結(jié)構(gòu)可靠度講座--荷載統(tǒng)計(jì)分析

1、2 結(jié)構(gòu)可靠度分析與估計(jì)結(jié)構(gòu)可靠度分析與估計(jì)2.1 工程結(jié)構(gòu)可靠度基本概念工程結(jié)構(gòu)可靠度基本概念 2.2 一次二階矩方法一次二階矩方法2.1 工程結(jié)構(gòu)可靠度基本概念工程結(jié)構(gòu)可靠度基本概念 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)與極限狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)與極限狀態(tài)方程 結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的多重積分法結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的多重積分法 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo) 2.1.1結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)與極限狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)與極限狀態(tài)方程 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài) 結(jié)構(gòu)的功能隨著設(shè)計(jì)條件的不同而變化，為了判別結(jié)構(gòu)的功能是否得到滿足，必須建立一個(gè)判別基準(zhǔn)，在可靠度設(shè)計(jì)中，這個(gè)判別基準(zhǔn)就是極限狀態(tài)。 結(jié)構(gòu)整體的或部分的

2、功能變化若超越某一基準(zhǔn)狀態(tài)，致使其不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的功能要求，這一基準(zhǔn)狀態(tài)視為該功能的極限狀態(tài)。 結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)通常采用約束值來表示，如結(jié)構(gòu)的應(yīng)力或變形限值等。極限狀態(tài)方程極限狀態(tài)方程 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)借助功能函數(shù)實(shí)現(xiàn)極限狀態(tài)的數(shù)學(xué)描述; 結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)由一組基本設(shè)計(jì)變量構(gòu)成，并表示為式中稱為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本變量基本變量 結(jié)構(gòu)功能的狀態(tài)可分別表示為： 其中，結(jié)構(gòu)功能的極限狀態(tài)表示為 上式稱為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)方程極限狀態(tài)方程； 是結(jié)構(gòu)可靠與失效邊界的數(shù)學(xué)描述； 也是結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本出發(fā)點(diǎn)，可以是線性的或非線性的。 我國工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB50153-92）和鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠

3、度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（GB50216-94）等， 將結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)兩類。 1 承載能力極限狀態(tài)承載能力極限狀態(tài) 是指結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達(dá)到最大承載能力或 達(dá)到不適于繼續(xù)承載的較大變形的狀態(tài)。 2 正常使用極限狀態(tài)正常使用極限狀態(tài) 是指結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件達(dá)到使用功能上某一允許的限值狀態(tài)。 2.1.2 結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的多重積分法結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的多重積分法 基于結(jié)構(gòu)可靠度的定義，可以建立結(jié)構(gòu)可靠度的概率表達(dá)式，由（2-2）式可知， 功能函數(shù)Z0 表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)， 該事件的概率就是結(jié)構(gòu)可靠度可表示為 結(jié)構(gòu)失效概率表示為 如果功能函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù) 可以確定 ， 是相互

4、獨(dú)立的則 現(xiàn)在我們分析一個(gè)簡單的例子。設(shè)功能函數(shù)Z有兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量R和S，其中R一般代表結(jié)構(gòu)的抗力，S一般代表結(jié)構(gòu)的荷載效應(yīng)，其相應(yīng)的概率分布函數(shù)為 概率密度函數(shù)為fR(r)和fS(s), 結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為 Z g (R,S) = RS 分析RS失效事件中的一個(gè)樣本兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為 結(jié)構(gòu)可靠度研究及其工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)失效概率 功能函數(shù)Z的概率分布FZ(z) 的分布形式對(duì)于 有很敏感的影響， 采用不同的FZ(z)概率分布函數(shù)，會(huì)引起 值在幾個(gè)數(shù)量級(jí)的范圍內(nèi)變化。 10-5時(shí) 當(dāng)失效概率 10-3 時(shí)， 計(jì)算值對(duì)于 FZ(z) 的分布形式是很不敏感的， 合理的假定功能 函數(shù) Z

5、 的概率分布形式， 值的計(jì)算結(jié)果大致都在同一數(shù)量級(jí)的范圍之內(nèi)， 對(duì)于工程結(jié)構(gòu)可靠度評(píng)估而言已足夠精確。 2.1.3 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo) 在一定的條件下，結(jié)構(gòu)可靠度也可通過結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)來表達(dá)。 設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)的概率密度為 則結(jié)構(gòu)失效概率Pf可通過下式計(jì)算， 功能函數(shù)Z = RS 遵從正態(tài)分布 N 設(shè) 結(jié)構(gòu)抗力 R，荷載S是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量 N N z 作標(biāo)準(zhǔn)化變量置換，即 失效概率 可表示為 以左的陰影部分面積等于失效概率 Pf 。 可靠度Ps 可表示為 的函數(shù)，兩者之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系， 稱為可靠指標(biāo)可靠指標(biāo)或結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。 命 則 例例 計(jì)算基本變量為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的可靠指標(biāo)：

6、設(shè)結(jié)構(gòu)的抗力與荷載R，S 遵從對(duì)數(shù)正態(tài)分布； R的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為R, R； S 的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為s, s； 結(jié)構(gòu)可靠度的極限狀態(tài)方程可表示為 lnR-lnS=0或 其可靠指標(biāo)由下式計(jì)算 式中 其中 從而得到 當(dāng)滿足 ； 或滿足 且 2.2 一次二階矩方法一次二階矩方法 2.2.1 概述概述 計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度或失效概率， 一般無法得到失效概率的解析結(jié)果 在工程設(shè)計(jì)中要求重復(fù)執(zhí)行冗長繁復(fù)的運(yùn)算是不可行的可通過基本變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算得出可靠指標(biāo)，可通過基本變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算得出可靠指標(biāo)，從而計(jì)算可靠指標(biāo)和結(jié)構(gòu)可靠度從而計(jì)算可靠指標(biāo)和結(jié)構(gòu)可靠度 其條件是功能函數(shù)的概率分布必須遵從正態(tài)分布必須遵從

7、正態(tài)分布。 設(shè)其線性線性極限狀態(tài)方程為 ； 式中 和是常數(shù)； 假定基本變量 是相互獨(dú)立的，則功能函數(shù) Z的均值 標(biāo)準(zhǔn)差為 式中 為基本變量的均值及標(biāo)準(zhǔn)差； 結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)為 如 遵從正態(tài)分布，其結(jié)構(gòu)失效概率的計(jì)算式為對(duì)于非線性功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)計(jì)算，從對(duì)于非線性功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)計(jì)算，從工程實(shí)用的觀點(diǎn)出發(fā)，一般是將非線性功能工程實(shí)用的觀點(diǎn)出發(fā)，一般是將非線性功能函數(shù)進(jìn)行近似線性化處理函數(shù)進(jìn)行近似線性化處理。 具體的做法是將功能函數(shù)將功能函數(shù) 展開成為展開成為Taylor級(jí)數(shù)并取其線性項(xiàng)級(jí)數(shù)并取其線性項(xiàng) 作為 的近似函數(shù)，從而按照線性功能函數(shù)條件來計(jì)算可靠度指標(biāo)從而按照線性功能函數(shù)條件來計(jì)算

8、可靠度指標(biāo)。 這種計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的方法稱為一次二階矩方法一次二階矩方法。其特點(diǎn)是，結(jié)構(gòu)功能的函數(shù)是線性的，如果是非線性功能函數(shù)則近似的取其線性項(xiàng)；計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)則是采用基本變量的一階矩和二階矩信息計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)則是采用基本變量的一階矩和二階矩信息。 早期的近似線性化方法是將非線性功能函數(shù) 在其均值點(diǎn)處展開為均值點(diǎn)處展開為Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 工程實(shí)際應(yīng)用和研究分析表明，對(duì)于同一命題，隨著功能函數(shù)所取用的表達(dá)對(duì)于同一命題，隨著功能函數(shù)所取用的表達(dá)式不同，與之對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果可式不同，與之對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果可能出現(xiàn)顯著的差異能出現(xiàn)顯著的差異 為了避免此類問題的發(fā)生，需要在“失效面

9、” 上的某一點(diǎn) 展開功能函數(shù) 點(diǎn)稱為“設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)”，或“驗(yàn)算點(diǎn)驗(yàn)算點(diǎn)” 2.2.2 一次二階矩均值法一次二階矩均值法早期的一次二階矩方法，對(duì)于非線性功能函數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠度分析，是將其在均值點(diǎn)展開為Taylor級(jí)數(shù)，并取線性項(xiàng)作為近似函數(shù)來計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。設(shè)極限狀態(tài)方程 將功能函數(shù) 在其均值點(diǎn)展開為Taylor級(jí)數(shù)并取線性項(xiàng)，即 式中， 表示偏導(dǎo)數(shù)在各基本變量均值點(diǎn)取值； 由概率論知Z的均值為 標(biāo)準(zhǔn)差為 是相互獨(dú)立的基本變量 用一次二階矩法計(jì)算，其可靠指標(biāo)為例例2-3 圓形截面直桿的設(shè)計(jì)公式為 其功能函數(shù)為結(jié)構(gòu)功能的極限狀態(tài)方程為 已知設(shè)計(jì)變量的統(tǒng)計(jì)值：拉力荷載P100 kN，為常量；

10、 材料抗拉強(qiáng)度R的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為桿的直徑D的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為 直桿的可靠指標(biāo)直桿的可靠指標(biāo) 計(jì)算如下計(jì)算如下：在本例中P為常量無變異性，R和D是隨機(jī)變量功能函數(shù)在R,D的均值點(diǎn)取線性化近似表達(dá)式，有 式中表示功能函數(shù)對(duì)D,R的偏導(dǎo)數(shù)在其均值點(diǎn)取值； 根據(jù)本例題的參數(shù)，其值為 功能函數(shù)線性近似的平均值為 Z的方差為結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為如果變換極限狀態(tài)方程為如果變換極限狀態(tài)方程為 計(jì)算得出的可靠指標(biāo) ，與以上的有顯著差別 隨著極限狀態(tài)方程形式的變化，其可靠指標(biāo)的解答不是唯一隨著極限狀態(tài)方程形式的變化，其可靠指標(biāo)的解答不是唯一的。2.2.3 一次二階矩驗(yàn)算點(diǎn)法一次二階矩驗(yàn)算點(diǎn)法 * 將非線性功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)

11、展開為將非線性功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)展開為Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 并取其一次項(xiàng)作為近似表達(dá)式，按照線性功能函數(shù)進(jìn)行可靠度估計(jì)并取其一次項(xiàng)作為近似表達(dá)式，按照線性功能函數(shù)進(jìn)行可靠度估計(jì)設(shè)非線性功能函數(shù)為在展開為Taylor級(jí)數(shù)并取線性項(xiàng) 式中表示功能函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)在取值在失效面上，即故而如基本變量相互獨(dú)立，則功能函數(shù)的平均值為 功能函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差差為結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為為了實(shí)施結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的迭代運(yùn)算，需要將其表達(dá)式（2-33）進(jìn)行變換設(shè)式中表示方向余弦，也稱為靈敏系數(shù)；其值在并滿足 將 式變換為可得到且上式可變換為 上式兩邊的右乘向量相等，可得出( ) 從而得到驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)值, ( ) 通過迭代法可解出( )和

12、2.3 當(dāng)量正態(tài)分布當(dāng)量正態(tài)分布對(duì)于非正態(tài)分布基本變量非正態(tài)分布基本變量（相互獨(dú)立的）構(gòu)成的線性功能函數(shù)， 一方面 ，可以通過直接積分的方法來計(jì)算可靠度（有時(shí)需進(jìn)行數(shù)字積分）； 另一方面，也可將非正態(tài)分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為當(dāng)量正態(tài)分布函數(shù)， 在此基礎(chǔ)上 計(jì)算可靠指標(biāo)并借助可靠指標(biāo)與可靠度的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)量正態(tài)分布的概念由Paloheimo（1974）和Rackwitz(1976)等人提出，并得到JCSS的采納和推薦（當(dāng)量正態(tài)分布的方法又稱為當(dāng)量正態(tài)分布的方法又稱為JC法法）；應(yīng)用于我國建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；港口工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)等設(shè)計(jì)規(guī)范。一個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的基本變量非正態(tài)分布函數(shù)變換為當(dāng)量正態(tài)分布函數(shù)的準(zhǔn)則是：在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處，處，基本變量基本變量的非正態(tài)分布函數(shù)的非正態(tài)分布函數(shù) 及概率密度函數(shù)及概率密度函數(shù)當(dāng)量正態(tài)分布函數(shù)當(dāng)量正態(tài)分布函數(shù)及當(dāng)量概率密度函數(shù)及當(dāng)量概率密度函數(shù)的縱坐標(biāo)相等。的縱坐標(biāo)相等。的原始非正態(tài)分布函數(shù)為其當(dāng)量正態(tài)分布函數(shù)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處可建立條件等式 式中基本變量的當(dāng)量正態(tài)分布的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差；基本變量的原始非正態(tài)分布函數(shù)在點(diǎn)的取值； 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布