線性代數(shù)5-3,4相似矩陣2

1、ABBPAPPnBA是是則則稱稱矩矩陣陣，使使階階矩矩陣陣，若若存存在在可可逆逆陣陣都都是是與與設(shè)設(shè) 1,的的相似矩陣相似矩陣，定義定義7( (P.121 ) )一一 、相似矩陣、相似矩陣的的變變成成為為把把并并稱稱可可逆逆陣陣BAP相似變換陣相似變換陣.3 相似矩陣（相似矩陣（矩陣之間的又一種關(guān)系）矩陣之間的又一種關(guān)系），進(jìn)進(jìn)行行，稱稱為為對(duì)對(duì)進(jìn)進(jìn)行行運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì)APAPA1 相似變換相似變換又稱又稱A與與B相似相似.AB 存在可逆陣存在可逆陣P,Q, 使得使得 PAQ=B對(duì)方陣對(duì)方陣A和和B，若存在可逆陣，若存在可逆陣P,1PAPB 使得使得1111112kkkpppAp ppB 當(dāng)然當(dāng)然

2、A與與B的關(guān)系更密切，的關(guān)系更密切， 稱作相似稱作相似.二、相似矩陣的性質(zhì)二、相似矩陣的性質(zhì) 2 矩陣相似具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性矩陣相似具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性. 1 A與與B相似相似 ？ A與與B等價(jià)等價(jià). 相似與等價(jià)的關(guān)系相似與等價(jià)的關(guān)系1;EAEA 11;PAPBPBPA1111,PAPB Q BQCQ PAPQC 3 與數(shù)量陣與數(shù)量陣kE相似的矩陣只有相似的矩陣只有kE. 1PP kEPkE （可可逆逆，只只有有） 4 A與與B相似相似 ,則則 ()()R AR B kkkAkBAB 與相似；與相似(0k為整數(shù))；與相似；與相似(0k為整數(shù))；( )( )( )ABum與相似(為

3、 次多項(xiàng)式)與相似(為 次多項(xiàng)式) 5 A與與B相似相似 11BPAPPA PA1BPAP ABAB與 同時(shí)可逆或同時(shí)不可逆.與 同時(shí)可逆或同時(shí)不可逆.PAPAPPB11111)( 相相似似，與與可可逆逆時(shí)時(shí)11 BA.P且且相相似似變變換換陣陣仍仍為為1AP BP1n 對(duì)對(duì)角角陣陣的的特特征征值值 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式, 從而有相同的特征值從而有相同的特征值. 6 定理定理3( (P121) )證證，使使由由條條件件知知存存在在可可逆逆陣陣BPAPP 1,EPPPAPEB11 PEAP)(1 PEAP 1EA 這表明這表明A與與B有相同特征值有相同特征值與相似

4、有相同的特征值。ABAEBE 設(shè)設(shè) A與與B 相似，相似，反之不然，特征值相同的矩陣不一定相似反之不然，特征值相同的矩陣不一定相似!120nE 相相似似，與與對(duì)對(duì)角角陣陣若若 nA112,nA 則則是是 的的特特征征值值。 推論推論( (P.122) ) 1,n 為為12,nA 其中是 的特征值.其中是 的特征值.矩陣矩陣 A與對(duì)角陣與對(duì)角陣相似相似, 1n 則則必必有有= =，12,nAA 1 1n n反反之之，若若是是 的的特特征征值值， 與與 = =是是否否相相似似？不一定！不一定！考慮方陣與對(duì)角陣考慮方陣與對(duì)角陣 相似的條件！相似的條件！關(guān)于對(duì)角陣已經(jīng)有了一些結(jié)果，需要進(jìn)一步的研究關(guān)于

5、對(duì)角陣已經(jīng)有了一些結(jié)果，需要進(jìn)一步的研究解決了矩陣解決了矩陣 A與對(duì)角陣與對(duì)角陣相似時(shí)相似時(shí), 的求法的求法! 1n 設(shè)設(shè)有有= =，則則?,T 1?,? ?,k ( )? 12()()()()n (p122)對(duì)一般矩陣對(duì)一般矩陣A， 是是A的特征多項(xiàng)式，的特征多項(xiàng)式，( )f ( ).f AO當(dāng)當(dāng) 與與 相似時(shí)相似時(shí),容易證明容易證明A ( )fAE哈密爾頓哈密爾頓-凱萊定理（難證）凱萊定理（難證）O 112(,),nP APdiag p 可逆可逆,121()()()nffPPf i 是是A的特征值的特征值()0,if 1( )()f APfP 1AP P 而而O 若矩陣若矩陣 A與對(duì)角陣與

6、對(duì)角陣相似相似,三、矩陣可相似對(duì)角化的概念與條件三、矩陣可相似對(duì)角化的概念與條件則稱矩陣則稱矩陣 A可相似對(duì)角化可相似對(duì)角化.2、條件、條件 n 階矩陣階矩陣A與對(duì)角陣相似的與對(duì)角陣相似的充分必要條件充分必要條件為為 A 有有n 個(gè)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量線性無(wú)關(guān)的特征向量. 矩陣矩陣 A可相似對(duì)角化時(shí)，可相似對(duì)角化時(shí)， 相似變換陣相似變換陣P為為對(duì)角相似變換陣對(duì)角相似變換陣.推論推論1：若若A有有n個(gè)相異特征值個(gè)相異特征值 ,則則A可相似對(duì)角化可相似對(duì)角化.推論推論2：若：若A有有r(n)個(gè)相異特征值個(gè)相異特征值 ,(1,2,)iir 而對(duì)應(yīng)的而對(duì)應(yīng)的()iAE xO 方方程程組組的的解空間的維

7、數(shù)等于解空間的維數(shù)等于ii 的的重重?cái)?shù)數(shù)r r則則A可相似對(duì)角化可相似對(duì)角化定理定理( (P.123定理定理4）1、概念、概念否則否則,不可不可。12()rrrrn( ()iiR AEnr 即存在即存在P可逆可逆,使使 ，1P AP 112(,)nnPppp AAn “ 與與對(duì)對(duì)角角陣陣 相相似似有有 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量”,nP 存存在在一一個(gè)個(gè) 階階可可逆逆陣陣，設(shè)設(shè)),(npppP21 12(,)nAPAp ApAp 則則),(nnppp2211 是是否否為為特特征征向向量量？iP定理的證明定理的證明,iiipAp ),2,1(ni 1,n 是是A A的的特特征征值值

8、是是特特征征向向量量。npp,11n 其其中中線性相關(guān)性？線性相關(guān)性？A與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似 A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1PAP 使使得得A 由由 與與對(duì)對(duì)角角陣陣 相相似似APPo ？,為為非非零零向向量量npp 1P 的的列向量列向量 是是A的屬于特征值的屬于特征值 的的特征向量特征向量ipi112,(),nnpppP 令令，1,PAP 即即12(,)nAPAp ApAp 且且 nnppp121),(),(nnppp2211 P 12,niPPA i i設(shè)設(shè)P P是是 的的n n個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量. .P P 屬屬于于可可逆逆PA可對(duì)角化.可

9、對(duì)角化.由充分性證明知由充分性證明知，若已知若已知A 的的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量特征向量 對(duì)角相似變換陣對(duì)角相似變換陣. 12,nppp，,.iiiiApppo 即即 12,nPpppA 則則為為 的的AnA“ 有有 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量可可相相似似對(duì)對(duì)角角化化”1n 且且相相似似對(duì)對(duì)角角陣陣= =，四、相似對(duì)角化的方法四、相似對(duì)角化的方法 1、求求A的特征值的特征值：12,n (n個(gè)特征值相異時(shí)，一定可對(duì)角化個(gè)特征值相異時(shí)，一定可對(duì)角化);2、設(shè)相異特征值為：設(shè)相異特征值為：12,r ,()iiAE xo對(duì)每個(gè)求解方程組，對(duì)每個(gè)求解方程組，若每個(gè)方程組解空

10、間的維數(shù)都分別若每個(gè)方程組解空間的維數(shù)都分別i 的重?cái)?shù)，的重?cái)?shù)，則則A可對(duì)角化可對(duì)角化；若某一個(gè)方程組解空間的維數(shù)若某一個(gè)方程組解空間的維數(shù)i 的的重重?cái)?shù)數(shù)，則則A不可對(duì)角化不可對(duì)角化；3、A可對(duì)角化時(shí)，可對(duì)角化時(shí)，12(),iiiiirAE xo求求出出每每個(gè)個(gè)組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系1211121,2122212,rrrrrrr 有有12()rrrrn令令1P 2P 1rP nP 12(,).nPppp 則則為為對(duì)對(duì)角角相相似似變變換換陣陣121nPAP iiPp 中的 與 中的 相對(duì)應(yīng)!中的 與 中的 相對(duì)應(yīng)!先先后后次次序序一一致致！1100010003P AP 且且, A判判斷斷 是

11、是否否可可對(duì)對(duì)角角化化 若若可可以以, ,求求變變換換陣陣P P. .解解 142252001EA3, 1321 2(1) (3)0 110101012相相似似。與與對(duì)對(duì)角角陣陣 A 000242242000, 132121xxx有有312,()pppP 或或例、例、1(2, 1, 0) ,Tp .)1, 1, 0(:333Tp 特特征征向向量量 000000121P = ?),(321pppP 100252241 A 2( 1, 0, 1)Tp 1300010001P AP 且且021110101 可對(duì)角化時(shí)，可對(duì)角化時(shí)， 相似變換陣不惟一，相似變換陣不惟一， 變成的對(duì)角陣也不惟一變成的對(duì)角

12、陣也不惟一;不計(jì)對(duì)角線上的元素的順序，則惟一確定不計(jì)對(duì)角線上的元素的順序，則惟一確定 A的特征值的特征值.12311185,2,413pA 例例 ：A可對(duì)角化.可對(duì)角化.1211,11PP 1112114PPAP 令令1114112PPAP 或令或令1231106430 ,2,1102A 例例 ：，112 二重特征值對(duì)應(yīng)的方程組解空間維數(shù)為二重特征值對(duì)應(yīng)的方程組解空間維數(shù)為A不可對(duì)角化.不可對(duì)角化.123211020 ,1,2413A 例例7 7：，1231010 ,1,0 ,114ppp A可可對(duì)對(duì)角角化化. .110110102.1142PPAP 令令,P 其它的？其它的？分析例分析例5，

13、例，例6，例，例7中矩陣是否可對(duì)角化？中矩陣是否可對(duì)角化？例例11（p123) 00111100Ax設(shè) 問(wèn)問(wèn)x為何值時(shí)，矩陣為何值時(shí)，矩陣A能對(duì)角化？并在可對(duì)角能對(duì)角化？并在可對(duì)角化時(shí)，求可逆矩陣化時(shí)，求可逆矩陣P，使，使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.1P AP011110 x111AE解 2(1) (1) 1231,1 得 23 = =1(A-E)X=0 2對(duì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)線 無(wú)關(guān)個(gè)線 無(wú)關(guān)于重根，要性的特征向量即方程有性的解() 1R A E即 10110101AEx101001000 x() 11 01.R A Exx ，使 , 即 因此，當(dāng)因此，當(dāng)X=-1時(shí)，矩陣能對(duì)角化時(shí)，矩陣能對(duì)角化. 什麼矩陣一

14、定有什麼矩陣一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量呢？個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量呢？ 實(shí)實(shí) 對(duì)對(duì) 稱稱 陣陣 ！4 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣實(shí)矩陣實(shí)矩陣TAA (),ijijAaa 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù) ijijaaAA A A為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量有特殊好的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量有特殊好的性質(zhì)定理定理5( (P.124) ) 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù). 特征向量也可取為實(shí)向量特征向量也可取為實(shí)向量一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)一、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)TAAA 證明證明P.124 （自學(xué)）（自學(xué)）(

15、)AE xo是實(shí)數(shù)為實(shí)系數(shù)方程組是實(shí)數(shù)為實(shí)系數(shù)方程組0()AEAE xO 的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系可可取取為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的定理定理5( (P.126) ) 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù). ,的的特特征征值值階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣是是設(shè)設(shè)An)(xAxxAxTT 另另一一方方面面211,0nnTiiiiixox xx xx ,xAxx 是是其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量 即即xAxA 0)( xxT證證,TAAA xxAx )()(xAxxAxTTT)( 兩式相減：兩式相減：. xxAT)( xxT)( xxT xxxxTT TAxAxA x 非實(shí)對(duì)稱陣的特征值非實(shí)對(duì)稱陣

16、的特征值不一定是實(shí)數(shù)！不一定是實(shí)數(shù)！ 12,33732521,4103Ai 021 ppT須須證證實(shí)對(duì)稱矩陣的實(shí)對(duì)稱矩陣的相異特征值相異特征值所屬的特征向量必所屬的特征向量必正交正交。證證),(,21222111 pAppAp設(shè)設(shè)0)(2121 ppT021 ppT定理定理6 ( (P.124) ) TAA 一般矩陣相異特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)一般矩陣相異特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān) 但但 不不 能能 保保 證證 它它 們們 是是 正正 交交 的的, 而而111APP 1122121211222()()TTTTTP APPAPPP PPP P 1212()0Tp p只證證畢證畢111(

17、)()TTPAP 11TP 11TTTAP AP 特征值特征值 的重?cái)?shù)的重?cái)?shù)k 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)n R(AE) 個(gè)個(gè)若若 n 階矩陣階矩陣 A 的的 k 重特征值重特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量恰好有所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量恰好有 k 個(gè)個(gè)一般矩陣一般矩陣A 二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 矩陣矩陣A一定有一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量矩陣矩陣 A一定可以相似對(duì)角化一定可以相似對(duì)角化()knR AE實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的的 k 重特征值重特征值 所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量恰有所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量

18、恰有 k個(gè)個(gè) 實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化定理定理 實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣A 一定與對(duì)角陣一定與對(duì)角陣相似相似.1,即 可逆陣，TPPAPP AP ，其其中中),(21ndiag 的的特特征征值值為為An,21推論推論( (P.125) ) n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的的 k 重特征值重特征值 所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān) 的特征向量恰有的特征向量恰有 k 個(gè)。個(gè)。即即()AkAER AEnk若若 是是矩矩陣陣 的的 重重特特征征根根，則則矩矩陣陣的的秩秩定理不證定理不證（含有重特征值）。（含有重特征值）。作為可對(duì)角化的必要條件證明作為可對(duì)角化的必要條件證明(

19、)R AEnk 推論推論( (P.125) ) ()AkAER AEnk若若 是是矩矩陣陣 的的 重重特特征征根根，則則矩矩陣陣的的秩秩由定理知，由定理知，對(duì)稱陣對(duì)稱陣A與對(duì)角陣與對(duì)角陣 相似相似12(,)ndiag 即矩陣即矩陣 與對(duì)角陣與對(duì)角陣 相似相似AE 1(,)nEdiag 11,可逆PPAPAP P 111()()()AEP PP EPPE P ()()R AERE k 是是重重特特征征根根時(shí)時(shí)，Ek 的的對(duì)對(duì)角角線線上上，有有且且僅僅有有 個(gè)個(gè)零零()REnk ().R AEnk 12NE 證畢證畢12( ),;siA 求求出出 的的所所有有相相異異的的特特征征值值,(),iii

20、nH方方陣陣則則將將上上面面求求得得的的特特征征向向量量為為列列 排排成成一一個(gè)個(gè) 階階( ),iiii i i對(duì)對(duì)每每一一個(gè)個(gè)r r 重重特特征征值值求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的r r 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的 特特征征向向量量用用可逆矩陣可逆矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣A化為對(duì)角陣的步驟：化為對(duì)角陣的步驟：它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為12,sr rr12()srrrn12,iiiir ()iAE xO （方方程程組組 的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系）12111212121()srrssrH 1HAH 為為對(duì)對(duì)角角陣陣。為為所所求求的的方方陣陣此此可可逆逆, ,有有注意？注意？由屬于實(shí)對(duì)稱矩陣的相異特征值

21、的特征向量正交必?zé)o關(guān)由屬于實(shí)對(duì)稱矩陣的相異特征值的特征向量正交必?zé)o關(guān)H為將為將A對(duì)角化的相似變換陣對(duì)角化的相似變換陣定理定理7( (P.124) ) 實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣A 一定與對(duì)角陣一定與對(duì)角陣正交相似正交相似.1,TPPAPP AP 即即 正正交交陣陣，其其中中),(21ndiag 的的特特征征值值為為An,21證證,21sA的的互互異異特特征征值值為為設(shè)設(shè),21srrr其其重重?cái)?shù)數(shù)分分別別為為nrrrs 21則則1,TPPAPP AP 則則 為為正正交交陣陣 且且12( ,)ndiag .其中的的特特征征值值為為An,21由實(shí)對(duì)稱矩陣的相異特征值的特征向量正交，由實(shí)對(duì)稱矩陣的相異特征值的特

22、征向量正交， 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A一定與對(duì)角矩陣相似一定與對(duì)角矩陣相似 且對(duì)角相似變換陣可取為正交矩且對(duì)角相似變換陣可取為正交矩陣陣及施密特正交化方法及施密特正交化方法iiAr有前證推論知： 的屬于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量恰好有 個(gè)得得A的的n個(gè)兩兩正交的單位特征向量，以其為列構(gòu)成矩陣個(gè)兩兩正交的單位特征向量，以其為列構(gòu)成矩陣P ,（定理（定理4的充分性證明）的充分性證明）iiAr將 的屬于 的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，再單位化（一重特征值的特征向量只做單位化）（一重特征值的特征向量只做單位化）上述結(jié)論的推論上述結(jié)論的推論12( ),;siA 求求出出 的的所所有有相相異異的的特特征征值值(),iiinP將將上上面面求求得得的的正正交交單單位位向向量量作作為為列列向向量量排排成成一一個(gè)個(gè) 階階方方陣陣則則注意？注意？( ),iiiii 對(duì)對(duì)每每一一個(gè)個(gè)r r 重重特特征征值值求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的r r 個(gè)個(gè)線