常用概率分布(NXPowerLite)

1、2022-3-191中山大學(xué)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)與流行病學(xué)系中山大學(xué)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)與流行病學(xué)系張晉昕張晉昕2008.09.16 2022-3-1922022-3-193 一、正態(tài)分布的概念一、正態(tài)分布的概念 第一節(jié)第一節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，若指標(biāo)若指標(biāo)X的頻率分布曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線，的頻率分布曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線，則稱該指標(biāo)服從正態(tài)分布。則稱該指標(biāo)服從正態(tài)分布。2022-3-1942022-3-1952022-3-196正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（即縱軸的高度）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（即縱軸的高度） ,21221XeXf -X

2、+ 2022-3-197 均數(shù)為均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，這種正態(tài)分布的正態(tài)分布，這種正態(tài)分布稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 2221ZeZf-Z+ 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)： 對(duì)于任意一個(gè)服從正態(tài)分布對(duì)于任意一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量，的隨機(jī)變量，可作如下的可作如下的標(biāo)準(zhǔn)化變換標(biāo)準(zhǔn)化變換，也稱，也稱Z變換變換， XZ2022-3-198正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的特征 1. 關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱。即正態(tài)分布以均數(shù)為中對(duì)稱。即正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱。心，左右對(duì)稱。 2. 在在 處取得概率密度函數(shù)的最大值，處取得概率密度函數(shù)的最大值，在在 處有處

3、有拐點(diǎn)拐點(diǎn)，表現(xiàn)為，表現(xiàn)為 鐘形曲線。即正鐘形曲線。即正態(tài)曲線在橫軸上方均數(shù)處最高。態(tài)曲線在橫軸上方均數(shù)處最高。xxx2022-3-199 3. 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差。是是位置參數(shù)位置參數(shù)，是是變異度參數(shù)變異度參數(shù)(形狀參數(shù)形狀參數(shù))。常用。常用N(,2)表示均數(shù)為表示均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布；用的正態(tài)分布；用N(0,1)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 4. 正態(tài)曲線下面積分布有一定規(guī)律。橫軸上正態(tài)曲線下面積分布有一定規(guī)律。橫軸上正態(tài)曲線下的面積等于正態(tài)曲線下的面積等于1（ 也常寫作也常寫作100% ） 。2022-3-191

4、0 二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)方程的積分式正態(tài)方程的積分式(分布函數(shù)分布函數(shù))： ,21221dXeXFXX F(X)為正態(tài)變量X的累計(jì)分布函數(shù)，反映正態(tài)曲線下，橫軸尺度自到X的面積，即下側(cè)累計(jì)面積 。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方程積分式標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方程積分式(分布函數(shù)分布函數(shù))： dZe21z2zZ2 (Z)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 Z的累計(jì)分布函數(shù)，反映標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下，橫軸尺度自到Z的面積，即下側(cè)累計(jì)面積 。2022-3-1911 Z 2022-3-1912 用查表代替計(jì)算必須注意： 1）表中曲線下面積為）表中曲線下面積為到到Z的面積。的面積。 2）當(dāng)當(dāng),和和X已知時(shí)已知時(shí)，先求

5、出，先求出Z值，值，再用再用Z值查表，得所求區(qū)間占總面積的比例。值查表，得所求區(qū)間占總面積的比例。當(dāng)當(dāng)和和未知時(shí)未知時(shí)，要用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，要用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)來估計(jì)Z值。值。 3）曲線下對(duì)稱于）曲線下對(duì)稱于0的區(qū)間，面積相等。的區(qū)間，面積相等。 4）曲線下橫軸上的面積為）曲線下橫軸上的面積為1 （即（即100% ）。）。 XZ SXXZ 三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表2022-3-1913 正態(tài)分布是一種對(duì)稱分布，其對(duì)稱軸為直線正態(tài)分布是一種對(duì)稱分布，其對(duì)稱軸為直線X=，即均數(shù)，即均數(shù)位置，理論上：位置，理論上： 1范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的范圍內(nèi)曲線下的面積占總面

6、積的68.27% 1.96范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95% 2.58范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99% 實(shí)際應(yīng)用中實(shí)際應(yīng)用中： 1 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27% 1.96 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95% 2.58 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99%XXX2022-3-19142022-3-1915標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的=0，=1，則，則相當(dāng)于區(qū)間相當(dāng)于區(qū)間(-1，1)，1.96相當(dāng)于區(qū)間相當(dāng)于區(qū)間(-1.96，1.96),2.

7、58的區(qū)間相當(dāng)于區(qū)間的區(qū)間相當(dāng)于區(qū)間(-2.58，2.58)。區(qū)間區(qū)間(-1,1)的面積：的面積：1-2(-1)=1-20.1587=0.6826=68.26%區(qū)間區(qū)間(-1.96,1.96)的面積：的面積：1-2(-1.96)=1-20.0250=0.9500=95.00%區(qū)間區(qū)間(-2.58,2.58)的面積：的面積：1-2(-2.58)=1-20.0049=0.9902=99.02%2022-3-1916 正態(tài)曲線下面積對(duì)稱，則區(qū)間（正態(tài)曲線下面積對(duì)稱，則區(qū)間（1.96，）的面積也是）的面積也是0.025。Z取值于（取值于（-1.96，1.96）的概率為）的概率為1-20.025=0.9

8、5，即，即X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 上的概率為上的概率為95%。 例例 5-11 X服從均數(shù)為服從均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)的正態(tài)分布，試估計(jì)分布，試估計(jì)（1）X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 上的概率；上的概率；（2）X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 上的概率；上的概率；96. 158. 2先做標(biāo)準(zhǔn)化變換:96. 1)96. 1(11xz96. 1)96. 1(22xz 025. 096. 11 z96. 12022-3-1917例例 5-12 已知某地已知某地1986年年120名名8歲男童身高均數(shù)歲男童身高均數(shù) ，S=4.79 cm ，估計(jì)，估計(jì)(1)該地該地8歲男孩身高在歲男孩身高在130 cm以上

9、者占該地以上者占該地8歲歲男孩總數(shù)的百分比；男孩總數(shù)的百分比；(2)身高界于身高界于120cm128cm者占該地者占該地8歲男孩歲男孩總數(shù)的比例；總數(shù)的比例；(3)該地該地80%男孩身高集中在哪個(gè)范圍？男孩身高集中在哪個(gè)范圍？ 先做標(biāo)準(zhǔn)化變化先做標(biāo)準(zhǔn)化變化:cm02.123X 46. 179. 402.123130SXXz 0721. 046. 1z 理論上該地8歲男孩身高在130 cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的7.21%。2022-3-191804. 179. 402.12312863. 079. 402.12312021zz 2643. 063. 01 z 5865. 02643. 085

10、08. 012zz（2） 8508. 004. 112 z2022-3-1919（3）查附表查附表1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為0.10所對(duì)應(yīng)所對(duì)應(yīng)的的Z值為值為-1.28，所以，所以80%的的8歲男孩身高值集中在歲男孩身高值集中在 區(qū)間內(nèi)，即區(qū)間內(nèi)，即116.9cm129.2cmS28. 1X 2022-3-1920（一）制定醫(yī)學(xué)參考值范圍（一）制定醫(yī)學(xué)參考值范圍v參考值范圍：指特定的參考值范圍：指特定的“正常正?！比巳旱慕馄?、生理、生化、人群的解剖、生理、生化、免疫等各種數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。免疫等各種數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。v制定參考值范圍的步驟：制定參考值范圍的步驟：

11、 1. 選擇足夠數(shù)量的正常人作為調(diào)查對(duì)象。選擇足夠數(shù)量的正常人作為調(diào)查對(duì)象。 2. 樣本含量足夠大。樣本含量足夠大。 3. 確定取單側(cè)還是取雙側(cè)正常值范圍。確定取單側(cè)還是取雙側(cè)正常值范圍。 4. 選擇適當(dāng)?shù)陌俜纸缦?。選擇適當(dāng)?shù)陌俜纸缦蕖?5. 選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。四、四、 正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布的應(yīng)用2022-3-1921v估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法：估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法： 1. 正態(tài)近似法正態(tài)近似法：適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料。：適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料。 2. 百分位數(shù)法百分位數(shù)法：適用于偏態(tài)分布資料。：適用于偏態(tài)分布資料。2022-3-1922 例

12、例5-13 某地調(diào)查某地調(diào)查120名健康女性血紅蛋白，直方圖名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似于正態(tài)分布，得均數(shù)為顯示，其分布近似于正態(tài)分布，得均數(shù)為117.4g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為10.2g/L ，試估計(jì)該地正常女性血紅蛋白的，試估計(jì)該地正常女性血紅蛋白的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。醫(yī)學(xué)參考值范圍。 分析：分析：正常人的血紅蛋白過高過低均為異常，要制正常人的血紅蛋白過高過低均為異常，要制定雙側(cè)正常值范圍。定雙側(cè)正常值范圍。39.13741.972 .1096. 14 .117S96. 1X 該指標(biāo)的該指標(biāo)的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍為醫(yī)學(xué)參考值范圍為 L/g39.13741.972022-3-

13、1923 例例5.14 某地調(diào)查某地調(diào)查110名正常成年男子的第一秒肺名正常成年男子的第一秒肺通氣量，得均數(shù)為通氣量，得均數(shù)為4.2 L，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為0.7 L ，試估計(jì)該地，試估計(jì)該地正常成年男子第一秒肺通氣量的正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。參考值范圍。052. 37 . 064. 12 . 464. 1SX 該地正常成年男子第一秒肺通氣量的該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考參考值范圍為：不低于值范圍為：不低于3.052L。分析：分析：正常人的第一秒肺通氣量近似正態(tài)分布，且只正常人的第一秒肺通氣量近似正態(tài)分布，且只以過低為異常，要制定單側(cè)下限。以過低為異常，要制

14、定單側(cè)下限。2022-3-1924 例例 5.15 某年某市調(diào)查了某年某市調(diào)查了 200例正常成人血鉛含例正常成人血鉛含量（量（g/100g)如下，試估計(jì)該市成人血鉛含量的如下，試估計(jì)該市成人血鉛含量的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。醫(yī)學(xué)參考值范圍。2022-3-1925 g/g.%f%x .nfiLPLx10073818995200753895 分析：血鉛的分布為偏峰分布，且血鉛含量只以分析：血鉛的分布為偏峰分布，且血鉛含量只以過高為異常，要用百分位數(shù)法制定單側(cè)上限。過高為異常，要用百分位數(shù)法制定單側(cè)上限。2022-3-1926二、質(zhì)量控制二、質(zhì)量控制 為了控制實(shí)驗(yàn)中的檢測(cè)誤差，常用 2S作上下警戒線

15、，以 3S作為上下控制線。這里的2S和3S可視為1.96S 和2.58S的約數(shù)。其依據(jù)是正常情況下檢測(cè)誤差是服從正態(tài)分布的。 XX2022-3-1927第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用判斷異常的判斷異常的8 8種情況是：種情況是：v有一個(gè)點(diǎn)距中心線的距離超過有一個(gè)點(diǎn)距中心線的距離超過3 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（控制限以外）個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（控制限以外）v在中心線的一側(cè)連續(xù)有在中心線的一側(cè)連續(xù)有9 9個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)v連續(xù)連續(xù)6 6個(gè)點(diǎn)穩(wěn)定地增加或減少個(gè)點(diǎn)穩(wěn)定地增加或減少v連續(xù)連續(xù)1414個(gè)點(diǎn)交替上下個(gè)點(diǎn)交替上下v連續(xù)連續(xù)3 3個(gè)點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過個(gè)點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過2 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（警戒限

16、個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（警戒限以外）以外）2022-3-1928第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用v連續(xù)連續(xù)5 5個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)中有4 4個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過1 1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差v中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)1515個(gè)點(diǎn)距中心線距離都在個(gè)點(diǎn)距中心線距離都在1 1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)以內(nèi)v中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)8 8個(gè)點(diǎn)距中心線距離都超出個(gè)點(diǎn)距中心線距離都超出1 1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍。范圍。2022-3-1929 三、統(tǒng)計(jì)處理方法的理論基礎(chǔ)三、統(tǒng)計(jì)處理方法的理論基礎(chǔ)如如 統(tǒng)計(jì)描述中計(jì)算算術(shù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計(jì)描述中計(jì)算算術(shù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、 統(tǒng)計(jì)推

17、斷中進(jìn)行總體均數(shù)置信區(qū)間估計(jì)、統(tǒng)計(jì)推斷中進(jìn)行總體均數(shù)置信區(qū)間估計(jì)、 t 檢驗(yàn)、檢驗(yàn)、F 檢驗(yàn)、相關(guān)與回歸等分析檢驗(yàn)、相關(guān)與回歸等分析2022-3-1930（一）成敗型實(shí)驗(yàn)（一）成敗型實(shí)驗(yàn)（BernoulliBernoulli實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)） 在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域的許多實(shí)驗(yàn)或觀察中，人們感興在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域的許多實(shí)驗(yàn)或觀察中，人們感興趣的是某事件是否發(fā)生。如用白鼠做某藥物的毒性實(shí)趣的是某事件是否發(fā)生。如用白鼠做某藥物的毒性實(shí)驗(yàn)，關(guān)心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實(shí)驗(yàn)觀驗(yàn)，關(guān)心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實(shí)驗(yàn)觀察患者是否治愈；觀察某指標(biāo)的化驗(yàn)結(jié)果是否呈陽性察患者是否治愈；觀察某指標(biāo)的化驗(yàn)結(jié)果是否呈陽性等

18、等。將我們關(guān)心的事件將我們關(guān)心的事件A A出現(xiàn)稱為成功，不出現(xiàn)稱為失出現(xiàn)稱為成功，不出現(xiàn)稱為失敗，這類試驗(yàn)就稱為成敗，這類試驗(yàn)就稱為成- -敗型實(shí)驗(yàn)。指定性資料中的二敗型實(shí)驗(yàn)。指定性資料中的二項(xiàng)分類實(shí)驗(yàn)。項(xiàng)分類實(shí)驗(yàn)。第二節(jié)第二節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 一、二項(xiàng)分布的概念與特征一、二項(xiàng)分布的概念與特征 2022-3-1931 成成- -敗型敗型（BernoulliBernoulli）實(shí)驗(yàn)序列：實(shí)驗(yàn)序列：滿足以下三個(gè)條件的滿足以下三個(gè)條件的n n次實(shí)驗(yàn)構(gòu)成的序列稱為成次實(shí)驗(yàn)構(gòu)成的序列稱為成- -敗型實(shí)敗型實(shí)驗(yàn)序列。驗(yàn)序列。 1 1）每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)互斥的結(jié)果之一（）每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)互斥

19、的結(jié)果之一（A A或或非非A A）。）。 2) 2) 相同的實(shí)驗(yàn)條件下，每次實(shí)驗(yàn)中事件相同的實(shí)驗(yàn)條件下，每次實(shí)驗(yàn)中事件A A的發(fā)生具有的發(fā)生具有相同的概率相同的概率。（非。（非A A的概率為的概率為1-1-）。）。實(shí)際工作中要求實(shí)際工作中要求是從大量觀察中獲得的較穩(wěn)定的數(shù)值。是從大量觀察中獲得的較穩(wěn)定的數(shù)值。 3) 3) 各次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立。各次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果互不影響。各次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立。各次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果互不影響。2022-3-1932（二）二項(xiàng)分布的概率函數(shù)（二）二項(xiàng)分布的概率函數(shù) 二項(xiàng)分布是指在只能產(chǎn)生兩種可能結(jié)果（如二項(xiàng)分布是指在只能產(chǎn)生兩種可能結(jié)果（如“陽性陽性”或或“陰性陰性”）之一的）之一的n次獨(dú)立

20、重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)每次試驗(yàn)的每次試驗(yàn)的“陽性陽性”概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽性陽性”的的次數(shù)次數(shù)X=0,1,2,nX=0,1,2,n的一種概率分布。的一種概率分布。 若從陽性率為若從陽性率為的總體中隨機(jī)抽取大小為的總體中隨機(jī)抽取大小為n的樣本，的樣本，則出現(xiàn)則出現(xiàn)“陽性陽性”數(shù)為數(shù)為X X的概率分布即呈現(xiàn)二項(xiàng)分布，記的概率分布即呈現(xiàn)二項(xiàng)分布，記作作 B(B(n,)。2022-3-1933舉例舉例 設(shè)實(shí)驗(yàn)白鼠共設(shè)實(shí)驗(yàn)白鼠共3 3只，要求它們同種屬、同只，要求它們同種屬、同性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，即事件即事件

21、“”為為A A，相應(yīng)死亡概率，相應(yīng)死亡概率為為。記事件。記事件“白鼠用藥后不死亡白鼠用藥后不死亡”為為 ，相，相應(yīng)不死亡概率為應(yīng)不死亡概率為1-1-。設(shè)實(shí)驗(yàn)后。設(shè)實(shí)驗(yàn)后3 3只白鼠中死亡只白鼠中死亡的白鼠數(shù)為的白鼠數(shù)為X X，則，則X X的可能取值為的可能取值為0 0，1 1，2 2和和3 3，則死亡鼠數(shù)為則死亡鼠數(shù)為X X的概率分布即表現(xiàn)為二項(xiàng)的概率分布即表現(xiàn)為二項(xiàng)分分布。布。A2022-3-1934獨(dú)立事件的獨(dú)立事件的乘法定理乘法定理互不相容事件互不相容事件的加法定理的加法定理2022-3-19353333322323113130030332233 33)(BACBACBACBACBABB

22、AABAnnnnnnnnnnnnBACBACBACBACBA222111000)(2022-3-1936 構(gòu)成成構(gòu)成成- -敗型實(shí)驗(yàn)序列的敗型實(shí)驗(yàn)序列的n次實(shí)驗(yàn)中，事件次實(shí)驗(yàn)中，事件A A出現(xiàn)出現(xiàn) 的次數(shù)的次數(shù)X X的概率分布為：的概率分布為： XnXXnCXP1 其中其中X=0X=0，1 1，22，n。 n n，是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù) 。 !xnXnCXn對(duì)于任何二項(xiàng)分布，總有對(duì)于任何二項(xiàng)分布，總有 10nxXP2022-3-1937例例5-2 5-2 臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為60%60%，現(xiàn)以該療法治療現(xiàn)以該療法治療3

23、3例，其中例，其中2 2例有效的概率是多大？例有效的概率是多大？ 分析：治療結(jié)果為有限和無效兩類，每個(gè)患者是否分析：治療結(jié)果為有限和無效兩類，每個(gè)患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.60.6，符合二，符合二項(xiàng)分布的條件。項(xiàng)分布的條件。 XnXXnCXP1 432. 06 . 016 . 0!23! 2! 31C2P23223223 2 2例有效的概率是例有效的概率是0.4320.4322022-3-1938一例以上有效的概率為：一例以上有效的概率為： 936. 0216. 0432. 0288. 06 . 016 . 0!33! 3! 36 .

24、016 . 0!23! 2! 36 . 0161. 0!13! 1! 3321133323213PPPXP或 936. 0064. 01011PXP2022-3-1939 n，是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)，所以二項(xiàng)分布的形狀是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)，所以二項(xiàng)分布的形狀取決于取決于n，?？梢钥闯?，當(dāng)?？梢钥闯?，當(dāng) =0.5時(shí)分布對(duì)稱，近似時(shí)分布對(duì)稱，近似對(duì)稱分布。當(dāng)對(duì)稱分布。當(dāng) 0.5時(shí)，分布呈偏態(tài)，特別是時(shí)，分布呈偏態(tài)，特別是n較小時(shí)，較小時(shí)， 偏離偏離0.5越遠(yuǎn)，分布的對(duì)稱性越差，但只要不接近越遠(yuǎn)，分布的對(duì)稱性越差，但只要不接近1和和0時(shí)，隨著時(shí)，隨著n 的增大，分布逐漸逼近正態(tài)。因此，的增大，分布逐漸

25、逼近正態(tài)。因此， 或或1- 不太小，而不太小，而n足夠大，我們常用正態(tài)近似的原理來足夠大，我們常用正態(tài)近似的原理來處理二項(xiàng)分布的問題。處理二項(xiàng)分布的問題。2022-3-19402022-3-19412022-3-1942 對(duì)于任何一個(gè)二項(xiàng)分布B(n,)，如果每次試驗(yàn)出現(xiàn)“陽性”結(jié)果的概率均為 ，則在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)陽性次數(shù)X的總體均數(shù)為方差為標(biāo)準(zhǔn)差為n12n1n2022-3-1943例例 實(shí)驗(yàn)白鼠實(shí)驗(yàn)白鼠3只，白鼠用藥后死亡的只，白鼠用藥后死亡的死亡概率死亡概率=0.6，則，則3只白鼠中死亡鼠數(shù)只白鼠中死亡鼠數(shù)X的總體均數(shù)的總體均數(shù) =30.6=1.8（只）（只）方差為方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為

26、標(biāo)準(zhǔn)差為n（只）72. 04 . 06 . 0312n只）(85. 04 . 06 . 031n2022-3-1944 如果以率表示，將陽性結(jié)果的頻率記如果以率表示，將陽性結(jié)果的頻率記為為 ， 則則p的總體均數(shù)的總體均數(shù) 總體方差為總體方差為 總體標(biāo)準(zhǔn)差為總體標(biāo)準(zhǔn)差為 式中式中 是頻率是頻率p的標(biāo)準(zhǔn)誤的標(biāo)準(zhǔn)誤，反映陽性頻率的反映陽性頻率的抽樣誤差的大小。抽樣誤差的大小。nXp pnp12np1p2022-3-1945例例5-4 如果某地鉤蟲感染率為如果某地鉤蟲感染率為6.7%,隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)仉S機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人人,樣本鉤蟲感染率為樣本鉤蟲感染率為p,求求p的抽樣誤差的抽樣誤差 。p02. 015

27、0067. 01067. 0067. 0,150pn2022-3-1946 （一）一） 概率估計(jì)概率估計(jì)例例5-5 如果某地鉤蟲感染率為如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察當(dāng)，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)氐?50人，其中有人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大人感染鉤蟲的概率有多大? XnXXnCXP1 0055. 013. 0113. 010101501010150CP2022-3-1947 (二二)單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算 二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性次數(shù)二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性次數(shù)至少至少為為k次的概率為次的概率為陽性次數(shù)陽性次數(shù)至多至多為為k次的概率為次的概率為 XnXnkxnkxXnXnXPKXP1! XnXkx

28、kxXnXnXPKXP1!002022-3-1948例例5-6 如果某地鉤蟲感染率為如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)禺?dāng)?shù)?50人，其中人，其中至多至多有有2人感染鉤蟲的概率有人感染鉤蟲的概率有多大多大?至少至少有有2人感染鉤蟲的概率有多大人感染鉤蟲的概率有多大?至少至少有有20人感染鉤蟲的概率有多大人感染鉤蟲的概率有多大? XnXxxXnXnXPXP1!22020至多有至多有2名感染的概率為名感染的概率為: 7148149115001031. 213. 01132. 0!148! 2!15013. 0113. 0!149! 1!15013. 0113. 0!150! 0!15

29、0210PPP2022-3-1949至少有至少有2名感染的概率為名感染的概率為: 110112102PPXPXPXPnx至少有至少有20名感染的概率為名感染的概率為: 4879. 019.310112019020PPPPXPXPXPnx2022-3-1950 一、Poisson分布的概念分布的概念 PoissonPoisson分布也是一種離散型分布，用以描述分布也是一種離散型分布，用以描述罕見罕見事件事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。發(fā)生次數(shù)的概率分布。PoissonPoisson分布也可用于研究分布也可用于研究單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)( (或單位空間、容積內(nèi)或單位空間、容積內(nèi)) )某罕見事件發(fā)生次某罕見事

30、件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細(xì)菌數(shù)的分布，數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細(xì)菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動(dòng)物數(shù)的分布，粉塵在在單位空間中某種昆蟲或野生動(dòng)物數(shù)的分布，粉塵在觀察容積內(nèi)的分布，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射出觀察容積內(nèi)的分布，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射出質(zhì)點(diǎn)數(shù)的分布等。質(zhì)點(diǎn)數(shù)的分布等。PoissonPoisson分布一般記作分布一般記作 。 2022-3-1951 Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率分布可以看作是發(fā)生的概率 很小，而觀很小，而觀察例數(shù)很大時(shí)的二項(xiàng)分布。除要符合二項(xiàng)分布的三個(gè)察例數(shù)很大時(shí)的二項(xiàng)分布。除要符合二項(xiàng)分布的三個(gè)基本條件外，基本條件外

31、，Poisson分布還要求分布還要求或或1-接近于接近于0和和1。有些情況有些情況和和n都難以確定，只能以觀察單位都難以確定，只能以觀察單位(時(shí)間、時(shí)間、空間、容積、面積空間、容積、面積)內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生數(shù)內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生數(shù)X等來表等來表示，如每毫升水中大腸桿菌數(shù)，每個(gè)觀察單位中粉塵示，如每毫升水中大腸桿菌數(shù)，每個(gè)觀察單位中粉塵的計(jì)數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)等，只要細(xì)菌、粉的計(jì)數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)等，只要細(xì)菌、粉塵、放射性脈沖在觀察時(shí)間內(nèi)滿足以上條件，就可以塵、放射性脈沖在觀察時(shí)間內(nèi)滿足以上條件，就可以近似看為近似看為Poisson分布。分布。 Poisson分布作為二項(xiàng)分布的一

32、種極限情況分布作為二項(xiàng)分布的一種極限情況2022-3-1952 二、二、PoissonPoisson分布的特征分布的特征1.Poisson1.Poisson分布的概率函數(shù)為分布的概率函數(shù)為: :式中式中 為為PoissonPoisson分布的總體均數(shù)，分布的總體均數(shù)，X X為觀為觀察單位時(shí)間內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；察單位時(shí)間內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；e e為自然為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，約等于對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.718282.71828。!)(XeXPXn2022-3-1953 如某地如某地2020年間共出生短肢畸形兒年間共出生短肢畸形兒1010名，平均每年名，平均每年0.50.5名。就可

33、用名。就可用 代入代入PoissonPoisson分布的概率函數(shù)來估計(jì)分布的概率函數(shù)來估計(jì)該地每年出生此類短肢畸形兒的人數(shù)為該地每年出生此類短肢畸形兒的人數(shù)為0 0，1 1，22的概的概率率P(X)P(X)。!)(XeXPX607. 0! 05 . 0)0(05 . 0eP303. 0! 15 . 0) 1 (15 . 0eP076. 0! 25 . 0)2(25 . 0eP5 . 02022-3-19542022-3-19552.Poisson分布的特性：分布的特性：（1）Poisson分布的的總體分布的的總體均數(shù)均數(shù)與總體與總體方差方差相等，均相等，均為為 。（2）Poisson分布的觀察

34、結(jié)果有分布的觀察結(jié)果有可加性可加性。即對(duì)于服從。即對(duì)于服從Poisson分布的分布的m個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2Xm，它，它們之和也服從們之和也服從Poisson分布，其分布，其均數(shù)為這均數(shù)為這m個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量的均數(shù)之和。的均數(shù)之和。2022-3-1956 從總體均數(shù)為從總體均數(shù)為 的服從的服從PoissonPoisson分布總體中分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)隨機(jī)抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為為X X1 1，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為 的的PoissonPoisson分分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有事件布總體中

35、隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為的發(fā)生次數(shù)為X X2 2，則他們的合計(jì)發(fā)生數(shù)，則他們的合計(jì)發(fā)生數(shù)T=XT=X1 1+X+X2 2也服從也服從PoissonPoisson分布，總體均數(shù)為分布，總體均數(shù)為 。12212022-3-1957 Poisson Poisson分布的這些性質(zhì)還可以推廣到多個(gè)分布的這些性質(zhì)還可以推廣到多個(gè)PoissonPoisson分布的情形。例如，從同一水源獨(dú)立地取分布的情形。例如，從同一水源獨(dú)立地取水樣水樣5 5次，進(jìn)行細(xì)菌培養(yǎng)，每次水樣中的菌落數(shù)分次，進(jìn)行細(xì)菌培養(yǎng)，每次水樣中的菌落數(shù)分別為別為 ，均服從，均服從PoissonPoisson分布，分別記分布，

36、分別記 為為 ，把，把5 5份水樣混合，其合計(jì)菌落份水樣混合，其合計(jì)菌落數(shù)數(shù) 也服從也服從PoissonPoisson分布，記為分布，記為 ，其均數(shù)為其均數(shù)為 。 醫(yī)學(xué)研究中常利用醫(yī)學(xué)研究中常利用PoissonPoisson分布的可加性，將分布的可加性，將小的觀察單位合并以增大發(fā)生次數(shù)小的觀察單位合并以增大發(fā)生次數(shù)X X，以便用正態(tài)，以便用正態(tài)近似法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。近似法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。5,.2 , 1, iXi 5,.,2 , 1i ,i iX 521. 521.2022-3-1958 二、二、 PoissonPoisson分布分布的應(yīng)用的應(yīng)用（一）（一） 概率估計(jì)概率估計(jì)例例5-7（1） 如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率為概率為