高中數(shù)學(xué)必修基本初等函數(shù)?？碱}型對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課

1、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用（復(fù)習(xí)課）【?？碱}型】題型一、對數(shù)值的大小【例1】（1）下列大小關(guān)系正確的是（）A. 0.43：二304：二log40.33_0.4B. 0.4<log40.3:二3C. log40.3:二0.43：二30.4D. log40.3<30.4<0.43E. ）比較下列各組值的大小.F. 3.4 l0g5與l0g5一；43 logi2與10g12；35Dlogz3與log54.(1)解析0<0.43<1,30.4>1,10g40.3<0,故選C.答案C（2）解法一：對數(shù)函數(shù)y=1og5x在（0,y）上是增函數(shù),1og5一:1og5-.

2、43法二：log53<0,4.,3,4Tog510g5一.43一11由于10g12=,10g12=.310g2510g2-35又因?qū)?shù)函數(shù)y=1og2x在(0,y)上是增函數(shù)，且1>,3511 0 >10g2 一 > 10g2 一，351二110g2110g21351og22:：1og：2.35取中間值1,.Iog23>log22=1=log55log54,.log23log54.【類題通法】比較對數(shù)值大小的方法比較對數(shù)式的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行比較.(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性

3、的影響，對底數(shù)進行分類討論.(3)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以利用順時針方向底數(shù)增大畫出函數(shù)的圖象，再進行比較.(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較.【對點訓(xùn)練】比較下列各組中兩個值的大?。?1) ln0.3,ln2；(2) loga3.1,loga5.2(a>0,且a1);(3) 10g30.2,log40.2；(4) 10g3n,log冗3.解：(1)因為函數(shù)y=lnx是增函數(shù)，且0.3<2,所以ln0.3二ln2.(5) 當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax在(0,十資)上是增函數(shù)，又3.1<5.2,所以lo

4、ga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y=logax在(0,y)上是減函數(shù)，又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.11rr(3)因為0>log023log024,所以<,即10g30.2<10g40.2.log0.23log0.24(4)因為函數(shù)y=log3x是增函數(shù)，且3>3,所以10g3n>log33=1.同理，1=1og冗兀1ogn3,所以10g3n>logH3.題型二、求解對數(shù)不等式5-1【例2】(1)已知a=-5-1,若logam>loga5,則m的取值范圍是.2一1(2)已知loga&

5、gt;1,則a的取值范圍為2(3)已知10go.72x<1og0.7(x1),則x的取值范圍為.解析(1)：0<a<1,.f(x)=logax在(0,48)上是減函數(shù),10:m：5.1 1.由lOga>1得10ga->10gaa.221當(dāng)a>1時，有a<,此時無解.21當(dāng)0<a<1時，有1<a,21從而一：二a=：1.2，a的取值范圍是'-,1h2(3)二,函數(shù)y=1og0.7X在(0,Z為減函數(shù)，2x0I由log0.72x<10go.7(x-1)得x-1a0,解得x>1,2xx-1即x的取值范圍是(1,十無).C

6、L1/答案(1)0<m<5(2)-,1I(3)1/Hc2【類題通法】常見對數(shù)不等式的解法常見的對數(shù)不等式有三種類型：(1)形如logaxAlogab的不等式，借助y=logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論.(2)形如logaxAb的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logaxAlogbx的不等式，可利用圖象求解.【對點訓(xùn)練】若a>0且a#1,且loga(2a+1)<loga3a<0,求a的取值范圍.解：不等式可化為loga(2a+1)<loga3a

7、<loga1,0 :二 a ：二 12a 1 3a3a 1a>1等價于?a+1>0或2a1:二3a一0:二3a：二11.一1解得<a<1,即a的取值范圍為，1I.33題型三、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】(1)下列函數(shù)在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)的是()A.y=2xB.y=2x2C.y=log2xD.y=x(2)已知f(x)=loga(aax)(a>1).求f(x)的定義域和值域；判斷并證明f(x)的單調(diào)性.(1)解析指數(shù)、對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)不具備奇偶性，故選D.答案D(2)解由a:>1,aax>0,即a>ax,得x<1.故f(x)的定義域

8、為(-°0,1).由0<aax<a,可知loga(a-ax)<logaa=1.故函數(shù)f(x)的值域為(-°0,1).f(x近(*,1廿為減函數(shù)，證明如下：任取1ax1Ax2，又a>1,1-ax1>ax2,a-ax1<a-ax2,loga(a-ax1)<loga(a-ax2)，即f(%)<f(x2)，故f(x/(-°0,1)上為減函數(shù).【類題通法】解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的方法對數(shù)函數(shù)常與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值以及不等式等問題綜合，求解中通常會涉及對數(shù)運算.解決此類綜合問題，首先要將所給的條件進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合涉及的知

9、識點，明確各知識點的應(yīng)用思路、化簡方向，與所求目標(biāo)建立聯(lián)系，從而找到解決問題的思路.【對點訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=loga(3ax),(1)當(dāng)xW10,2】時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x產(chǎn)區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1?如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.解：(1)由題設(shè)，3-ax>0對xw10,2M亙成立，且a>0,a=1.設(shè)g(x)=3-ax,則g(x盧0,2上為減函數(shù),g(x1.=g(2)=3-2a>0,a的取值范圍是0,1 u 1,|(2)假設(shè)存在這小¥的實數(shù)a,則由題設(shè)知f(1)=1,3

10、即loga(3-a)=1,.a=2此時fx=log3i3-3x.2.2但x=2時，f(x)=log30無意義.故這樣的實數(shù)a不存在.2【練習(xí)反饋】1設(shè)a=log54,b=logs3,c=log45,貝U()A.a:c:bB.b:c:aC.a:b:cD.b:二a:c解析：選D由于b=log53<a=log54<1<log45=c,故b<a<c.12.函數(shù)f(x)=lgt一的奇偶性是()kJx2+1xxJA.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析：選Af(x)定義域為R,1=lg；_2=lg1=。,x1-x.f(x)為奇函數(shù)，故選A.3.不等式10g1(

11、2x+1)>log(3x)的解集為2x 1 0解析：由題意 3 -x . 02x 1 ：3 -x1x > 2, x < 32 x<- 、3一一 ：x : 一 .2312答案：<x -一 <x <-,1 一4.設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間 h2a上的最大值與最小值之差為 -,則2 =解析：a >1 ,f (x)=logax在 b,2a上遞增, c1loga(2a)-logaa = -, 2rr1即 loga2 31a2 =2,答案：4a =4.函數(shù) f (x )=loga(1+x ) , g(x)=loga(1x)其中(a>0且a=1),設(shè)h( x)= f X (g).x(1)求函數(shù)h(x)的定義域，判斷h(x)的奇偶性，并說明理由;(2)若f (3 ) = 2,求使h(x )<0成立的x的集合.解：(1)f (x)=lOga(l+x)的定義域為gx=lOga(l - x的定義域為x x <11- h(x )= f (x )-g(x )的定義域為x x> -1)n xx<1 = x-1h(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x),h(-x)=lOga(1-x)loga(1+x產(chǎn)loga