 已知a1且anan1=f(n),可用“累加法”求an.(2) 已知a1且衛(wèi)=f(n),可用“累乘法”求an.an1(3) 已知a1且an+1=

9、qan+b,貝Van+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為等比數(shù)列an+kAan(4) 形如an+1=BO+C(A，b，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構造新數(shù)列求解.(5) 形如an+1+an=f(n)的數(shù)列，可將原遞推關系改寫成an+2+an+1=f(n+1)，兩式相減即得an+2an=f(n+1)f(n),然后按奇偶分類討論即可.考點三an與Sn關系的應用是高考的?？純?nèi)容，且多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，有時也出現(xiàn)在解答題的已知條件中，難度較小，屬容易題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：利用an與Sn的關系求an典題3(1)已知數(shù)列an的前n項和Sn=n

10、2+1,則a.=.(2)已知下面數(shù)列an的前n項和Sn,求an的通項公式：Sn=2n23n；害3n+b.聽前試做(1)當n=1時，a1=S1=2,當n2時,當n2時,an=SnSn-1=n2+1(n1)2+1=2n1,故an=2，n=1，l2n1,n>2.(2)a1=S1=23=1,當n2時，an=SnSn-1=(2n?3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也適合此等式，an=4n5.a1=S1=3+b，當n2時，an=SS尸(3n+b)(3n1+b)=23n1.當b=1時，ai適合此等式.當bz1時，ai不適合此等式.當b=1時，an=23nC.l)1;當bz1時,當bz1時,

11、an=3+b,n=1,2 3n1,n>2.2,n=1,答案：（1）2n1,n2數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是an=數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是an=iS，n=1，當n=1時，若a1適合SnSnSn-1,n2.Sn1，貝Un=1的情況可并入n2時的通項an;當n=1時，若a1不適合SnSn1，則用分段函數(shù)的形式表示.角度二：利用an與Sn的關系求Sn典題4典題4（1）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,5=2an+1,貝VSn=()A.2n1B.|n1(2016上饒模擬）設Sn是正項數(shù)列an的前n項和,且an和Sn滿足：4Sn=(a*+1)2(n=1,2,3,),則Sn=

12、聽前試做由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1Sn),即2Sn+1=3Sn,$=2，而S1=a1=1，所以Sn=2n-1.由題意，可知Sn=：+f，當n=1時，a1=jan=SnSn1=羅+弩+1at-a2-142+2-'；'Onan122anan-12V22an+an1anan1整理得，一2一=4?anan-1=2.所以an=2n1.解得Sn=1+2；=n2答案：(1)B(2)n2方法規(guī)律解決此類問題通常利用an=SnSn-1(n2)將已知關系轉化為Sn與Sn-1的關系式，然后求解.課堂歸納一一感悟提升方法技巧1. 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列通項，通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般

13、有(1)n或(1)n+1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關系,區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關系,般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉化的方法.2.強調an與Sn的關系:anSi,n=1,SnSn-1,n2.3.已知遞推關系求通項:對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有兩種常見思路:(1) 算出前幾項，再歸納、猜想；(2) 利用累加、累乘法或構造法求數(shù)列的通項公式.易錯防范1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點研究數(shù)列時，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列環(huán)=f(n)和函數(shù)y=f(x)的單調性是不同的.2. 在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1

14、,而是直接把數(shù)列的通項公式寫成an=SnSn1的形式，但它只適用于n2的情形.課后作業(yè)提能演練(三)二練技能查漏呼全盤鞏固一、選擇題5791. 數(shù)列1,815，24，的一個通項公式是()n+12n1A.an=(1)(nN+)n+n/n-12n+1B-an=(-1)J+3n(nN+)Can=(1nn-2nN+)Dan=(-1)n1r22+2n(nN+)解析：選D觀察數(shù)列an各項，可寫成:解析：選D觀察數(shù)列an各項，可寫成:572X4，3X5,D.2.已知數(shù)列an的通項公式1an=擊7(nCN+)，1則Wo是這個數(shù)列的（A.第8項A.第8項B.第9項C.第10項C.第10項D.第12項111解析：

15、選C由題意知頁=古,nN+，解得n=10即莎是這個數(shù)列的第111解析：選C由題意知頁=古,nN+，解得n=10即莎是這個數(shù)列的第2ran=n，貝ya3+a510項.()61252531代區(qū)B.25C.忌解析：選A法一:92561令n=2,3,4,5，分別求出a3=-,a§=忑，二a3+a§=花41616法二：當n2時，22a1a2a3；n=n.當n3時，a1a2a3；an1=(n1).n兩式相除得an=3.數(shù)列an中,a1=1,對于所有的n>2,nN+都有a1a283；9251，二a3=4,a5=屆,a3+a5=16.4.已知數(shù)列an的前n項和Sn=n22n,則a2+

16、a18=()A.36B.35C.34D.33解析：選C當n2時，an=SnSn1=2n一3;當n=1時，a1=S1=1,所以3(nN+)，所以a?+=34.5.在各項均為正數(shù)的數(shù)列an中，對任意m,nN+,都有am+n=aman若a6=an=2n64,則a9等于（）A.256B.510C.512D.1024解析：選C在各項均為正數(shù)的數(shù)列an中，對任意m,nN+,都有am+n=aman.a6=a3a3=64,a3=8.a9=a6a3=64X8=512.二、填空題6. 已知數(shù)列an中，ai=1,若an=2a“-1+1(n>2),則a5的值是解析：Tan=2an-1+1，an+1=2(an-1

17、+1),an1=2，又a1=1,an-1+1an1=2，又a1=1,an-1+1an+1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an+1=2X2n-1=2n,-a5+1=25,即卩a5=31.答案：317. 已知數(shù)列an的前n項和Sn=33X2n,nN+,貝Van=解析：分情況討論： 當n=1時，a1=S1=33X21=3; 當na1=a1+2玄1，解得a1=1；時，an=SnSn-1=(3S2=a1+a2=2a2+芫，解得a?=2；同理，a3=3,a4=4.X2)一(3一3X2)=一3X21綜合，得an=3X2n1.答案：一3X2n18. 設an是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1歸叮+1na*+a

18、n+1an=0(n=1,2,3,),則它的通項公式an=.解析：(n+1)an+1+an+1annan=0,(an+1+an)(n+1)an+1nan=0,又an+1+an>0,(n+1)an+1nan=0,即陽=n+1，a2a3a4a5an1、2,3、，4、，、，n1,1=xxxx,x,a1=1,an=a1a2a3a4,an12345nn1答案：丄n三、解答題219. 已知Sn為正項數(shù)列an的前n項和，且滿足Sn=?an+"an(nN+).(1)求a1,a2,a3,a4的值；求數(shù)列an的通項公式.121解：(1)由Sn=2an+2an(nN+)，可得121金(2)Sn=玄門+

19、刁玄門，當n>2時,Sn1=2aj-1+*ani，一得(anan-11)(an+an-1)=0.由于an+an-1工0，所以anan-1=1,又由(1)知a1=1,故數(shù)列an是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，故an=n.10. 數(shù)列an的通項公式是an=n27n+6(nN+).(1) 這個數(shù)列的第4項是多少？(2) 150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3) 該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解：(1)當n=4時，a4=424X7+6=6.(2) 令an=150,即n27n+6=150,解得n=16或n=9(舍去),即150是這個數(shù)列的第16項.(3) 令an=n27n+

20、6>0,解得n>6或n<1(舍去).nN+,數(shù)列從第7項起各項都是正數(shù).沖擊名校an11.右數(shù)列an滿足a1=2,a2=3,an=(n>3且nN+),貝Ua2016=()an212A. 3B.2eqD.3解析：選Da1=2,a2=3,a3=型=3,印=a3=舟，依次可得a5=-1,a6=2,a?=2,a12a22333 2=3,a9=,，可見an是周期為6的數(shù)列，a2016=a6x336=a6=3.，-,an1ananan+勺2. (2016寶雞模擬)如果數(shù)列an滿足a1=2,a?=1,且'=(n>2),則這an1an+1個數(shù)列的第10項等于()1111A

21、.尹C.11an1ananan+1解析：選ean1an+1anananan-11,+=2,an1an+1an1an+1是等差數(shù)列.an+1an丄+丄=1，故工anian+ianan丿又d=丄一丄=1a2ai2又d=丄一丄=1a2ai2=1+9X1=5,aio223.(2016大連雙基測試)數(shù)列an滿足：ai+3a2+5a3+,+(2n1)an=(n1)3n1+3(nN+),則數(shù)列an的通項公式an=解析：ai+3a?+5a3+,+(2n3)an-1+(2ni)an=(ni)3ni+3，把n換成ni得,ai+3a2+5a3+,+(2n3)an-1=(n2)3“+3，兩式相減得an=3“答案：3n

22、(nN+,aR,且0).(nN+,aR,且0).i4.已知數(shù)列an中，an=i+a+2ni(i)若a=7,求數(shù)列an中的最大項和最小項的值;(2)若對任意的nN+,都有anWa6成立，求a的取值范圍.(nN+,aR,且a工0),i解:(1)-an=1+；a+2(n1又a=7,.an=1+12n91結合函數(shù)f(x)=i+-的單調性,2x9可知1>ai>a2>a3>a4,a5>a6>a7>,>an>1(nN+).數(shù)列an中的最大項為a5=2，最小項為a4=0.1(2)an=1+a+2n1=對任意的nN+,都有an<a6成立,1結合函數(shù)f(

23、x)=1+2的單調性,2ax2知6，10<a<8.故a的取值范圍為(一10,8).第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和考綱要求：1.理解等差數(shù)列的概念.2. 掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3. 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題.4. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系.基礎知識，自查自糾憶裁材奪基據(jù)能1.等差數(shù)列的有關概念(1) 等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為anan-1=d(常數(shù))(nN+,n>2)

24、或an+1-an=d(常數(shù))(nN+).(2) 等差中項如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項，且有A=詛-2. 等差數(shù)列的有關公式(1) 等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是an=ai+(n-1)d.(2) 等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列an的公差為d,其前n項和Sn=na1+。山扌丄d或Sn=皿旦!3. 等差數(shù)列的常用性質(1) 通項公式的推廣：an=am+(nm)d(n,mN+).(2) 若an為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k,I,m,nN+),則a土a_i三amia。.(3) 若an是等差數(shù)列，公差為d,

25、則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4) 若an,bn是等差數(shù)列，公差為d,則pan+qbn也是等差數(shù)列.(5) 若an是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)是公差為md的等差數(shù)列.(6) 數(shù)列Sm,S?mSm,S3mS2m,也是等差數(shù)列.(7) S2n-1=(2n1)an.(8) 若n為偶數(shù)，則S偶一S奇=nT；若n為奇數(shù)，貝US奇一5偶=a中(中間項).自我查驗1判斷下列結論的正誤.(正確的打“V”,錯誤的打“x”)(1) 若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.()(2) 數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN+,都有2an

26、+1=an+an+2.()(3) 等差數(shù)列an的單調性是由公差d決定的.()(4) 等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).()(5) 已知數(shù)列an的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列.()(6) 在等差數(shù)列an中，若am+an=ap+aq,則一定有m+n=p+q.()(7) 數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，則數(shù)列an+bn也一定是等差數(shù)列.()(8) 等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列,一定還是等差數(shù)列.()答案：(1)X(2)V(3)VV(5)V(6)X(7)V(8)V2. 在等差數(shù)列an中，a2=2,a3=4

27、,貝Van=,Sn=解析：Ta2=2,a3=4,.a1=0,d=2.二an=a+(n一1)d=2n一2,Sn=一2=n2-n.答案：2n-2n2-n3. 在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和Sn=.解析：ta4+a8=2a6=16,a6=8.S11=11a6=11x8=88.答案：884. 數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d=-2,Sn為其前n項和，若S10=Sn,則a1=10X911X10解析：由題意知10a1+d=11a1+2d,又d=-2,.10a1-90=11a1-110,a1=20.答案：20熱點題型-分類突破熱點題型-分類突破析考點強化認知等差數(shù)列基本的計算一般考點，

28、白"逼典題1(1)在等差數(shù)列an中，ai+a5=8,a4=7,貝ya5=()A. 11B.10C.7D.3(2)(2015新課標全國卷I)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和，若&=4S4，貝Ua10=()1719A.yBpC.10D.12設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(4) 已知等差數(shù)列an的公差d>0.設an的前n項和為Sn,a1=1,S2S3=36. 求d及Sn; 求m,k(m,kN+)的值，使得am+am+1+am+2+,+am+k=65.2a1+4d=8,a1=2,聽前試做(1)設數(shù)列an的公差為d

29、，則有“解得所以a531+3d=7,d=3,=2+4X3=10.(2) 公差為1,二S8=8a1+8X2-19二a10=a1+9d=+9=.(3) 由Sm-1=2,Sm=0,Sm+1=3,得am=編一Sm1=2,am+1=編+1編=3,所以等差數(shù)列的公差d=am+1am=32=1,丁am=a1+m1d=2,由1Sm=a1m+尹m1d=0,X1=8a1+28,S4=4a1+6.-S8=4S4,8a+28=4(4a+6),1解得a1=,ai=2,解得*m=5.ja+m1=2,得1aim+qmm1由題意知(2ai+d)(3ai+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=5.因為d>0，所

30、以d=2.從而an=2n1,Sn=n2(nN+).由得am+am+1+am+2+,+am+k=(2m+k1)(k+1)，所以(2m+k1)(k+1)=65.由m,kN+知2m+k1>k+1>1,2m+k1=13,故1k+1=5,2m+k1=13,故1k+1=5,解得m=5,k=4.即所求m的值為5,k的值為4.答案：(1)B(2)B(3)5方法*規(guī)律等差數(shù)列的基本運算的解題策略(1) 等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.(2) 數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d

31、是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.等差數(shù)列的性質斥應用典題2(1)(2015新課標全國卷n)設S是等差數(shù)列an的前n項和，若a1+a3+a§=3,則S5=()A.5B.7C.9D.11(2) 設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S3=12,Sg=45,則02=.(3) 已知an,bn都是等差數(shù)列，若a1+6。=9,a3+b$=15,則a§+b6=.5a1+a5聽前試做(1)法一:Ta1+a5=2a3,a1+a3+a5=3a3=3,a3=1,S5=?=5a3=5.法二：a+a3+a5=a+(a+2d)+(a+4d)=3a+6d=3,ai+2d=1,5X

32、4，、丄S5=5ai+d=5(ai+2d)=5，故選A.(2)因為an是等差數(shù)列，所以S3,S6S3,S9S6,S12S9成等差數(shù)列，所以2(&S3)=S3+(S9S6),即2(S6+12)=12+(45&),解得S6=3;又2(&-S6)=(S6Sj)+(S12S9),即2X(453)=(3+12)+(S1245),解得S12=114.a5+b6=21.因為an,bn都是等差數(shù)列，所以2a3=a1+a5,2b8=b6,所以2赳+b8)=(a1+b1o)+(a5+b6)，即2X15=9+b6),解得答案：(1)A(2)114(3)21在等差數(shù)列an中，數(shù)列Sm,S2m為

33、,在等差數(shù)列an中，數(shù)列Sm,S2m為,S3mS2m也成等差數(shù)列;是等差數(shù)列等差數(shù)列的性質是解題的重要工具.口變式訓練1.(2016新余模擬)已知an是等差數(shù)列1.(2016新余模擬)已知an是等差數(shù)列,a4=15,S5=55,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線斜率為1B. 1a4a31511.解析：選CT&=5a3=55,.a3=11,k='=4.4 312.已知等差數(shù)列an的公差為2,項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15,所有偶數(shù)項之和為25,則這個數(shù)列的項數(shù)為()A.10B.20C.30D.40解析：選A設這個數(shù)列有2n項，則由等差數(shù)列的性質可知：偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項

34、之和等于nd,即2515=2n,故2n=10,即數(shù)列的項數(shù)為10.考點三等差數(shù)列的判定與證明1典題3已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a1=?,an=2SnSn-1(n>2).Hl(1)求證：數(shù)列s1是等差數(shù)列；求Sn和an.聽前試做(1)證明：當n>2時，an=SnSn-1=2SnSn-1，TS1=a10,由遞推關系知Sn*0(nN+),11由式得-l=2(n2).11由式得-l=2(n2).SnSn-11是等差數(shù)列，其中首項為11S1=£=2,公差為2.1由(1)知S=2+2(n1)=2n,當n2時,當n2時,an=SnSn-12nn1'當n=1時,1a1=

35、S1=q不適合上式,12,n=1,an=(1)定義法：對任意nN+,an+1an是同一個常數(shù);(2)等差中項法：對任意n2,nN+,滿足2an=an+1+an-1；(3)通項公式法：數(shù)列的通項公式an是n的一次函數(shù);(4)前n項和公式法：數(shù)列的前n項和公式Sn是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.1,n2.L2n(n1J方袪規(guī)律判定數(shù)列an是等差數(shù)列的常用方法13變式訓練1. 若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n-1+2a2n是()3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D.公差為9的等差數(shù)列解析：選C令bn=a2n-1+2a2n,則bn+1=a2n+1+2a2n+2,二bn+1bn=

36、a2n+1+2a2n+2(a2n-1+2a2n)=(a2n+1a2n-1)+2(a2n+2a2n)=2d+4d=6d=6x1=6.2. 已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足a3a4=117,a?+a§=22.(1)求數(shù)列an的通項公式；若數(shù)列bn滿足bn=衛(wèi)，是否存在非零實數(shù)C使得bn為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由.解：（1）t數(shù)列an為等差數(shù)列，a3+a4=a?+a5=22.又a3a4=117,a3,a4是方程x222x+117=0的兩實根，又公差d>0,-a3<a4,-a3<a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+

37、3d=13,a1+2d=9,a1+3d=13,解得a1=1id=4.數(shù)列an的通項公式為an=4n3.(2)由(1)知a1=1,d=4,-bn=-bn=Snnaxd=2n2n,Snn+c2n2-nn+cb1=土，b2=總，b3=卡，其中c主0.數(shù)列bn是等差數(shù)列，2b2=6+b3,即-x2=-+15,2c2+c=0,+c1+c3+c11c=2或c=0(舍去)，故c=.1即存在一個非零實數(shù)c=2,使數(shù)列bn為等差數(shù)列.等差數(shù)列前"項和的垠值問題4I【題抿城移我般琛兜H典題4在等差數(shù)列an中，a1=29,Sg=氐,則數(shù)列an的前n項和Sn的最大值為()A.S15B.S16C.S15或06

38、D.S17聽前試做ta1=29,S10=S20,10X920X19 10a1+2d=20a1+2d，解得d=2, Sn=29n+nn1x(2)=n2+30n=(n15)2+225.當n=15時，Sn取得最大值.答案：A探究1若將條件"ai=29,Sw=S20”改為"ao,&=S”，如何求解?1解：法一：設等差數(shù)列an的公差為d，由S5=S12得5ai+10d=12ai+66d,d=：ai<0.8所以Sn=na1+njn1d=所以Sn=na1+njn1d=na1+nn121_21172,2898a1=衣a1（n17n）=16a1n2+両a1,因為a1>0,

39、nN+,所以當n=8或n=9時，Sn有最大值.1法二：設等差數(shù)列a*的公差為d，同法一得d=：a1<0.8設此數(shù)列的前n項和最大，則an0,<an+1W0,an0,<an+1W0,解得nW9,解得nW9,即8<nW9,又nN+,所以當n=8或n=9時，Sn有最大值.1法三：設等差數(shù)列an的公差為d，同法一得d="a1<0,由于Sn=na1+由于Sn=na1+嚴d=dn2+設f(x)=x2+a1號x,則函數(shù)y=f(x)的圖像為開口向下的拋物線，5+1217由&=02知，拋物線的對稱軸為x=一2=3(如圖所示),由圖可知，當1wnW8時，Sn單調遞增

40、；當n9時，Sn單調遞減.又nN+,所以當n=8或n=9時，Sn最大.探究2若將條件"a1=29,S10=S20”改為"a3=12,Si2>0,Sn<0”,如何求解?解：因為a3=a1+2d=12,所以a1=122d,所以嚴伽+66d>0，即44+42d>0,§13=13ai+78d<0,|156+52d<0,所以嚴伽+66d>0，即44+42d>0,§13=13ai+78d<0,|156+52d<0,解得y<d<3.故公差d的取值范圍為一2,3.法一：由d<0可知an為遞減數(shù)

41、列，因此，在Kn<12中，必存在一個自然數(shù)n,使得an>0,a*+1<0,此時對應的Sn就是S1,S2,02中的最大值.由于S12=6a6+a7>0,S13=13a7<0,于是a7<0，從而a6>0,因此Ss最大.法一:由d<0可知an是遞減數(shù)列,an=a3+n3d0,Qn+1=a3+n2d<0,c12n三3石可得12n>2了n<3乎<3+牛7,由一24<d<3,可得1212=n>2-可>2+24=5占，7所以5.5<n<7,故n=6，即S6最大.探究3若將"a1=29,Sw=

42、S20”改為"a5>0,a4+a7<0”,如何求解?a4+a7=a5+a6<0,a5>0,解：Ta5>0,|a6<0,Sn的最大值為S5.矛區(qū)規(guī)律求等差數(shù)列前n項和的最值的方法(1)運用配方法轉化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調性以及數(shù)形結合的思想，從而使問題得解.通項公式法：求使an0(an<0)成立時最大的n值即可一般地，等差數(shù)列a*中,若a1>0，且Sp=Sq(pzq),則:若p+q為偶數(shù)，則當n=申時，Sn最大;右p+q為奇數(shù)，則當np+q1或np+；+1時，S.最大.課堂歸納一一感悟提升方法技巧1. 在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時

43、，可設三個數(shù)為(1)a,a+d,a+2d;(2)ad,a,a+d;(3)ad,a+d,a+3d等，可視具體情況而定.2. 在等差數(shù)列an中，S奇an(1) 若項數(shù)為偶數(shù)2n，貝yS2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i);S偶一S奇=nd;=S偶an+1S奇n(2) 若項數(shù)為奇數(shù)2n1，貝yS2n-1=(2n1)an;S奇一S偶=an;&=門13. 若數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，且前n項和分別是Sn和Tn,則也=如T2m-1bm4. 若am=n,an=m(m0)，則am+n=0.易錯防范1 .公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0若某數(shù)列的前n項和公式是常

44、數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列.2 .求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件.若對稱軸取不到，需考慮最接近對稱軸的自變量n(n為正整數(shù))；若對稱軸對應兩個正整數(shù)的中間，此時應有兩個符合題意的n值.課后作業(yè)提能演練(三十二)練技能查漏補玦全盤鞏固一、選擇題1. （2015重慶高考）在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2,貝Va6=（）A.1B.0C.1D.6解析：選BTan為等差數(shù)列，2a4=a2+a6,a6=2a4a2,即卩a6=2X24=0.2. （2016江模擬）等差數(shù)列an的前三項為x1,x+1,2x+3,則這個數(shù)列

45、的通項公式為（）A.an=2n5B.an=2n3C. an=2n1D.a*=2n+13)，解得x=0.a1=1,a2=1,d=2,故an=1+(n1)x2=2n3.S3S23. 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足空=1,則數(shù)列an的公差d是()A.1B.2C.4D.6解析：選B解析：選B/口a+a2+a32=1得a1+a22=ar+d2a+dd-21，所以d=2.4.若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列的項數(shù)為()A.13B.12C.11D.10解析：選A因為a1+a2+a3=34,a“2+an1+a*=146,所以a1+a2+a3+an

46、-2+an-1+an=34+146=180,又因為a1+an=a2+an1=a3+an2,所以3(a1+an)=180,從而a1+an=60,所以Sn=gf亞=乎=390,即n=13，故選A.5. （2016包頭模擬）在等差數(shù)列an中，其前n項和是Sn,若$5>0,Sw<0,則在魯話，単中最大的是（単中最大的是（a15S1S8S9S15解析:由于S15=15內(nèi)+%=15a8>0,S16=16勺+印6=8(a8+av。，所以可得a8>0,a9<0.這樣詈>0,學>0,詈>0S9<0,S10<0,S<0,而S|<S2<,

47、<S8,a1>a2>,>a8,a9a10a15所以在S1,S2,氐中最大的是a1a2a15a8二、填空題6.（2016海淀模擬）已知等差數(shù)列an的公差0,且a3+ag=a.若an=0,則n=解析：ta3+a9=玄竹一,a1+2d+a1+8d=a1+9d(a1+7d)，解得a1=4d,an=4d+(n1)d=(n5)d,令(n5)d=0(dz0)，可解得n=5.答案：517.(2016西安模擬)在等差數(shù)列an中，a9=此+6，則數(shù)列&的前11項和Sii等于解析：S11=-2=11a6，設公差為d,由a9=a12+6得a6+3d=*(a6+6d)+6，解得a6=12

48、,所以Sn=11X12=132.答案：1328.已知等差數(shù)列an中，an0,若n2且an-1+an+1_a2=0,S2n-1=38,貝Vn等于解析：2爲=an-1+an+1,又an-1+an+1a2=0,I2ana2=0，即an(2an)=0.*an0,an=2.S2n-1=(2n1)an=2(2n1)=38,解得n=10.答案：10三、解答題一an1一一19.已知數(shù)列an滿足a1=11由(1)知數(shù)列bn的通項公式為bn=1+(n1)X2=2n1又6=二，二an=anbn2n1,an=口(nN+,n2),數(shù)列bn滿足關系式bn=a(n2an1+ianN+).(1) 求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列;求

49、數(shù)列an的通項公式.解:(1)證明:且an=an-12an-1+1,-bn+1=1an+11an2an+1數(shù)列an的通項公式為1an=.2n12an+12an+11-bn+1bn=an-=2.an1又b1=1,數(shù)列bn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.10.已知數(shù)列an滿足2an+1=an+an+2(nN+),它的前n項和為Sn,且a3=10,&=72,1若bn=an30,設數(shù)列bn的前n項和為Tn,求Tn的最小值.解：T2an+1=an+an+2，二an+lan=an+2an+l,故數(shù)列an為等差數(shù)列.設數(shù)列an的首項為a1，公差為d,由a3=10,S6=72得,ia1+2d=10&

50、#39;解得a1=2,d=4.6a1+15d=72,令fn<0,即bn+10,an=4n2,貝Vbn=gan30=2n31,i2n*0,解得n<31,2n+131>0,22即數(shù)列bn的前15項均為負值，T15最小.T數(shù)列bn的首項是29,公差為2,.T15=15-29+J1531=225,二數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值為225.沖擊名校1.若數(shù)列an的首項為3,bn為等差數(shù)列且bn=an+1an(nN+),若b3=2,b10=12,則a8=()A.0B.3C.8D.11解析：選Btbn為等差數(shù)列，設其公差為d,b3=2,b10=12,.7d=bgb3=12(2)=14,.d

51、=2.tb3=2,-b1=b32d=24=6,7X6-B+b2+,+b7=7b1+d=7X(6)+21x2=0.又tb1+b2+,+b7=(a2a“+(a3a2)+,+(a8a7)=a8a1=a83.所以，3=0,a$=3.2. 設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，(n+1)Sn<nSn+1(nN+).若空v1,則()a7A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是Sz解析：選D由(n+1)SnVnSn+1得(n+1)na1Janvnn+1；+*1，整理得anVan+1,所以等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又£<1所以as>0,a7<0,所以數(shù)列an的前7項為負值，即Sn的最小值是S7.3.已知正項數(shù)列an滿足ai=2,a2=1,且一+旦=2,貝Ua12=an-1解析:並+玉=2,丄+an-1an+1an+11_1=1a2a12右=1+(n-1)x2=n,an+1丨11-|為等差數(shù)列，且首項為=2公差為2.1-an=二，