第三章量子力學(xué)初步

1、第三章第三章 量子力學(xué)初步量子力學(xué)初步 1、微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 2 2 、測(cè)不準(zhǔn)原理、測(cè)不準(zhǔn)原理 3、波函數(shù)及其物理意義、波函數(shù)及其物理意義 4、薛、薛定諤波動(dòng)方程定諤波動(dòng)方程 5、 量子力學(xué)問(wèn)題的幾個(gè)簡(jiǎn)例量子力學(xué)問(wèn)題的幾個(gè)簡(jiǎn)例 6、量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述、量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述一、經(jīng)典物理學(xué)中的粒子和波一、經(jīng)典物理學(xué)中的粒子和波1、粒子和粒子之間是分離的、粒子和粒子之間是分離的。2、粒子的運(yùn)動(dòng)有確定的軌道。、粒子的運(yùn)動(dòng)有確定的軌道。3、定域性，占據(jù)一定的空間，有確定的質(zhì)量、定域性，占據(jù)一定的空間，有確定的質(zhì)量和動(dòng)量。和動(dòng)量。粒子的特性：粒子的特性： 廣延性，周期性廣延性

2、，周期性, ,迭加性，能產(chǎn)生干涉、衍射、迭加性，能產(chǎn)生干涉、衍射、偏振等現(xiàn)象。偏振等現(xiàn)象。波的特性：波的特性：3.1 物質(zhì)的波粒二象性物質(zhì)的波粒二象性 在經(jīng)典物理學(xué)中波和粒子是完全不同的在經(jīng)典物理學(xué)中波和粒子是完全不同的兩個(gè)概念。兩個(gè)概念。 是自然界中僅有的兩種能量傳遞的方式。是自然界中僅有的兩種能量傳遞的方式。 是波就不能是粒子，是粒子就不能是波。是波就不能是粒子，是粒子就不能是波。是就是是，否就是否，無(wú)法用波和粒子是就是是，否就是否，無(wú)法用波和粒子描述同一事物。描述同一事物。一、經(jīng)典物理學(xué)中的粒子和波一、經(jīng)典物理學(xué)中的粒子和波光的波動(dòng)性光的波動(dòng)性: 光是一種電磁波已被光是一種電磁波已被我們

3、充分認(rèn)識(shí)，并被我們充分認(rèn)識(shí)，并被干涉、衍射、偏振等干涉、衍射、偏振等實(shí)驗(yàn)和麥克斯韋理論實(shí)驗(yàn)和麥克斯韋理論完全證明完全證明。二、光的波粒二象性二、光的波粒二象性光的粒子性光的粒子性： 光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)等證明光的粒子性等證明光的粒子性。 光量子：光量子：光是粒子性和波動(dòng)性的矛盾統(tǒng)一體。光是粒子性和波動(dòng)性的矛盾統(tǒng)一體。 -光的波粒二象性 ,EP vhE hp光在傳播時(shí)顯示波動(dòng)性。光在傳播時(shí)顯示波動(dòng)性。光在與物質(zhì)作用，轉(zhuǎn)移光在與物質(zhì)作用，轉(zhuǎn)移能量時(shí)顯示粒子性。能量時(shí)顯示粒子性。1、德布羅意假說(shuō)、德布羅意假說(shuō) (L.De Broglie) “整個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在光學(xué)上比起波動(dòng)的研究方

4、法，是過(guò)于忽略了粒子的研究方法，在實(shí)物理論上，是否發(fā)生了相反的錯(cuò)誤呢？是不是我們把粒子的圖象想的太多，而過(guò)分忽略了波的圖象？” “所有的物質(zhì)粒子（mo不等于零）都具有波粒二象性，任何物質(zhì)粒子都伴隨著波，而且不可能將物體的運(yùn)動(dòng)和波的傳播分開。三、物質(zhì)的二象性三、物質(zhì)的二象性2 2、德布羅意關(guān)系式、德布羅意關(guān)系式 微觀粒子和光子一樣，在一定的條件下顯示出波 動(dòng)性hE hp -德布羅意關(guān)系式。與實(shí)物粒子相應(yīng)的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波，稱為德布羅意波長(zhǎng)。能量為能量為E，動(dòng)量為，動(dòng)量為P的粒子，伴隨的波的波長(zhǎng)和頻率為：的粒子，伴隨的波的波長(zhǎng)和頻率為：適用條件：適用條件：(1)(1)電子，電子，(2)(2

5、)非相對(duì)論非相對(duì)論(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmhmhph粒子的德布羅意波長(zhǎng)：1當(dāng) 時(shí)，2當(dāng) 時(shí)， omm經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速的電子： cc3、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了電子波的波長(zhǎng)，證實(shí)了德布羅意假設(shè)。1實(shí)驗(yàn)裝置 2實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果當(dāng)不變時(shí)，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時(shí)，I亦變；而且隨了U周期性的變化3實(shí)驗(yàn)解釋 晶體結(jié)構(gòu)：當(dāng) 時(shí)加強(qiáng)-布拉格公式。 ndsin22)12(sin2nnd波程差：實(shí)驗(yàn)證明了電子確實(shí)具有波動(dòng)性，也證明了德布羅意公式的正確性。并進(jìn)

6、一步證明：一切實(shí)物粒子(電子、中子、質(zhì)子等都具有波動(dòng)性且 )(225. 1VUnm2 , 1n 可見，當(dāng)、滿足此式時(shí)，測(cè)得電流的極大值。 對(duì)于通過(guò)電壓U加速的電子： 當(dāng)不變時(shí),改變U可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。2 sindn121.2252 sinnmUndPh28個(gè)電子1000個(gè)電子1萬(wàn)個(gè)電子幾百萬(wàn)個(gè)電子實(shí)驗(yàn)證明，質(zhì)子、中子、中性原子等一切微觀粒子都具有波動(dòng)性，它們本身又是粒子，因而具有波粒二象性。且波長(zhǎng)都是： Ph進(jìn)一步證實(shí)了德布羅意假設(shè)的真實(shí)性。同時(shí)也說(shuō)明波動(dòng)性是微觀粒子的普通性質(zhì)。 體顯示不出波動(dòng)性，并不是德布羅意關(guān)系式不適用。 因 h很小， 當(dāng) mVP 很大時(shí) 0。宏觀物注意：

7、光子、電子、中子等微觀粒子，它們本身既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，我們不能要求它們具有經(jīng)典粒子的全部特征，也不能要求它們具有經(jīng)典波的全部特征。只能說(shuō)它們的某些性質(zhì)類似于經(jīng)典的粒子，而在另外一些方面其行為類似于經(jīng)典的波。這就是通常所說(shuō)的微觀粒子具有波粒兩象性的正確含義。粒子性粒子性：主要是指顆粒性、取值的不連續(xù)性。如測(cè)到一個(gè)電子，兩個(gè)電子，或測(cè)到一個(gè)電子的質(zhì)量、能量電量、動(dòng)量等。（沒(méi)有0.35個(gè)之說(shuō)）波動(dòng)性波動(dòng)性：主要是指電子束，質(zhì)子束等射向晶體、單縫雙縫時(shí)發(fā)生干涉、衍射等現(xiàn)象（理解參考波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋）3.2 測(cè)不準(zhǔn)原理測(cè)不準(zhǔn)原理一、電子的單縫衍射(1961年，約恩遜成功的做出)dx sin

8、ppxppxsinxdsinxppxhppxxhpxx一、電子的單縫衍射(1961年，約恩遜成功的做出)sind電子以速度沿著y軸射向A屏，其波長(zhǎng)為 ，經(jīng)過(guò)狹縫時(shí)發(fā)生衍射，到達(dá)C屏。第一級(jí)暗紋的位置：hpx方向上，粒子坐標(biāo)的不確定度為又粒子動(dòng)量的不確定度為 1927年，海森堡首先推導(dǎo)出不確定關(guān)系：2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE二、不確定關(guān)系二、不確定關(guān)系狹縫對(duì)電子束起了兩種作用：一是將它的坐標(biāo)限制在縫寬d的范圍內(nèi)，一是使電子在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量發(fā)生了變化。這兩種作用是相伴出現(xiàn)的，不可能既限制了電子的坐標(biāo)，又能避免動(dòng)量發(fā)生變化。如果縫愈窄，即坐標(biāo)愈確定，則在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量就愈不確定

9、。因此，微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有確定的值。xpx 恒大于等于 2xpx,不可能同時(shí)作到很小。如果 0 xxp從單縫衍射看：如果縫愈窄，表示電子的坐標(biāo)位置愈確定，則在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量就愈不確定，中央亮紋的角寬越大。因此微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值 則 注意： 1、事實(shí)上，不確定關(guān)系揭示的是一條重要的物理規(guī)律，粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動(dòng)量，不能精確的測(cè)定它們是客觀規(guī)律的必然結(jié)果，不是技術(shù)問(wèn)題 。2、在不確定關(guān)系中 h不確定關(guān)系在微觀世界里是一個(gè)重要規(guī)律，而在宏觀世界不能得到直接體現(xiàn)。 是一個(gè)小量，因此三、討論三、討論1不確定關(guān)系只適用于微觀粒子不確定關(guān)系只適用于

10、微觀粒子例1： 設(shè)電子與 的子彈均沿x方向運(yùn)動(dòng)， ， 精確度為 ，求測(cè)定x 坐標(biāo)所能達(dá)到的最大準(zhǔn)確度。kgm01. 0smx/500%01. 0smsmx/105/10500242/xpx/2/2xxxpm 電子：子彈：mmx3 . 2mx31101 . 2由此可見對(duì)宏觀物體坐標(biāo)的不確定性完全可以忽略不計(jì)，它無(wú)法被目前任何的精確實(shí)驗(yàn)所察覺(jué)。 2/tE證明：222021ccVmmcE4222021ccVmEVcVmP2201222220221ccVVmcp420222cmcpE2142022)(cmcpEdppccmcpdE221420222)(21VdpdpmpmcdppcEdppc222pV

11、E2pqtE實(shí)際上處于激發(fā)態(tài)的原子其能級(jí)并不是嚴(yán)格單值的，而是有一定的寬度 E對(duì)于大量的處于該激發(fā)態(tài)的原子而言，有的能量值略高一些，有的略低一些，并非嚴(yán)格相同，而有一定的不確定范圍 E在該能級(jí)上的電子有的停留的時(shí)間長(zhǎng)，有的停留的時(shí)間短2E平均壽命 表征了這種不確定程度 由此可知： 越長(zhǎng) 越小，能級(jí)越穩(wěn)定 E基態(tài)的能級(jí)是單值的。其它能級(jí)有一定寬度 例題1：電子的動(dòng)能分別為100eV，1MeV，1GeV計(jì)算其德布羅意波長(zhǎng) 解：根據(jù)相對(duì)論原理，粒子的動(dòng)量、能量和質(zhì)量m間的關(guān)系滿足下式：222021ccVmmcEVcVmmVP22014222021ccVmE222220221ccVVmcp420222

12、cmcpE222022pcmcmkEcmcm202又222222)(1)(mccmccm2202222)()(1cmmccp2022202202202221)()(1)()(1cmEEccmEcmccmmccpkKk420222cmcpE其中布羅意關(guān)系： 2022cmEEhcphkk20cmEk02mEhphk當(dāng)時(shí)20cmEkkEhcph當(dāng)時(shí)eVMeVcm5201011.5511.0而本題中： 20100cmeVEkokAmEhph23. 120MeVEk1okkAcmEEhcph3202107 . 82eVMeVcm5201011.5511.0201cmGeVEkokAEhcph51023.

13、 1eVGeV9101例題2：帶電粒子在威爾遜云室中的徑跡是一串小霧滴，霧滴的限度約為1微米，當(dāng)觀察能量為1000電子伏的電子徑跡時(shí)，其動(dòng)量與經(jīng)典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不小于多少？解：JeVEk16106 . 11000NsEmpke24107 . 12mx6102pxNsxp29634103 . 51014. 341063. 6252429101 . 3107 . 1103 . 5pp例題3：一個(gè)原子激發(fā)態(tài)的發(fā)射波長(zhǎng)為600nm，測(cè)得波長(zhǎng)的精度為710，計(jì)算原子態(tài)的壽命。 解：光子的能量： chE 對(duì)上式兩邊微分可得能量的變化量的大小 hcchE2由不確定關(guān)系 2EshcE910222E（1）微

14、觀粒子的波粒兩象性的數(shù)學(xué)表示（2）粒子性、波動(dòng)性如何理解（3）位置的不確定程度與動(dòng)量的不確定程度之間在客觀上存在著的制約關(guān)系（4）在能量和時(shí)間之間也存在的不確定關(guān)系由于測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的客觀存在，微觀粒子的行為不受力學(xué)規(guī)律支配，而是服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，我們不能用位置、動(dòng)量、軌跡的概念來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而是用波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（用波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是量子力學(xué)的基本原理） 在量子力學(xué)中，引入波函數(shù)是用來(lái)描述量子系統(tǒng)狀態(tài)的，所以波函數(shù)是態(tài)函數(shù)。3.3 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義一、波函數(shù)一、波函數(shù)設(shè)一平面波沿速度 的方向傳播，該方向的單位矢量為 ，即 ， 時(shí)刻，波面A

15、B上O點(diǎn)的振動(dòng)：vnvvnt對(duì)于自由粒子，動(dòng)量恒定，則其波長(zhǎng) 恒定Ph即自由粒子波是單色波。在光學(xué)中我們知道，單色波可以用一個(gè)平面簡(jiǎn)諧波來(lái)描述： ABOrPAvtcos0時(shí)間后，波面?zhèn)鞯紸B，其上任一點(diǎn)P的振動(dòng)和 時(shí)間前AB上任一點(diǎn)O的振動(dòng)相同： )(cos0t)cos(cos0Vrt)cos(2cos0VTrt)(2cos0nrt)(2cos0rnt)(2cos0rKtABOrPAv根據(jù)歐拉公式： xixeixsincos則波函數(shù)： )(2cos0rKt)(20rKtie)(20trKiehE Ph代入上式可得能量為 現(xiàn)將 E動(dòng)量為 p的自由粒子的波函數(shù)：)(0)(0EtzpypxpiEtp

16、rizyxee二. 波函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明 讓我們?cè)倩氐綄?duì)光的認(rèn)識(shí)上，人們用光子概念出讓我們?cè)倩氐綄?duì)光的認(rèn)識(shí)上，人們用光子概念出奇地解釋了光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)了光的奇地解釋了光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)了光的波粒二象性，即在上述的物理過(guò)程中光的能量和動(dòng)波粒二象性，即在上述的物理過(guò)程中光的能量和動(dòng)量都是以一份一份進(jìn)行交換的。那么用光子觀點(diǎn)將量都是以一份一份進(jìn)行交換的。那么用光子觀點(diǎn)將如何解釋光波的波動(dòng)性，如干涉和衍射現(xiàn)象呢如何解釋光波的波動(dòng)性，如干涉和衍射現(xiàn)象呢? ?為此為此人們減弱光強(qiáng)觀察干涉和衍射這些代表波動(dòng)性的現(xiàn)人們減弱光強(qiáng)觀察干涉和衍射這些代表波動(dòng)性的現(xiàn)象。現(xiàn)代技術(shù)允許將光強(qiáng)減

17、弱到每次只接收單個(gè)光象。現(xiàn)代技術(shù)允許將光強(qiáng)減弱到每次只接收單個(gè)光子的精度，稱單光子干涉、衍射實(shí)驗(yàn)。子的精度，稱單光子干涉、衍射實(shí)驗(yàn)。 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在每次實(shí)驗(yàn)中每個(gè)光子的去向完全是結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在每次實(shí)驗(yàn)中每個(gè)光子的去向完全是隨機(jī)的，然而當(dāng)把長(zhǎng)時(shí)間記錄的大量的單光子圖片隨機(jī)的，然而當(dāng)把長(zhǎng)時(shí)間記錄的大量的單光子圖片拼集在一塊時(shí)，發(fā)現(xiàn)這種集合圖樣正是用一束強(qiáng)光拼集在一塊時(shí)，發(fā)現(xiàn)這種集合圖樣正是用一束強(qiáng)光( (大量光子大量光子) )在瞬間顯示的干涉圖樣。在瞬間顯示的干涉圖樣。 為了理解電子干涉圖樣是怎么形成的，人們也用單個(gè)電子為了理解電子干涉圖樣是怎么形成的，人們也用單個(gè)電子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，右圖是六張電子雙縫干涉

18、的比較圖，圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，右圖是六張電子雙縫干涉的比較圖，圖(a)(a)是僅一是僅一個(gè)電子通過(guò)雙縫在屏上出現(xiàn)的圖樣，圖（個(gè)電子通過(guò)雙縫在屏上出現(xiàn)的圖樣，圖（b b）和（）和（c c）分別是幾）分別是幾個(gè)電子通過(guò)雙縫后的干涉圖樣，個(gè)電子通過(guò)雙縫后的干涉圖樣，圖（圖（d d）和（）和（c c）和（）和（f f）則是更）則是更多的電子通過(guò)雙縫后形成的干多的電子通過(guò)雙縫后形成的干涉圖樣。涉圖樣。這些干涉圖說(shuō)明這樣這些干涉圖說(shuō)明這樣一個(gè)事實(shí)：就單個(gè)電子而言，一個(gè)事實(shí)：就單個(gè)電子而言，出現(xiàn)何處是隨機(jī)的，但大量電出現(xiàn)何處是隨機(jī)的，但大量電子通過(guò)雙縫后總體表現(xiàn)出一種子通過(guò)雙縫后總體表現(xiàn)出一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，顯示出干涉圖

19、樣。統(tǒng)計(jì)規(guī)律，顯示出干涉圖樣。量子力學(xué)正是描述這種統(tǒng)計(jì)行量子力學(xué)正是描述這種統(tǒng)計(jì)行為的。為的。 由一個(gè)一個(gè)光子在多次實(shí)驗(yàn)所表現(xiàn)出的總累積由一個(gè)一個(gè)光子在多次實(shí)驗(yàn)所表現(xiàn)出的總累積效果與大量光子在一次實(shí)驗(yàn)所表現(xiàn)出的整體效果效果與大量光子在一次實(shí)驗(yàn)所表現(xiàn)出的整體效果完全一模一樣，深刻地揭示出：完全一模一樣，深刻地揭示出： 光的干涉，衍射并不是不同光子間的相互作用光的干涉，衍射并不是不同光子間的相互作用的結(jié)果，而是大量偶然事件總體表現(xiàn)出來(lái)的一種的結(jié)果，而是大量偶然事件總體表現(xiàn)出來(lái)的一種統(tǒng)計(jì)行為。統(tǒng)計(jì)行為。將對(duì)光波的這種認(rèn)識(shí)移植將對(duì)光波的這種認(rèn)識(shí)移植到德布羅意物質(zhì)波上。到德布羅意物質(zhì)波上。人們用同樣的思

20、想進(jìn)行電人們用同樣的思想進(jìn)行電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)大量電子通過(guò)雙縫后，當(dāng)大量電子通過(guò)雙縫后，在屏上的電子強(qiáng)度分布圖在屏上的電子強(qiáng)度分布圖(c)(c)與光束的兩縫干涉圖與光束的兩縫干涉圖樣（樣（ ）是相同的，與子）是相同的，與子彈穿過(guò)雙孔的分布圖（彈穿過(guò)雙孔的分布圖（b b）完全不同完全不同。 三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋電子衍射的強(qiáng)度分布圖 衍涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)衍涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特了微觀粒子的共同特性，而且它并不是由性，而且它并不是由微觀粒子相互作用產(chǎn)微觀粒子相互作用產(chǎn)生的而是個(gè)別微觀粒生的而是個(gè)別微觀粒子屬性的集體貢獻(xiàn)子屬性的集體貢獻(xiàn)21

21、1、用粒子的觀點(diǎn)：極大值處意味著到達(dá)的、用粒子的觀點(diǎn)：極大值處意味著到達(dá)的電子多，極小值處意味著到達(dá)的電子少。電子多，極小值處意味著到達(dá)的電子少。 2、從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)看：極大值處意味著電子到達(dá)的幾率大，極小值處意味著電子到達(dá)的幾率小。 3 3、從波的觀點(diǎn)來(lái)看，極大值處表示波的強(qiáng)度、從波的觀點(diǎn)來(lái)看，極大值處表示波的強(qiáng)度 大，極大，極小值處表示波的強(qiáng)度小值處表示波的強(qiáng)度 小。小。22強(qiáng)度 大的地方，恰好是到達(dá)的電子多的地方，也就是電子出現(xiàn)幾率大的地方。 2強(qiáng)度 小的地方，恰好是到達(dá)的電子少的地方，也就是電子出現(xiàn)幾率小的地方 2玻恩的觀點(diǎn)就能將粒子和波的概念統(tǒng)一起來(lái)：玻恩的觀點(diǎn)就能將粒子和波的概念統(tǒng)一

22、起來(lái)：波函數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。波函數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。確切的說(shuō)：某處德布羅意波的強(qiáng)度 的大小反映了該處電子出現(xiàn)的幾率的大小?；蛘哒f(shuō)電子在某處出現(xiàn)的幾率與德布羅意波的強(qiáng)度 成正比。這就是波恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。 22并且規(guī)定： 2),(trt 表示在 t時(shí)刻 處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)一個(gè)電子的幾率。r2),(tr稱幾率密度 表示t時(shí)刻、（x、y、z）處、單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。 2),(tzyx 即波的強(qiáng)度表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度。如果 大，則電子出現(xiàn)幾率大，因而電子出現(xiàn)的數(shù)也多，此處為衍射極大值處；反之，如果 小，則電子出現(xiàn)幾率小，電子出現(xiàn)的數(shù)目也少，此處為衍射極小值處。

23、2),(tzyx2),(tzyx2),(tzyxt時(shí)刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的體元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率：dxdydzdV dVtzyxtzyxdW2),(),(*),(2tzyxW 表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度。1.波恩的波函數(shù)幾率解釋是量子力學(xué)基本原理之一2.經(jīng)典波振幅是可測(cè)量，而波函數(shù)是不可測(cè)量，可測(cè)是幾率討討 論論 2歸一化條件由于粒子總在空間某處出現(xiàn)，故在整個(gè)空 間出現(xiàn)的總幾率應(yīng)當(dāng)為1：1),(2dVtzyx四、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化四、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化1波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。 單值：在任何一點(diǎn)，幾率只能有一個(gè)值。 有限：幾率不能無(wú)限大。

24、 連續(xù)：幾率一般不發(fā)生突變。求（1）歸一化常數(shù) （2）粒子的x坐標(biāo)從0到a的幾率 （3）粒子的y坐標(biāo)從-b到+b，Z坐標(biāo)從-C到+C的幾率czbyaxN222exp例題1：已知粒子波函數(shù)解1：因粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的幾率是1，故波函數(shù)的歸一化條件：12dVVdzedzedyedyedxedxeNdzedyedxeNdVczczbybyaxaxaZbyaxV000000222222222cdzedzebdyedyeadxedxeczczbybyaxax2220000001822abcNdVVabcN81（2）粒子的x坐標(biāo)從0到a的幾率edxecbabcdzedyedxeNdxdydzaaxaZby

25、aax11212281022222022221110000222222221)1 (2)1 (241281eecebbcdzedzedyedyeaabcdzedyedxeNdxdydzcczcczbaybbyccaZbbbyax3）粒子的y坐標(biāo)從-b到+b，Z坐標(biāo)從-C到+C的幾率例2：用波函數(shù)解釋玻爾的軌道量子化條件解：一電子在玻爾軌道中運(yùn)動(dòng)與這個(gè)電子的德布羅意波相聯(lián)系。對(duì)一個(gè)可能的軌道上的任意一點(diǎn)，波函數(shù)必須是單值的，這就要求該點(diǎn)波函數(shù)的值是固定的值，所以也必須要求軌道的周長(zhǎng)等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍。（畫圖）nmrVmVhphnr2即又 以上討論了自由粒子的波函數(shù)，對(duì)于處在其它條件下的微觀粒子，描

26、述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)只是具體形式不同而已。 波函數(shù)的具體形式可用量子力學(xué)中的另一基本假設(shè)薛定諤方程來(lái)求解。 薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它反映的是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是波動(dòng)性和粒子性統(tǒng)一的產(chǎn)物。薛定諤方程的建立：薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，不能從更基本的假設(shè)推導(dǎo)出，只能是建立。因?yàn)椋骸巴茖?dǎo)”必須有更基本的原理，從它出發(fā)進(jìn)行邏輯的推導(dǎo)，而這種原理根本不存在。正如牛頓第二定律完全是客觀規(guī)律。“建立”則是從從一些實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，合理假設(shè)然后推廣，但推廣后是否成立，取決于實(shí)踐的檢驗(yàn)。到目前為止，薛定諤方程經(jīng)受住了一切檢驗(yàn)。 思路如下：（1）我們由自由粒子的波函數(shù)反推找到一個(gè)在非相對(duì)論情況下的自由

27、粒子滿足的微分方程（薛定諤方程）（2）假設(shè)有勢(shì)場(chǎng)時(shí)薛定諤方程仍然成立，并把它推廣到一般情況 下面建立自由粒子滿足的微分方程（薛定諤方程）對(duì)x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：)()(zyxzpypxpEtiprEtiAeAeEitEtixpix2222xxpxpixypiy2222yypypiyzpiz2222zzpxpiz3.4 薛定諤波動(dòng)方程薛定諤波動(dòng)方程一、薛定諤方程的建立一、薛定諤方程的建立1自由粒子的薛定諤方程自由粒子的薛定諤方程對(duì)t求一次偏導(dǎo)：自由粒子的薛定諤方程。 )(12222222222zyxpppzyx2222222zyx222pmpmE22122mpE22222imt三者相加：拉普

28、拉斯算符：自由粒子: m2兩邊同時(shí)除以 得： 22222mmP2一般粒子的薛定諤方程一般粒子的薛定諤方程,Ur t處于勢(shì)場(chǎng) 中的粒子的波函數(shù)所滿足的微分方程處于勢(shì)場(chǎng) ,Ur t中的粒子的總能量：),(22trPKUmpEEE兩邊同時(shí)乘以 EUmptr),(22222PEUmptr),(22tiE tiUmtr),(222現(xiàn)做如下變換： 將 代入上式可得一般情況的薛定諤方程： 如果給出勢(shì)函數(shù) 及粒子運(yùn)動(dòng)的初始條件 通過(guò)解薛定諤方程方程原則上可得粒子任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（波函數(shù)） ,Ur t)0,(r應(yīng)該說(shuō)它是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程或基本假設(shè) )(rU3、定態(tài)薛定諤方程、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時(shí)

29、間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。設(shè)作用在粒子上的力場(chǎng)不隨時(shí)間改變，即勢(shì)能 中不顯含時(shí)間t，將其代入方程：波函數(shù)分離變量： tiUmr)(222并將此式代入一般情況的薛定諤方程式中：則三相分別如下： )()(),(trtrfu)(222222222)(22tfzuyuxumm)()(trfuUUtfuitit)(tfuifuUfzuyuxumttrt)()()()(2222222)(2tfuifuUfumttrt)()()()(222薛定諤方程： tfuifuUfumttrt)()()()(222兩邊同時(shí)除以 )()(trfutffiuUumuttr)()()(22)2(1左邊只是位置坐標(biāo) zyx,即 r

30、的函數(shù)， 右邊只是時(shí)間 t的函數(shù)。 是兩個(gè)獨(dú)立的變量因此要使上面的等式成立， rt兩邊只能等于一個(gè)與 rt都無(wú)關(guān)的常數(shù)。 設(shè)這個(gè)常數(shù)為 E則有： Etffitt)()(EuUumur)2(1)(22EuuUumr)(222此方程不顯含時(shí)間因子，稱定態(tài)薛定諤方程。 下面討論常數(shù) E的含義 由 Etffitt)()(dtEifdf兩邊積分： dtEifdfCEtiflnEtiCEtiekef波函數(shù) Etirtrtreufu)()()(),(現(xiàn)將上 式與自由粒子的波函數(shù)進(jìn)行比較如下 ：Etirtreu)(),()(0Etprie發(fā)現(xiàn)常數(shù) E就是粒子的能量。 定態(tài)的態(tài)薛定諤方程 EuuUumr)(22

31、2中的常數(shù) E就是粒子的能量 波函數(shù) Etirtreu)(),(稱定態(tài)波函數(shù) Etirtreu)(),(所表示的波函數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)函數(shù)與一個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積，整個(gè)函數(shù)隨時(shí)間的變化由因子 Etie決定。 粒子在空間分布的幾率密度： 2)()()()()(2),(rrrEtirEtirtruuueueu 由此可以看出，粒子在勢(shì)函數(shù)不隨時(shí)間變化的力場(chǎng)中的幾率分布也是不隨時(shí)間變化的。 幾率分布不隨時(shí)間變化，即微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不隨時(shí)間變化，也就是微觀粒子的能量不隨時(shí)間變化。這樣的狀態(tài)稱為定態(tài)。 因幾率密度 2)()()(2),(rrrtruuu不隨時(shí)間變化，只與 )(ru有關(guān)， 我們只需求解出定態(tài)的態(tài)薛定

32、諤方程中的 )(ru便知粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 所以在勢(shì)函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)的勢(shì)場(chǎng)微觀粒子的波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程。 通過(guò)求解定態(tài)薛定諤方程，不僅可以得到滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的波函數(shù)，還可以得到體系各定態(tài)的能量 E的各種可能值。而且每一個(gè) )(ru對(duì)應(yīng)一個(gè)能量 E值。 )(*)()(*)(),(*),(rurueruerutrtrEtiEti1定態(tài)中E不隨時(shí)間變化，粒子有確定的能量2定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時(shí)間變化定態(tài)中：3. 定態(tài)薛定諤方程 EuuUumr)(222EuuH4、本征方程、本征函數(shù)、和本征值的概念： 在力學(xué)中動(dòng)能和勢(shì)能之和 )(22rUmP稱哈密頓函數(shù) mP22的算符是 222m)(rU的算符是它

33、自己 )(222rUmH因此 把 稱哈密頓算符定態(tài)薛定諤方程 EuuUumr)(222也可以寫成： EuuH如果一個(gè)算符 作用到一個(gè)函數(shù) 上 結(jié)果等于一個(gè)常數(shù) 乘以這個(gè)函數(shù) 稱為屬 即 則 稱算符 的本征值。 的本征函數(shù) 方程稱為算符 的本征方程 對(duì)于定態(tài)薛定諤方程 EuuH而言： EuuH是哈密頓算符的本征方程 E是哈密頓算符的本征值 是從屬于 Eu的本征函數(shù) 5、算符 ),(tr 波函數(shù) 描述的是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但它不能給出與狀態(tài)有關(guān)的各力學(xué)量的數(shù)值，這與經(jīng)典力學(xué)中狀態(tài)和力學(xué)量可以同時(shí)確定有明顯區(qū)別，為此需要找到一種方式把波函數(shù) 與實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的各力學(xué)量的數(shù)值聯(lián)系起來(lái)，為此引入代表力學(xué)量

34、的算符： 由前面的學(xué)習(xí)知道：每一個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)一個(gè)算符：（力學(xué)量可以用算符代替） ),(tr動(dòng)量 x分量算符： xiPx動(dòng)量算符： iP動(dòng)量的平方算符： 222P能量算符： tiE 哈密頓算符： )(222rUmH動(dòng)能算符： 222mEK勢(shì)能算符： )()(rrUU位置算符： rr ),(trU3具體的勢(shì)場(chǎng) 決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給出勢(shì)能函數(shù) 的具體形式，只要我們知道了微觀粒),(trU三、薛定諤方程的討論三、薛定諤方程的討論ttr),(),(trU),(tr1薛定諤方程描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 在勢(shì)場(chǎng) 中隨時(shí)間變化 的規(guī)律。2薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來(lái)

35、。它的正確性只有通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致來(lái)得到證明。 子初始時(shí)刻的狀態(tài) 。原則上說(shuō)，只要通過(guò)薛原則上說(shuō)，只要通過(guò)薛定諤方程，就可以求出任意時(shí)刻的狀態(tài)定諤方程，就可以求出任意時(shí)刻的狀態(tài) 。),(tr),(00tr5在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了 ，所 ),(22trUmpE2),(tr),(tr),( tr4薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復(fù)數(shù)形式。 表示概率波， 是表示粒子在時(shí)刻t、在空間某處出現(xiàn)的概率。因而薛定諤方程所描述的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。以是非相對(duì)論的結(jié)果；同時(shí)方程不適合一切 的粒子，這是方程的局限性。0例題1有一粒子處在勢(shì)能為 的力場(chǎng)中，并沿X軸作一維運(yùn)動(dòng)，粒子的勢(shì)

36、能為：U2,2220)(axaxaxaUx求：粒子的能量和波函數(shù) 222dxd解：由于粒子做一維運(yùn)動(dòng)，所以有 )(xU 由于勢(shì)能中不顯含時(shí)間，EuUudxudm2222uuEUmdxud2222)(2故用定態(tài)薛定諤方程求解。0222udxud二階常系數(shù)齊次線性方程一般形式：0 qyypy其特征方程：02qprr242qppr（1）如果有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則：xrxrececy212121,rr（2）如果有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 則：21rr xrexccy1)(21（3）如果有一對(duì)共軛復(fù)根 則：ir12)sincos(21xcxceyx0222udxud其特征方程：022rr方程的解：xxeBeA

37、u112ax xeB101B當(dāng)xeAu11當(dāng)2ax xeA101A013 xeBu波函數(shù)必須有限則：則又011xeAu則22axa0UEudxudm2222(2) ， 方程為umEdxud222222mEK0222uKdxud 令 特征方程KxDKxCxusincos)(式中C、D為兩常數(shù)。 ikrKr022粒子不能跑到阱外去2確定 常數(shù)C、D及能量E的值22022sincos)(axaxaxaKxDKxCxu根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，函數(shù)在 處連續(xù)3212uuuu2ax即在此處有0)2(sin)2(cos0)2(sin)2(cos22aKDaKCuaKDaKCu將上兩式相加得：.7 , 5 ,

38、 3 , 12202cos2mmKakaC.7 , 5 , 3 , 1mamK將上兩式相減得：.4 , 3 , 2 ,01202sin2mmKakaD.6 , 4 , 2 , 02 mamamK將上兩式K合并得：.4 , 3 , 2 , 1 , 0nnaKnamEmEK2222由.4 , 3 , 2 , 122222nmanE能量是量子化的，n=0時(shí)，E=0，則動(dòng)能為零，不符合一維運(yùn)動(dòng)的條件則n從1開始取值。本征值將K值代入得波函數(shù)：.3 , 2 , 1sincossincos2nxanDxanCKxDKxCu由邊界條件：022uax處0.5 , 3 , 1) 1(0)2(sin)2(cos2

39、DnDCaanDaanCu0.6 , 4 , 20) 1()2(sin)2(cos2CnDCaanDaanCu由以上討論可以看出：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)D=0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)C=0則波函數(shù)：.6 , 4 , 2sin.5 , 3 , 1cos22nxanDunxanCu偶宇稱奇宇稱由歸一化條件：aCdxxanCdxuaaaa21cos122222222同理：aD2cxxxdx2sin4121sin2cxxxdx2sin4121cos2附公式：.6 , 4 , 2sin2.5 , 3 , 1cos222nxanaunxanau波函數(shù)：例2：一個(gè)粒子在如圖所示的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能為 0)(xUaxxax,

40、00 求：在一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)如何？能量如何？ 222dxd解：由于粒子做一維運(yùn)動(dòng)，所以有 )()()()(2222xEuxuxUdxxudm一維定態(tài)薛定諤方程為EuUudxudm2222uuEUmdxud2222)(20222udxud其特征方程：022rr方程的解：xxeBeAu110 x xeB101B當(dāng)xeAu11當(dāng)ax xeA101A013 xeBu波函數(shù)必須有限則：則又011xeAu則二階常系數(shù)齊次線性方程axx , 0U0)(xuaxx , 0(1) 所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，ax 00UEudxudm2222(2) 時(shí)， ， 方程為umEdxud2222

41、22mEK 0222uKdxud 令 特征方程KxBKxAxucossin)(式中A、B為兩常數(shù)。 ikrKr0222常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)，0 x00cos)0( Bu0B ax 0sin)(KaAau0A0sinKanKa 3 , 2 , 1n0n，( ？)xanAxusin)(0n0)(xu當(dāng)時(shí)，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。axxaxKxBKxAxu000cossin)(波函數(shù)的歸一化： 0sin2)(xanaxuaxxax, 00 aA2122aAdxxanAdxua0222sin 22mEanKmanE2222 能量是量子化的 3

42、討論討論(1)能量不能任意取值，束縛在一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子的能量是量子的。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。(2)波函數(shù)的物理意義處在不同能級(jí)的粒子，在勢(shì)阱中的幾率分布不同。(3)實(shí)際意義：金屬內(nèi)的自由電子，可看成在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子。 (4)如果把坐標(biāo)原點(diǎn)0取在勢(shì)阱中心，那么無(wú)限深勢(shì)阱具有反演對(duì)稱性，即U(x)=U(-x) ，那么波函數(shù)將分成兩類。在量子力學(xué)中特別用宇稱一詞來(lái)表征波函數(shù)的這種反演對(duì)稱性。奇函數(shù)對(duì)應(yīng)的態(tài)稱奇宇稱態(tài)，偶函數(shù)對(duì)應(yīng)的態(tài)稱偶宇稱態(tài)，分別用宇稱量子數(shù)-1和+1標(biāo)記。波函數(shù)的宇稱性是勢(shì)函數(shù)反演對(duì)稱性的必然結(jié)果 。)()(),()(xxxx 一類

43、經(jīng)x-x變換后改變符號(hào)，稱奇函數(shù)；另一類經(jīng)x-x變換后，不改變符號(hào)，稱偶函數(shù)，即202, 6 , 4 , 2,sin22, 5 , 3 , 1,cos2dxdxndxnddxndxndn例題3 若粒子在0,d范圍、無(wú)限深勢(shì)阱作一維運(yùn)動(dòng)，其基態(tài)由波函數(shù) 描述。求(1)歸一化常數(shù)A;(2)概率密度,及最大的幾率密度;(3)0,d/2之間粒 ( )sin(0)xxAxdd(4)子出現(xiàn)的概率； 求基態(tài)能。解:(1)由歸一化條件所以12)/2cos1 (21sin202022dAdxdxAdxdxAdddA2ddxdxdxddxddxddxdxx2, 2/,/2:0/)/2cos1 (12/ )/2co

44、s1 (2sin2| )(|)()2(max22得。由概率密度2cos121cos22cos121sin221212cos1212sin2)3(20220dddxdxddxdxdPdd22222111222222182)(sin22sin22)()4(mdhmdExEdxddmdxddxdmxH基態(tài)能 例2 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿粒子受到的勢(shì)能為： 00)(1UxU22110 xxxxxxx1UE 計(jì)算粒子在三個(gè)區(qū)出現(xiàn)的幾率。粒子具有的能量為E，123 解：設(shè)粒子在I、II、III區(qū)的波函數(shù)分別為 ，它們滿足的薛定諤方程為：122122Edxd221222)(2EUdxd322322Edxd 221

45、2EK2122)(2EUK令 121212Kdxd222222Kdxd323232Kdxd 方程的解為：)sin(1111xKAxKeB222)sin(3133xKA根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)條件和歸一化條件可以確定常數(shù)，結(jié)果如圖： 1UE 可見，雖然， 粒子仍可以穿過(guò)II區(qū)進(jìn)入III區(qū)，這種貫穿勢(shì)壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。粒子從I區(qū)到III區(qū)的幾率為DEUe)(221EUxxD112 2. 隧道效應(yīng)我們考慮粒子在勢(shì)能為的方勢(shì)壘中的運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能曲線如下圖所示。axUaxxxUo 000,)( 粒子通過(guò)一維方勢(shì)壘的運(yùn)動(dòng)是一般散射問(wèn)題的基礎(chǔ)。所謂散射問(wèn)題是指一定動(dòng)量p和一定能量E的粒子經(jīng)過(guò)勢(shì)場(chǎng)，在勢(shì)場(chǎng)力作用下偏離

46、原入射方向，被散射在各個(gè)方向上。粒子被一維方勢(shì)壘的散射，只出現(xiàn)在兩個(gè)方向上透射和反射方向。一維散射問(wèn)題歸結(jié)為求粒子經(jīng)方勢(shì)壘后的透射系數(shù)|t|2和反射系數(shù)|r|2 。它們分別定義為粒子的透射幾率流密度J透與入射幾率流密度J入之比,反射幾率流密度J反與入射幾率流密度J入之比： 假設(shè)入射粒子的能量為E，被勢(shì)壘散射后能量保持不變，那么可認(rèn)為體系的狀態(tài)是定態(tài)，幾率流密度僅取決|2,于是問(wèn)題完全歸結(jié)求定態(tài)波函數(shù)上。幾率流密度是粒子幾率密度與速度的乘積，即入反入透JJrJJt222mpJ 將整個(gè)空間從左到右分成三個(gè)區(qū)域，在勢(shì)壘內(nèi)外三個(gè)區(qū)域的能量本征方程分別是 axDeCeaxxeBeAaxdxdaxxkdx

47、dEUmmEkaxEdxdmaxEUdxdmxEdxdmxxikxikxoo 0 , 0,0 , 0, 0, 0/ )(2,/22020223 , 13 , 13 , 122223 , 123 , 1222223232222222212122，令方程組化為其一般解是 為了簡(jiǎn)化計(jì)算，不妨取粒子從左邊(xa，粒子僅有透射波，令其振幅為t，即A3t, B30。于是axtexaxDeCexxreexikxxxikxikx ,)(0,)(0,)(321由波函數(shù)在邊界上x=0上的銜接條件：DCrikDCrdxddxdxx )1 (1|),0()0(020121axaxdxddxdaa |),()(3232

48、ikxxxikxxxteikDeCeteDeCe 從而給出聯(lián)立上四個(gè)方程組，消去C，D后，給出 )(4)(22sinh)(2sinh4sinhsinh|)(4)(2sinh)(44sinh4|222222222222222222222222EUEaEUmUaEUmUkkkrTEUEaEUmUEUEkkktTooooooooo 在x=a處，應(yīng)滿足邊界條件，于是透射系數(shù)為的。如果，這正是幾率守恒要求不難看出2/2/ )(sinh, 11xxxeeeTR xooeUEUET2216 )( 它指出在EE壘區(qū)并出現(xiàn)在另一側(cè)，在量子力學(xué)中稱勢(shì)壘穿透或隧道效應(yīng)，它是粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，圖(b)描繪了粒子穿透勢(shì)

49、壘的波動(dòng)圖象。3.6 氫原子的量子力學(xué)處理氫原子的量子力學(xué)處理一、氫原子的薛定諤方程一、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)： rzeU024定態(tài)薛-方程： Euurzem420222勢(shì)能是球?qū)ΨQ的，采用球坐標(biāo)系： cossinrx sinsinry cosrz )(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氫原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程： )(12222rrrrm)(sinsin12rursin12222Euurze024),(r（1）)()()(),(rrRu二、分離變量求解波函數(shù)二、分離變量求解波函數(shù)設(shè)設(shè)代入上式0)4(2sin1)(sinsin1)(102222

50、22222RrzeEmRrRrrRrrr0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222urzeEmurrrrrr1、為得到關(guān)于 )()()(,rR的三個(gè)獨(dú)立方程做如下處理： 1）方程兩邊再除以 )()()(,rR得到下式： 0)4(2sin11)(sinsin11)(110222222222rzeEmrrrRrrrR（2）（3）2）方程兩邊再乘以 有 上式兩邊等于一個(gè)與 2r22220222sin11)(sinsin11)4(2)(1rrzeEmrRrrR由于 )()()(,rR是獨(dú)立變量， , r都無(wú)關(guān)的常數(shù)，設(shè)這個(gè)常數(shù)為 則有： 20222)4(2)(1rrzeEmrRrr

51、R222sin11)(sinsin11（4）（6）（5）3）方程（5）兩邊乘以2rR得到： 0)4(2)(1202222RrrzeEmrRrrr球貝塞耳方程球貝塞耳方程 4）方程（6）兩邊乘以 2sin（7）2221sin)(sinsin1得到： 由于 )()(,是獨(dú)立變量 上式兩邊應(yīng)等于一個(gè)與 都無(wú)關(guān)的常數(shù)，設(shè)這個(gè)常數(shù)為 2m則有： 22sin)(sinsin1m2221m（8） （9）5）方程（8）兩邊乘以 2sin得到： 0sin)(sinsin122m締合勒讓德方程締合勒讓德方程 （10）6）方程（9）整理得：0222m（11） 二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程 我們得到了

52、關(guān)于 )()()(,rR（7），（10），（11）如下： 的三個(gè)獨(dú)立方程0)4(2)(1202222RrrzeEmrRrrr球貝塞耳方程球貝塞耳方程 0sin)(sinsin122m締合勒讓德方程締合勒讓德方程 二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程 0222m（7）（10）（11）2、根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有限、連續(xù)，及歸一化可得到各常微分的解 )()()(,rR1 方程的解0222mdd方程的解為：解：設(shè) e)(因指數(shù)形式或三角形式才會(huì)還有 cyy )(22)( e則 與原方程比較得： )(2)(2m22mimimimAeAe)(波函數(shù)歸一化：12*220220AdAd21Ai

53、me21)(3, 2, 1, 0m2)2(imimimimeAeAeAe12sin2cos2mimeim3, 2, 1, 0m即 由于是個(gè)循環(huán)變量， 角增加 2后又回到原位置波函數(shù)必須是單值的，這就要求)2()(2、 方程的解0)sin()(sinsin122mddddcos令 則 1cos111cos將 代入 )(中，得到的函數(shù)用 )(P表示， 即有 )()(Pdddddddddddddd212)1 ()sin(締合勒讓德方程締合勒讓德方程 方程的第一項(xiàng)： ddPdddddd)()sin(sin)sin(sin1)(sinsin1ddPddddPdd)(2)(2)1 (sin則原方程變成為如

54、下形式：01)1 ()(22)(2PmddPdd締合勒讓德方程締合勒讓德方程 如果將上式按函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，得到數(shù)理方法中典型締合勒讓德方程締合勒讓德方程 ：012)1 ()(22)(2)(22PmddPdPd必須滿足條件： 2, 1, 0l要使這個(gè)這個(gè)方程在 11范圍內(nèi)得到的解有限， ) 1( ll若m=002)1 ()()(2)(22PddPdPd而且方程的解是一個(gè)勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式，用 rlllrrlrlrlrrlP220)()!2()!( !2)!22() 1(而 22, 1, 0lr2l為不大于 的最大整數(shù) 2l當(dāng)012)1 ()(22)(2)(22PmddPdPd要使這個(gè)這

55、個(gè)方程在 11范圍內(nèi)得到的解有限， 必須滿足條件： ) 1( ll 2, 1, 0l而且方程的解是 用 表示 mlP)()(2)()1 (lmmmmlPddNP0m)(lPrlllrrlrlrlrrlP220)()!2()!( !2)!22() 1(由歸一化條件 歸一化后：其中)(2)()1 ()!(2) 12()!(lmmmmlPddmllmlP而 22, 1, 0lr2l為不大于 的最大整數(shù) 2lrlllrrlrlrlrrlP220)()!2()!( !2)!22() 1(上式中的 它的最高次項(xiàng)的指數(shù)是 l對(duì) )(lP求導(dǎo)數(shù)時(shí)只有 m小于或等于 ll才有意義。 所以： m的取值要受到限制

56、lm 2, 1, 0由此可以看出 )(P與 ml的取值有關(guān) 具體形式： )(2)()1 ()!(2) 12()!(lmmmmlPddmllmlP則 )(2)()()()1 ()!(2) 12()!(lmmmmlPddmllmlPP其中 cos如： 21)(cos00Psin43)(cos11Pcos23)(cos01P222sin1615)(cosP) 1cos3(85)(cos212P202sin1615)(cosP即對(duì)應(yīng)每一組 lm有一個(gè)波函數(shù) )(cosmlP記做 )(rR3、 方程的解方程的解： 0)4(2)(1202222RrrzeEmrRrrr（球貝塞耳方（球貝塞耳方 程程 ）將

57、) 1( ll代入上式得到方程： 0) 1()4(2)(1202222RrllrzeEmdrdRrdrdr在能量 0E的情況下，要使這個(gè)方程的解有限， 能量必須具有以下的取值： 222042) 1(2)4(lnemzE 2, 1, 0n而 現(xiàn)令： 1lnn則 1lnn的取值應(yīng)該等于正整數(shù) 3, 2, 1nn的最小值為1 242122220(4)2mz ezEEnn 則 與玻爾理論的結(jié)果完全相同，由此可知，這里的量子數(shù) 是主量子數(shù)。n由此可見，氫原子的能量是量子化的。 又由 1lnn可知，當(dāng)主量子數(shù) n確定后， 0 nl的取值最大，且最大值為 1n時(shí)這樣量子數(shù) l的取值也受到限制，應(yīng)有如下取值

58、13, 2, 1, 0 nl共 n個(gè)值 到此三個(gè)量子數(shù)的取值如下： 3, 2, 1n13, 2, 1, 0 nllm 2, 1, 0n為主量子數(shù)，最小值為1 n共 個(gè)值 12 l共 個(gè)值 滿足滿足 222042) 1(2)4(lnemzE球貝塞耳方程球貝塞耳方程0) 1()4(2)(1202222RrllrzeEmdrdRrdrdr的解：的解：22014mea玻爾第一軌道半徑的值 )2(112rnazLlln是勒蓋爾多項(xiàng)式 具體形式取決于 和 nl1122)(2)(naZrLeNRllnlnlrnl其中21331)!(2)!1()2(lnnlnnazNnl是由歸一化條件：1202drrRnl給

59、出10121112!)!12()!1()2()!() 1()2(lnkkkllnkklklnrnazlnrnazL)2()2()!(2)!1()2(112121331)(1rnazLrnazelnnlnnazRllnlrnazrnl其中其中 22014mea為玻爾第一軌道半徑的值 是勒蓋爾多項(xiàng)式 則徑向波函數(shù)：10121112!)!12()!1()2()!() 1()2(lnkkkllnkklklnrnazlnrnazL12)(23110aZreaZrR對(duì)于給定的nl徑向波函數(shù)便可確定如1212312022)(aZreaZraZrR1212312132)(aZreaZraZrR13211231

60、3027232132)(aZreaZraZraZrR1321123131613324)(aZreaZraZraZrR132123132352722)(aZreaZraZrR現(xiàn)在可以得到氫原子或類氫離子的波函數(shù)：現(xiàn)在可以得到氫原子或類氫離子的波函數(shù)： )()()(),(rrRu)()()(mlmrnlR其中： ime21)(lm3, 2, 1, 0)(2)()()1 ()!(2) 12()!(lmmmmllmPddmllmlPcos13, 2, 1, 0 nl)2()2()!(2)!1()2(112121331)(1rnazLrnazelnnlnnazRllnlrnazrnl 3, 2, 1n為