現(xiàn)代控制理論第4講

1、現(xiàn)代控制理論第四講現(xiàn)代控制理論第四講 王王 凱凱 明明長安大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系長安大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系16 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣一、傳遞函數(shù)陣一、傳遞函數(shù)陣1、單輸入、單輸入單輸出系統(tǒng)單輸出系統(tǒng)ducxybuAxx設(shè)初始條件為零設(shè)初始條件為零,兩邊做拉氏變換可得兩邊做拉氏變換可得)()()(sbUsAXssX)()()(sbUsXAsI)()()(1sbUAsIsXbAsIsUsXsWux1)()()()()()()()()()(1sdUsbUAsIcsdUscXsYdbAsIcsUsYsW1)()()()(2、多輸入、多輸入多輸出系統(tǒng)多輸出系統(tǒng)DuCxyB

2、uAxx設(shè)初始條件為零設(shè)初始條件為零,兩邊做拉氏變換可得兩邊做拉氏變換可得)()()(1sBUAsIsX)()()()(1sDUsBUAsICsYBAsIsUsXsWux1)()()()(DBAsICsUsYsW1)()()()()()()()()()()()()()(212212111211sWsWsWsWsWsWsWsWsWsWmrmmrrDBAsIAsICDBAsICsWadj)()()(1)(1)(AsIDBAsICAsIsWadj對于同一個系統(tǒng)對于同一個系統(tǒng),傳遞函數(shù)陣是唯一的傳遞函數(shù)陣是唯一的!證明證明:假設(shè)對原狀態(tài)空間表達(dá)式作任意空間變換假設(shè)對原狀態(tài)空間表達(dá)式作任意空間變換,即即

3、xTzTzx1則變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為則變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為DuCTzyBuTATzTz11其對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為其對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為:)()()()()()(11111111111sWDBAsICDBATTTTTsITCDBTATTsITCDBTATTsICTsW二、子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)陣二、子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)陣1、并聯(lián)、并聯(lián)聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)設(shè)子系統(tǒng)設(shè)子系統(tǒng)1為為1111111111uDxCyuBxAx設(shè)子系統(tǒng)設(shè)子系統(tǒng)2為為2222222222uDxCyuBxAx2121yyyuuu系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為uDDxxCCyuBBxxAAxx212121212

4、1212100)()()()()()()(00)()()()(2121212211112121121121sWsWDDBAsICBAsICDDBBAsIAsICCsUsYsW221121( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sY sY sW sW sW sU sY sU s2、串聯(lián)連接、串聯(lián)連接3、具有輸出反饋的系統(tǒng)、具有輸出反饋的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為111112222221111)(xCyyxCBxAxxCuBxAx2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx00)(112122111BAsICBCBAsICsW矩陣塊求逆矩陣

5、塊求逆IIAsICBCBAsIFFFFFFFFAsICBCBAsI00212211222112112221121112122110)()(21221111212111AsIFCBFICBFAsIF1112111 11 12122( )00FFBW sCCF BFF 21112121212111)()(CBFAsIFCBFIAsIF122111121112121111)()()(AsICBFFAsICBFAsIF11121221111111)()()(AsICBAsICBFAsIF)()()()()()()()(1211111212211111111sWsWsWsWBAsICBAsICBFCBA

6、sICsW)()()()()(112sWsWsWsWsW)()()()(112sWsWsWIsW1121)()()()(sWsWIsWsW同理可證明同理可證明:)()()()(1121sWsWsWIsW17 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散系統(tǒng)差分方程：離散系統(tǒng)差分方程：系統(tǒng)脈系統(tǒng)脈沖傳遞沖傳遞函數(shù)函數(shù)狀態(tài)空間表狀態(tài)空間表達(dá)式：達(dá)式：模擬模擬結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖圖)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kubkubnkubnkubkyakyankyankynnn01110111)(azazazbzbzbzbzWnnnnnnn)() 1()()() 1(ku

7、dkxCykuhkxGkx)(kx) 1( kx離散系統(tǒng)較簡單的實(shí)現(xiàn)的模擬結(jié)構(gòu)圖離散系統(tǒng)較簡單的實(shí)現(xiàn)的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達(dá)式矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達(dá)式)()()()() 1()()() 1()()() 1()()() 1(01211011232121kuhkxakxakxakxkuhkxkxkuhkxkxkuhkxkxnnnnnnn)()(0001)()()(100001000010) 1(0111210kuhkxkykuhhhhkxaaaakxnnnn匹配系數(shù)的求法匹配系數(shù)的求法多變量離散狀態(tài)空間表達(dá)式多變量離散狀態(tài)空間表達(dá)式)() 1()()() 1

8、(kuDkxCykuHkxGkx11011110001111niininnnnnnnnnhabhahahabhhabhbh18 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式一、線性時變系統(tǒng)一、線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatAnnnnnn)()()()()()()()()()(212222111211tbtbtbtbtbtbtbtbtbtBnrnnrr)()()()()()()()()()(212222111211tctctctc

9、tctctctctctCmnmmnn)()()()()()()()()()(212222111211tdtdtdtdtdtdtdtdtdtDmrmmrrutDxtCyutBxtAx)()()()(二、非線性系統(tǒng)二、非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一階微分方程描述非線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一階微分方程描述向量矩陣表示形式：向量矩陣表示形式：時不變非線性系統(tǒng)時不變非線性系統(tǒng)mjtuuuxxxgynituuuxxxfxrnjjrnii,2,1);,;,(,2,1);,;,(21212121),(),(tuxgytuxfx 矢量函數(shù)矢量函數(shù)),(),(uxgyuxfx 不顯含不顯含t非線性系統(tǒng)的線性化非線性系

10、統(tǒng)的線性化設(shè)設(shè)000,yux和是時不變非線性系統(tǒng)的一組解是時不變非線性系統(tǒng)的一組解,即即),(),(000000uxgyuxfx 將將f和和g在在 的鄰域作泰勒級數(shù)展開的鄰域作泰勒級數(shù)展開00ux 和),(),(),(),(),(),(0, 00, 0000, 00, 000uxuugxxguxguxguxuufxxfuxfuxfuxuxuxuxnnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111rnnnrrufufufufufufufufufuf212221212111線性化表達(dá)式線性化表達(dá)式nmmmnnxgxgxgxgxgxgxgxgxgxg212221212111

11、rmmmrrugugugugugugugugugug212221212111uugxxgyyyuufxxfxxxuxuxuxux0, 00, 000, 00, 000, 00, 00, 00, 0uxuxuxuxugDxgCufBxfA；令uDxCyuBxAx例例112試求下列非線性系統(tǒng)22122212212xxyuxxxxxx在在 處的線性化狀態(tài)空間表達(dá)式處的線性化狀態(tài)空間表達(dá)式00 x解解:2212122212122211),(2),(),(xxuxxguxxxuxxfxuxxf0211)31(;1;10020201022022012021011xxxxxxxxxxgxgxxfxfxfxf

12、；0012011100000 xxxxugDxgCufBxfA；由非線性系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式由非線性系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式xyuxx012011101221121;)()(;xyuxxxxx1212211221122110),(),(10)()(xyuxxfxxfuxxxxx由非線性微分方程求取狀態(tài)空間表達(dá)式由非線性微分方程求取狀態(tài)空間表達(dá)式uyyyy)()( dyydFydyyyF)()()(即）（令yyyFdtdydyydFdtydF)()()()(即則121212211121),()(),()(xyuxxfuxxuxxfxFxx 作作 業(yè)業(yè)n1、P49 17 由狀態(tài)空間表達(dá)式求