二重積分的計(jì)算方法

1、2021/6/161一、直角坐標(biāo)系中的累次積分法一、直角坐標(biāo)系中的累次積分法二、極坐標(biāo)系中的累次積分法二、極坐標(biāo)系中的累次積分法 第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算方法二重積分的計(jì)算方法第五模塊第五模塊二二重積分與曲線積分重積分與曲線積分2021/6/162設(shè)設(shè) A( (x) )表示過點(diǎn)表示過點(diǎn) x 任取子區(qū)間任取子區(qū)間 x, x + dx a, b. 且垂直且垂直 x 軸的軸的平面平面 與曲頂柱體相交的截面的面與曲頂柱體相交的截面的面積，積，1. 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 D 可用不等式組表示為可用不等式組表示為 bxaxyx ),( )(21 如圖所示，如圖所示，選選 x 為積分變量，為積分變量，

2、x a, ,b ，一、直角坐標(biāo)系中的累次積分法一、直角坐標(biāo)系中的累次積分法 則曲頂柱體體積則曲頂柱體體積 V 的微元的微元 dV 為為2021/6/163 baxxAV.d)(,d)(dxxAV 式中面積函數(shù)式中面積函數(shù) A(x) 是一個(gè)是一個(gè)以區(qū)間以區(qū)間 1(x) , 2(x) 為底為底邊、邊、以曲線以曲線 z= f (x,y)( (x 是固是固定的定的) )為曲邊的曲邊梯形，為曲邊的曲邊梯形，其面積可表示為其面積可表示為2021/6/164 )()(21.d),()(xxyyxfxA 將將 A(x) 代入上式，代入上式，則曲頂柱體的體積則曲頂柱體的體積. dd),()()(21 baxxx

3、yyxfV 于是于是，二重積分二重積分 baxxDxyyxfyxf. dd),(d),()()(21 2021/6/165公式稱為先積公式稱為先積 y ( (也稱內(nèi)積分對也稱內(nèi)積分對 y) )后積后積 x ( (也稱外也稱外積分對積分對 x ) )的累次積分公式的累次積分公式.它通常也可寫成它通常也可寫成 baxxDyyxfxyxf)()(21d),(dd),( 這結(jié)果也適用于一般情形這結(jié)果也適用于一般情形.2021/6/1662. 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 D 可用不等式組表示為可用不等式組表示為如右圖，則如右圖，則 Ddcyyxyxfyyxf)()(21.d),(dd),( ，dycyxy )

4、( )(21 2021/6/167 首先在首先在 xy 平面上畫出所圍平面上畫出所圍成的區(qū)域成的區(qū)域 D . .若是先積若是先積 y 后積后積 x 時(shí)時(shí)，得投影區(qū)間得投影區(qū)間 a, b ，則把區(qū)域則把區(qū)域 D 投影到投影到 x 軸上，軸上， 在在 a, b 上任意確定上任意確定一個(gè)一個(gè) x ， 這時(shí)這時(shí) a 就是對就是對 x 積分積分( (外積分外積分) )的下限，的下限，b 就是對就是對 x 積分積分( (外積分外積分) )的上限；的上限； 過過 x 畫一條與畫一條與 y 軸平行的直線，軸平行的直線， 假定它與區(qū)域假定它與區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線( (x = a, x = b 可以除外

5、可以除外) )的交點(diǎn)總是不超過的交點(diǎn)總是不超過兩個(gè)兩個(gè)( (稱這種區(qū)域?yàn)橥褂蚍Q這種區(qū)域?yàn)橥褂? ). 把二重積分化為累次積分，把二重積分化為累次積分，其上下限的定法可用如下直觀其上下限的定法可用如下直觀方法確定：方法確定：2021/6/168且與邊界曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為且與邊界曲線交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為 y = 1(x) 和和 y = 2(x)，如果如果 2(x) 1(x)， 那么那么 1( (x) )就對就對 y 積分積分( (內(nèi)積分內(nèi)積分) )的下限的下限， 2(x) 就是對就是對 y 積分積分( (內(nèi)積分內(nèi)積分) )的上限的上限. . 類似地，先積類似地，先積 x ( (內(nèi)內(nèi)積分積分) )后積

6、后積 y ( (外積分外積分) )時(shí)時(shí)的定限方法如右圖所示的定限方法如右圖所示.2021/6/169 如果區(qū)域不屬于凸域，把如果區(qū)域不屬于凸域，把 D 分成若干個(gè)小區(qū)域，分成若干個(gè)小區(qū)域，使每個(gè)小區(qū)域都屬于凸域，那么使每個(gè)小區(qū)域都屬于凸域，那么 D 上的二重積分就上的二重積分就是這些小區(qū)域上的二重積分的和是這些小區(qū)域上的二重積分的和.2021/6/1610例例 1試將二重積分試將二重積分 Dyxf化化為為 d),( 兩種不同兩種不同次序的累次積分，次序的累次積分， 其中其中 D 是由是由 x = a, x = b, y = c, y = d( (a b, c d) ) 所圍成的矩形區(qū)域所圍成的

7、矩形區(qū)域 .解解畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域 D 如圖如圖.如果先積如果先積 y 后積后積 x，則有則有 Dbadcyyxfxyxf.d),(dd),( 如果先積如果先積 x 后積后積 y ，則可得，則可得 Ddcbaxyxfyyxf.d),(dd),( 2021/6/1611例例 2 試將試將 化為兩種不同次序的累次化為兩種不同次序的累次積分，積分， Dyxf d),( 其中其中 D 是由是由 y = x，y = 2 - - x 和和 x 軸所圍成的區(qū)域軸所圍成的區(qū)域.解解 首先畫出積分區(qū)域首先畫出積分區(qū)域 D 如圖，如圖， 并求出邊界曲線并求出邊界曲線的交點(diǎn)的交點(diǎn)(1, 1)、(0, 0) 及

8、及 (2, 0). Dyxf d),(則則 1d),(Dyxf - - 2120,d),(dxyyxfx 2d),(Dyxf 100d),( dxyyxfx2021/6/1612如果先積如果先積 x 后積后積 y ， 則為則為.d),(dd),(102 - - Dyyxyxfyyxf 2021/6/1613 其中其中 D 是拋物線是拋物線 y2 = x 與直線與直線 y = x - - 2 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例 3計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,d Dxy 解解 畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域 D 如圖，如圖， 并求出邊界曲線的交并求出邊界曲線的交點(diǎn)點(diǎn) (1, - -1) 及及 (4, 2)，由

9、圖可見，由圖可見， 先積先積 x (內(nèi)積分內(nèi)積分) 后積后積 y ( (外積分外積分) )較為簡便較為簡便. 2021/6/1614 Dxy d - -2212ddyyxxyy.855 由定限示意圖有由定限示意圖有 - - 2122d22yyxyy= - - - 2152d) 2(21yyyy2162346234421- - - - yyyy2021/6/1615例例 4計(jì)算計(jì)算,de2 - -Dy 其中其中 D 是由直線是由直線 y = x , y = 1 與與 y 軸所圍成軸所圍成 .解解 畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域 D， 作定限示意圖，作定限示意圖， 并求出邊并求出邊界曲線的交點(diǎn)界曲線的交

10、點(diǎn) (1, 1) , (0, 0) 及及 (0, 1)， 則則x = yDOx1y(1,1)(1,1) - -Dy de2 - - - - 101022e21deyyyy).e1(211- - - - -100ded2yyxy - - 100de2yxyy2021/6/1616即即 x = 常數(shù)和常數(shù)和 y = 常數(shù)，常數(shù)，二、極坐標(biāo)系中的累次積分法二、極坐標(biāo)系中的累次積分法 在直角坐標(biāo)系中，用平行于在直角坐標(biāo)系中，用平行于 x 軸和平行于軸和平行于 y 軸的軸的兩族直線，兩族直線， 把區(qū)域把區(qū)域 D 分割成分割成許多子域許多子域. 這些子域除了靠邊界曲線的一些子域外，這些子域除了靠邊界曲線的

11、一些子域外，絕大多數(shù)都是矩形域絕大多數(shù)都是矩形域( (如圖如圖) ).( (當(dāng)分割更細(xì)時(shí)，這些不規(guī)則當(dāng)分割更細(xì)時(shí)，這些不規(guī)則子域的面積之和趨向于子域的面積之和趨向于 0. . 所所以不必考慮以不必考慮).). 于是，圖中陰于是，圖中陰影所示的小矩形影所示的小矩形 i 的面積為的面積為2021/6/1617.kjiyx 因此，因此， 在直角坐標(biāo)系中的面積元素可記為在直角坐標(biāo)系中的面積元素可記為.dddyx 而二重積分可記為而二重積分可記為.dd),(d),( DDyxyxfyxf 2021/6/1618 和和 r = 常數(shù)的兩常數(shù)的兩族曲線，族曲線，在極坐標(biāo)系中，在極坐標(biāo)系中， 我們可用我們可用

12、 = 常數(shù)常數(shù) 和另一族圓心在極和另一族圓心在極點(diǎn)的同心圓，點(diǎn)的同心圓，即一族從極點(diǎn)發(fā)出的射線即一族從極點(diǎn)發(fā)出的射線 這些子域除了靠這些子域除了靠邊界曲線的一些子域外，邊界曲線的一些子域外，把把 D 分割成許多子域，分割成許多子域，絕大多數(shù)都是扇形域絕大多數(shù)都是扇形域( (如圖如圖).).( (當(dāng)分割更細(xì)時(shí)，這些不規(guī)則子當(dāng)分割更細(xì)時(shí)，這些不規(guī)則子域的面積之和趨向域的面積之和趨向于于 0. 所以不所以不必考慮必考慮).). 于是圖中所示的子域于是圖中所示的子域的面積近似等于的面積近似等于 以以 rd 為長，為長，dr為寬的矩形面積，因此在極為寬的矩形面積，因此在極坐標(biāo)系中的面積元素可記為坐標(biāo)系中

13、的面積元素可記為,ddd rr 2021/6/1619于是二重積分的極坐標(biāo)形式為于是二重積分的極坐標(biāo)形式為 DDrrrrfyxf.dd)sin ,cos(d),( sincosryrx再通過變換再通過變換2021/6/1620 且邊界方程為且邊界方程為 r = r( ) ，如圖，如圖，實(shí)際計(jì)算中，實(shí)際計(jì)算中， 分兩種情形來考慮分兩種情形來考慮:1) ) 如果原點(diǎn)在積分域如果原點(diǎn)在積分域 D 內(nèi)內(nèi)， 則二重積分的累次積分為則二重積分的累次積分為 Drrrrf dd)sin ,cos(,dd)sin ,cos(20)(0 rrrrrf或?qū)憺榛驅(qū)憺?dd)sin ,cos(rrrrfD 20)(0.

14、d)sin ,cos(d rrrrrfr = r( )xO2021/6/1621 , 分別是對分別是對 積分積分( (外積分外積分) )的下限和上限，的下限和上限， 則從原點(diǎn)作則從原點(diǎn)作兩條射線兩條射線 = 和和 = ( )2) ) 如果坐標(biāo)原點(diǎn)不在積分域如果坐標(biāo)原點(diǎn)不在積分域 D 內(nèi)部內(nèi)部，( (如圖如圖) )夾緊域夾緊域 D . . 在在 與與 之間作任一條射線與積分域之間作任一條射線與積分域 D 的邊界交兩點(diǎn)，它們的的邊界交兩點(diǎn)，它們的極徑分別為極徑分別為 r = r1( )，r = r2( )，假定假定 r1( ) r2( )， 那 么那 么 r1( ) 與與 r2( ) 分別是對分別

15、是對 r 積分積分( (內(nèi)積分內(nèi)積分) )下限與上限，下限與上限，2021/6/1622即即 Drryf dd)sin ,cos(.d)sin ,cos(d)()(21 rrrrrrf2021/6/1623例例 5把把 Dyxf d),(化為極坐標(biāo)系中的累次積分，化為極坐標(biāo)系中的累次積分，其中其中 D 是由圓是由圓 x2 + y2 = 2Ry 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 .并把并把 D 的邊界曲線的邊界曲線 x 2 + y2 = 2Ry 化為極坐標(biāo)方程，化為極坐標(biāo)方程，作射線作射線 = 0 與與 = 夾緊域夾緊域 D .解解在極坐標(biāo)系中畫出區(qū)域在極坐標(biāo)系中畫出區(qū)域 D 如圖，如圖，即為即為r =

16、 2Rsin 與域邊界交兩點(diǎn)與域邊界交兩點(diǎn) r1 = 0，r2 = 2Rsin ，在在 0, 中任作射線中任作射線Dr = 2Rsin Ox2021/6/1624得得 Dyxf d),(.d)sin ,cos(d0sin20rrrrfR .dd)sin ,cos( rrrrfD 2021/6/1625 并把并把 D 的的邊界曲線化為極坐標(biāo)方程，邊界曲線化為極坐標(biāo)方程， 即為即為例例 6在極坐標(biāo)系中，在極坐標(biāo)系中， 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分， Dyx d)(22 D 是由是由 x2 + y2 = R12 和和 x2 + y2 = R22 (R1 R2 ) 所圍成的所圍成的環(huán)形區(qū)域在第一象限的部分環(huán)形區(qū)域在第一象限的部分. 解解在極坐標(biāo)系中畫出區(qū)域在極坐標(biāo)系中畫出區(qū)域 D ，如圖，如圖，2021/6/1626 在在 0 與與 之之間任作一射線與域間任作一射線與域 D 的邊界