2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

1、2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一 試一、填空題（每小題8分，共64分）1設集合，若中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為，則集合 2函數(shù)的值域為 3設為正實數(shù)，則 4如果，那么的取值范圍是 5現(xiàn)安排7名同學去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目，每個項目都有人參加，每人只參加一個項目，則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為 （用數(shù)字作答）6在四面體中，已知，則四面體的外接球的半徑為 7直線與拋物線交于兩點，為拋物線上的一點，則點的坐標為 8已知C，則數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為 二、解答題（本大題共3小題，共56分）9（16分）設函數(shù)，實數(shù)滿足，求的值10（20分）已知數(shù)列滿足：R且，N（1）

2、求數(shù)列的通項公式；（2）若，試比較與的大小yxOPAB11（本小題滿分20分）作斜率為的直線與橢圓：交于兩點（如圖所示），且在直線的左上方（1）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；（2）若，求的面積解 答1. 提示：顯然，在的所有三元子集中，每個元素均出現(xiàn)了3次，所以，故，于是集合的四個元素分別為5（1）6，532，550，583，因此，集合2. 提示：設，且，則設，則，且，所以 3-1. 提示：由，得又 ，即 于是 再由不等式中等號成立的條件，得與聯(lián)立解得或故4. 提示：不等式等價于. 又是上的增函數(shù)，所以，故Z)因為，所以的取值范圍是515000. 提示：由題設條件可知，滿足條件的方案有兩

3、種情形： （1）有一個項目有3人參加，共有種方案；（2）有兩個項目各有2人參加，共有種方案；所以滿足題設要求的方案數(shù)為6. 提示：設四面體的外接球球心為，則在過的外心且垂直于平面的垂線上由題設知，是正三角形，則點為的中心設分別為的中點，則在上，且，因為，設與平面所成角為，可求得ABCDOPMN在中，由余弦定理得，故四邊形的外接圓的直徑 故球的半徑7或提示： 設，由得 ，則，又，所以，因為，所以，即有，即，即，即顯然，否則，則點在直線上，從而點與點或點重合所以，解得故所求點的坐標為或815. 提示：C要使 為整數(shù)，必有均為整數(shù)，從而當2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,

4、68,74,80時，和均為非負整數(shù)，所以為整數(shù)，共有14個當時，C，在C中，中因數(shù)2的個數(shù)為，同理可計算得中因數(shù)2的個數(shù)為82，中因數(shù)2的個數(shù)為110，所以C中因數(shù)2的個數(shù)為，故是整數(shù)當時，C，在C中，同樣可求得中因數(shù)2的個數(shù)為88,中因數(shù)2的個數(shù)為105,故C中因數(shù)2的個數(shù)為，故不是整數(shù)因此，整數(shù)項的個數(shù)為9因為，所以，所以或，又因為，所以，所以 又由有意義知，從而，于是所以 從而 又，所以，故 解得或（舍去）把代入解得 所以 ， 10（1）由原式變形得 ，則 記，則， 又 ，從而有，故 ，于是有 （2），顯然在時恒有，故 11（1）設直線：，將代入中，化簡整理得于是有， 則，上式中，分子，

5、從而，又在直線的左上方，因此，的角平分線是平行于軸的直線，所以的內(nèi)切圓的圓心在直線上 （2）若時，結(jié)合（1）的結(jié)論可知直線的方程為：，代入中，消去得它的兩根分別是和，所以，即所以同理可求得 所以 加 試1. （40分）如圖，分別是圓內(nèi)接四邊形的對角線的中點若，證明：2. （40分）證明：對任意整數(shù)，存在一個次多項式具有如下性質(zhì)：（1）均為正整數(shù)；（2）對任意正整數(shù)，及任意個互不相同的正整數(shù)，均有3.（50分）設是給定的正實數(shù)，對任意正實數(shù)，滿足的三元數(shù)組的個數(shù)記為證明：4.（50分）設A是一個的方格表，在每一個小方格內(nèi)各填一個正整數(shù)稱A中的一個方格表為“好矩形”，若它的所有數(shù)的和為10的倍數(shù)稱

6、A中的一個的小方格為“壞格”，若它不包含于任何一個“好矩形”求A中“壞格”個數(shù)的最大值解 答1. PABCDQEF 延長線段與圓交于另一點，則，又是線段的中點，故，從而 又，所以，于是，即 . 從而有 ，即 又，所以ABQACD，所以 延長線段與圓交于另一點，則，故又因為為的中點，所以又，所以 2. 令 ， 將的右邊展開即知是一個首項系數(shù)為1的正整數(shù)系數(shù)的次多項式下面證明滿足性質(zhì)（2）對任意整數(shù)，由于，故連續(xù)的個整數(shù)中必有一個為4的倍數(shù)，從而由知 因此，對任意個正整數(shù)，有 但對任意正整數(shù)，有，故，從而所以符合題設要求 3.對給定的，滿足，且 的三元數(shù)組的個數(shù)記為 注意到，若固定，則顯然至多有一

7、個使得成立因，即有種選法，故同樣地，若固定，則至多有一個使得成立因，即有種選法，故從而 因此，當為偶數(shù)時，設，則有 當為奇數(shù)時，設，則有 4. 首先證明A中“壞格”不多于25個用反證法假設結(jié)論不成立，則方格表中至多有1個小方格不是“壞格”由表格的對稱性，不妨假設此時第1行都是“壞格”設方格表第列從上到下填的數(shù)依次為記，這里 我們證明：三組數(shù)；及都是模10的完全剩余系 事實上，假如存在，使，則，即第1行的第至第列組成一個“好矩形”，與第1行都是“壞格”矛盾 又假如存在，使，則，即第2行至第3行、第列至第列組成一個“好矩形”，從而至少有2個小方格不是“壞格”，矛盾類似地，也不存在，使因此上述斷言得證故，所以 ，矛盾！故假設