大連理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

1、 概率統(tǒng)計(jì)是研究什么的？客觀世界中發(fā)生的現(xiàn)象客觀世界中發(fā)生的現(xiàn)象 確定性的確定性的在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象1)1)拋出物體會(huì)下落。拋出物體會(huì)下落。2)2)充滿氣的氣球受到擠壓會(huì)破。充滿氣的氣球受到擠壓會(huì)破。 隨機(jī)性的隨機(jī)性的在一定條件下，具有多種可能在一定條件下，具有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果1)1)拋擲一枚硬幣，其結(jié)果可能是國徽面朝上，也可能是國徽面拋擲一枚硬幣，其結(jié)果可能是國徽面朝上，也可能是國徽面朝下。朝下。2)2)足球比賽，其結(jié)果可能是勝、平、負(fù)。足球比賽，其結(jié)果可能是勝、平、負(fù)。3)3)投擲一個(gè)骰子，其結(jié)果

2、有投擲一個(gè)骰子，其結(jié)果有6 6種，即可能出現(xiàn)種，即可能出現(xiàn)1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6點(diǎn)。點(diǎn)。4)4)股市的變化。股市的變化。5)5)人的壽命。人的壽命。 經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論如微積分、微分方程等經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論如微積分、微分方程等都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具。都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具。 對(duì)于某些隨機(jī)現(xiàn)象，雖然對(duì)個(gè)別試驗(yàn)來對(duì)于某些隨機(jī)現(xiàn)象，雖然對(duì)個(gè)別試驗(yàn)來說，無法預(yù)言其結(jié)果，但在相同的條件說，無法預(yù)言其結(jié)果，但在相同的條件下，進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)或觀察時(shí)，卻下，進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)或觀察時(shí)，卻又呈現(xiàn)出某些規(guī)律性（如拋擲硬幣）。又呈現(xiàn)出某些規(guī)律性（如拋擲硬幣）。 隨著社會(huì)生產(chǎn)

3、與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，研究隨著社會(huì)生產(chǎn)與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的理論和方法獲隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的理論和方法獲得了迅速的發(fā)展，形成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重得了迅速的發(fā)展，形成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、要分支，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事、科技、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。軍事、科技、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。 概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科 應(yīng)用范圍廣泛。例如：應(yīng)用范圍廣泛。例如： 氣象預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)、氣象預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)、產(chǎn)品的可靠性評(píng)估、壽命預(yù)測、生物統(tǒng)計(jì)、衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)、產(chǎn)品的可靠性評(píng)估、壽命預(yù)測

4、、生物統(tǒng)計(jì)、衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)、金融等各領(lǐng)域。保險(xiǎn)、金融等各領(lǐng)域。 經(jīng)典數(shù)學(xué)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是相經(jīng)典數(shù)學(xué)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是相輔相成，互相滲透的。輔相成，互相滲透的。第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算 頻率與概率頻率與概率1.1隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)（簡稱一、隨機(jī)試驗(yàn)（簡稱“試驗(yàn)試驗(yàn)”）隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) (1)(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先可每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先可以知道試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；以知道

5、試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定出現(xiàn)的是哪個(gè)結(jié)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定出現(xiàn)的是哪個(gè)結(jié)果果; ;滿足上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為滿足上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)，一般記為，一般記為E。 E1：拋拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正面和反面出觀察正面和反面出現(xiàn)的情況；現(xiàn)的情況；E2：擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E3：記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E4：在某高樓上任意擲下一朵玫瑰花，觀察其在地在某高樓上任意擲下一朵玫瑰花，觀察其在地面上的位置；面上的位置；E5：從某品牌的電視機(jī)

6、中任取一臺(tái)，觀察其使用壽從某品牌的電視機(jī)中任取一臺(tái)，觀察其使用壽命。命。隨機(jī)試驗(yàn)的例子二、樣本空間二、樣本空間 1、樣本空間：、樣本空間：由隨機(jī)試驗(yàn)的一切可能的結(jié)果由隨機(jī)試驗(yàn)的一切可能的結(jié)果組成的一個(gè)集合組成的一個(gè)集合稱為試驗(yàn)稱為試驗(yàn)E的的樣本空間樣本空間，記為，記為S或或； 2、樣本點(diǎn)：、樣本點(diǎn)：試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果（或樣或樣本空間的元素）稱為一個(gè)本空間的元素）稱為一個(gè)樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)，記為，記為e。三、隨機(jī)事件三、隨機(jī)事件例例 將一顆骰子連擲兩次，依次記錄所得點(diǎn)將一顆骰子連擲兩次，依次記錄所得點(diǎn)數(shù)，則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即該試驗(yàn)的數(shù)，則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即該試驗(yàn)的樣本空間

7、是：樣本空間是：(1,1)(1,2)(1,6)(2,1)(2,2)(2,6)(6,1)(6,2)(6,6)Snnnnnnn其中有其中有3636個(gè)可能的結(jié)果，即個(gè)可能的結(jié)果，即3636個(gè)樣本點(diǎn)。個(gè)樣本點(diǎn)。每做一次試驗(yàn)，這每做一次試驗(yàn)，這3636個(gè)樣本點(diǎn)必有一個(gè)且僅有一個(gè)個(gè)樣本點(diǎn)必有一個(gè)且僅有一個(gè)出現(xiàn)。在很多時(shí)候，我們是對(duì)樣本空間中某些子集出現(xiàn)。在很多時(shí)候，我們是對(duì)樣本空間中某些子集感興趣，稱之為感興趣，稱之為事件事件。如事件如事件A：兩次投擲所得點(diǎn)數(shù)之和為：兩次投擲所得點(diǎn)數(shù)之和為8 8。事件事件B：兩次投擲所得點(diǎn)數(shù)相等。：兩次投擲所得點(diǎn)數(shù)相等。A發(fā)生發(fā)生(2,6),(3,5),(4,4),(5,

8、3),(6,2)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)記作：記作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是是S的子集。的子集。類似地，類似地，B=(1,1),(2,2),=(1,1),(2,2),(6,6),(6,6)，B也是也是S的子的子集。集。 1、隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間S的子集為的子集為E的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件，簡稱事件。通常用大寫字母，簡稱事件。通常用大寫字母A、B、C表示表示。 任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子

9、集.稱稱事件事件A發(fā)生發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素中的元素。當(dāng)一個(gè)事件僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，稱為基本事件當(dāng)一個(gè)事件僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，稱為基本事件 2、兩個(gè)特殊事件兩個(gè)特殊事件 必然事件必然事件S 包含所有的樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)包含所有的樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)它總是發(fā)生它總是發(fā)生 不可能事件不可能事件 空集空集，不包含任何樣本點(diǎn)，不包含任何樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)總是不發(fā)生每次試驗(yàn)總是不發(fā)生1.事件的包含與相等事件的包含與相等 A中的樣本點(diǎn)一定屬于B，記為AB，也稱A是B的子事件。 A與B兩個(gè)事件相等：AB AB且BA。四、事件之間的關(guān)系四、事件之間的關(guān)系A(chǔ)BAB2n個(gè)事件個(gè)事件

10、A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作至少有一個(gè)發(fā)生，記作iniA12” 可列個(gè)事件可列個(gè)事件A1, A2, An 至少有一個(gè)發(fā)生，記至少有一個(gè)發(fā)生，記作作inA13.積事件積事件 :A與與B同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作 ABAB3n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作nniiAAAA2113”可列個(gè)事件可列個(gè)事件A1, A2, An , 同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作nniAAAA2114.差事件差事件 ：AB稱為稱為A與與B的差事件的差事件,表示事件表示事件A發(fā)生而發(fā)生而B不發(fā)生，不發(fā)生，它是由屬于它是由屬于A而不屬于而不屬于B的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的事件。的樣本點(diǎn)所構(gòu)成的

11、事件。5.互斥的事件互斥的事件 ：AB= ,指事件指事件A與與B不能同時(shí)發(fā)生。不能同時(shí)發(fā)生。又稱又稱A與與B互不相容?；ゲ幌嗳??；臼录腔臼录莾蓛苫ゲ幌嗳莸膬蓛苫ゲ幌嗳莸?. 互逆的互逆的事件事件 AB , 且且AB ;BAAABAB記作，稱為 的補(bǔ)事件 易見A與與B互逆：互逆：事件事件A與與B既不能同既不能同時(shí)發(fā)生，又不能同時(shí)時(shí)發(fā)生，又不能同時(shí)不發(fā)生。即在每次試不發(fā)生。即在每次試驗(yàn)中，驗(yàn)中，A與與B有且僅有且僅有一個(gè)發(fā)生。有一個(gè)發(fā)生。五、事件的運(yùn)算五、事件的運(yùn)算1、交換律：、交換律：ABBA，ABBA2、結(jié)合律、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(

12、AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、對(duì)偶、對(duì)偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣1.2 頻率與概率頻率與概率 一、頻率一、頻率定義定義1.1.設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)。次試驗(yàn)。若隨機(jī)事件若隨機(jī)事件A在這在這n次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次次, ,則比值則比值nnA稱為事件稱為事件A在這在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記作記作fn(A)，即，即fn(A)=nnA實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，增大時(shí)， 隨機(jī)事隨機(jī)事件件A的頻率的頻率fn(A) 逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值

13、逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值。這是隨機(jī)現(xiàn)象固有的性質(zhì)，即頻率的穩(wěn)這是隨機(jī)現(xiàn)象固有的性質(zhì)，即頻率的穩(wěn)定性，也就是我們所說的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)定性，也就是我們所說的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。計(jì)規(guī)律性。二、概率二、概率從直觀上來看，事件從直觀上來看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A發(fā)發(fā)生的可能性生的可能性1、概率的統(tǒng)計(jì)定義、概率的統(tǒng)計(jì)定義設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件A在在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)為次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)為nA，若當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)若當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率很大時(shí)，頻率nA/n穩(wěn)定地在某穩(wěn)定地在某一數(shù)值一數(shù)值p的附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，的增加，其擺動(dòng)的幅度越來越小，則稱數(shù)其

14、擺動(dòng)的幅度越來越小，則稱數(shù)p為隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A的概率，記為的概率，記為P(A)=p。由定義，顯然有由定義，顯然有00P( (A)1, )1, P(S)=1，P()=0。設(shè)設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于是它的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)的每一個(gè)事件事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，如果集合與之對(duì)應(yīng)，如果集合函數(shù)函數(shù)P()具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：非負(fù)性：對(duì)任意一個(gè)事件非負(fù)性：對(duì)任意一個(gè)事件A，均有，均有P(A)0 ；規(guī)范性：規(guī)范性：P(S)=1；可列可加性：若可列可加性：若A1，A2，An，是兩兩互不相是兩兩互不相容的事件序列，即容的事件序列，即AiAj=

15、(ij, i, j=1,2,)，有，有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)+則稱則稱P(A)為事件為事件A的的概率概率。2、概率的公理化定義（、概率的公理化定義（Kolmogorov公理）公理）3、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì) 不可能事件的概率為零，即不可能事件的概率為零，即P()=0；概率具有概率具有，即若事件即若事件A1，A2，An兩兩互不兩兩互不相容，則必有相容，則必有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)事件，則是兩個(gè)事件，則P(A- -B)=P(A)- -P(AB)特別地，若特別地，若A B，則，則AB=B，有有P(A- -

16、B)=P(A)- -P(B)，且且P(A)P(B)，此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為。)(1)(APAP 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A，有有 對(duì)任意兩個(gè)事件對(duì)任意兩個(gè)事件A，B，有，有P(AB)=P(A)+P(B) - - P(AB)可推廣可推廣。 對(duì)任意兩事件對(duì)任意兩事件A，B，有，有)()()(BAPABPAP二、條件概率二、條件概率在事件在事件B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的發(fā)生的條件概條件概率率，記為，記為 )()()|(BPABPBAP 乘法法則乘法法則 )()|()(BPBAPABP )()|()(APABPABP 全概率公式：全概率公式：貝葉斯公式：貝葉斯公式： niiiABPAPB

17、P1)|()()( niiimmmABPAPAPABPBAP1)|()()()|()|(二、事件的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性二、事件的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性兩個(gè)事件的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立兩個(gè)事件的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立()( ) ( )P ABP A P B多個(gè)事件的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立多個(gè)事件的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 kjikjijjAPAP11)()(第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布用實(shí)數(shù)來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，即引入隨機(jī)變量用實(shí)數(shù)來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，即引入隨機(jī)變量的概念。這樣，不僅可以更全面揭

18、示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（高等數(shù)學(xué)）微存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（高等數(shù)學(xué)）微積分的方法來討論隨機(jī)試驗(yàn)。積分的方法來討論隨機(jī)試驗(yàn)。 在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系起來，即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系X，使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果，使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果e，都有一個(gè)實(shí)數(shù)都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)， 試驗(yàn)的結(jié)果試驗(yàn)的結(jié)果e實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)X( (e) )對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系XX的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同，的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同， X是一個(gè)變量，且是一個(gè)變量，且在

19、每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是說說X是一個(gè)隨機(jī)取值的變量。由此，我們稱是一個(gè)隨機(jī)取值的變量。由此，我們稱X為為隨機(jī)變隨機(jī)變量量。 關(guān)于隨機(jī)變量關(guān)于隨機(jī)變量(及向量及向量)的研究，是概率論的的研究，是概率論的中心內(nèi)容中心內(nèi)容對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量這些量就是隨機(jī)變量隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀

20、點(diǎn)2.12.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念定義定義2.1 2.1 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S=e 是試驗(yàn)是試驗(yàn)E的樣的樣本空間，如果對(duì)于本空間，如果對(duì)于S中的每一個(gè)樣本點(diǎn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e，有一實(shí)，有一實(shí)數(shù)數(shù)X( (e) )與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在S上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù)X( (e) )就稱為就稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量(random variable)(random variable)。由定義可知，隨機(jī)變量由定義可知，隨機(jī)變量X( (e) )是以樣本空間是以樣本空間S為定為定義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明：有關(guān)隨機(jī)變量定義

21、的幾點(diǎn)說明：(1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)是樣本點(diǎn)e的函數(shù)，常用大寫字母的函數(shù)，常用大寫字母X、Y、Z 或小寫希臘字母或小寫希臘字母 (xi)、 (eta)、 (zeta)等表示等表示。(2)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間( (a,b) )，“aXb”的的概率是確定的；概率是確定的；(3)(3)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X( (e) )的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)的值域即為其一切可能取值的全體

22、構(gòu)成的集合；成的集合；(4)(4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。 離 散 型連 續(xù) 型混 合 型隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量隨機(jī)變量2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 一、一、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律1 1、離散型隨機(jī)變量的概念、離散型隨機(jī)變量的概念 若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為可列無限多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變離散型隨

23、機(jī)變量量。 討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，要知道離散型隨機(jī)變量要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知道道X的所有可能取值以及的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率。取每一個(gè)可能值的概率。 2 2、分布律、分布律 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為，其所有可能取值為x1, x2, , xk, , 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為p1, p2, , pk, , 即即則稱則稱P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 的概率分布的概率分布律（律（列列），簡稱），簡稱分布

24、律分布律。分布分布律律可用表格形式表示為：可用表格形式表示為：11)(kkkkpxXP1 1P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )滿足滿足（1 1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, )（2）Xx1x2x3xkPp1p2p3pk二、幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律二、幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律1、 (0-1)分布分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為： P(X=k)=pk(1- -p)1- -k， k=0，1，(0p1)則稱則稱X服從以服從以p為參數(shù)的為參數(shù)的0-1分布，記為分布，記為XB(1,p)。0-1分布的分布律也可寫成分布的分布律也可寫成X1 10

25、 0Pp1-1-p即隨機(jī)變量只可能取即隨機(jī)變量只可能取0 0，1 1兩個(gè)值，且取兩個(gè)值，且取1 1的概率為的概率為p，取取0 0的概率為的概率為1-1-p (0p00是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分的泊松分布，記為布，記為XP( )。, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk4、幾何分布幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3, ,且且P(X=k)=(1- -p)k- -1p=qk- -1p，k=1，2，3， ,其中其中0p1是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)服從參數(shù)p為的幾何分布。為的幾何分布。幾何分布背景：幾何

26、分布背景： 隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2 2種，種，A與與試驗(yàn)進(jìn)行到試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率發(fā)生為止的概率P( (X=k) )，即，即k次次試驗(yàn)，前試驗(yàn)，前k- -1次失敗，第次失敗，第k次成功。次成功。A2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整地描離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整地描述。而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能述。而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能一個(gè)一個(gè)列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能一個(gè)一個(gè)列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如：燈泡的壽命是零。例如：燈泡的壽命 由于許多隨機(jī)變量的概率分布

27、情況不能以其取由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量某個(gè)值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間取值落在某區(qū)間 ( (a, ,b 上的概率上的概率( (ab) )。 由于由于 a Xb=Xb-Xa,(,(ab) )，因此對(duì)，因此對(duì)任意任意xR，只要知道事件，只要知道事件 Xx 發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率，則X落在落在( (a, ,b 的概率就立刻可得。因此我們用的概率就立刻可得。因此我們用P( (Xx) )來討論隨機(jī)變量來討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。的概率分布情況。P( (Xx) )：“隨隨機(jī)變量機(jī)變量X取值不超過取值不超過x的概率

28、的概率”。 定義定義 設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，X是任意實(shí)數(shù)，則實(shí)值是任意實(shí)數(shù)，則實(shí)值函數(shù)函數(shù)F(x)P X x， x(-(-，+)+)稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的的累積累積分布函數(shù)，分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。簡稱分布函數(shù)。 有了分布函數(shù)定義，任意有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2R， x1x2，隨，隨機(jī)變量機(jī)變量X落在落在( (x1, ,x2 里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).xX 在這個(gè)意義上可以說，在這個(gè)意義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，或者

29、說，或者說，分布函數(shù)完整地表示分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況了隨機(jī)變量的概率分布情況。 一、累積分布函數(shù)的概念一、累積分布函數(shù)的概念二、累積分布函數(shù)的性質(zhì)二、累積分布函數(shù)的性質(zhì) 1、單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若：若x1x2, 則則F(x1) F(x2)； 2、歸一歸一 性性：對(duì)任意實(shí)數(shù)：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0 F(x) 1，且，且 ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx)()(lim) 0(000 xFxFxFxx3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。故該三個(gè)性

30、質(zhì)是累隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是累積分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)積分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量1 1、概念概念 設(shè)設(shè)F(X)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(- - x+ + )，使對(duì)一切，使對(duì)一切實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x，均有，均有xdttfxXPxF)()()(則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱f(x)為隨機(jī)變?yōu)殡S機(jī)變量量X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡稱密度。常記為，簡稱密度。常記為X f(x) , (- - x+ )一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)X連續(xù)型隨機(jī)

31、變量，則連續(xù)型隨機(jī)變量，則X的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。 (1) 非負(fù)性非負(fù)性 f(x) 0，(- - x0）f(x)的圖像為的圖像為22()21( ),(,)2xf xex (1) 單峰對(duì)稱單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對(duì)稱對(duì)稱，即f( + +x)=f( - -x)，x(- -,+)21正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)的性質(zhì)(2)x= 時(shí)，時(shí)， f(x)取得最大值取得最大值f( )= ； (3)x= 處有拐點(diǎn)；處有拐點(diǎn)；函數(shù)由此從凹函數(shù)變成函數(shù)由此從凹函數(shù)變成凸函數(shù)。凸函數(shù)。(4) 的大小直接影響概率的分布，的大小直接影響概率的分布， 越大

32、，曲線越越大，曲線越平坦平坦， 越小，曲線越陡峭越小，曲線越陡峭。（如圖）。（如圖）正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯( (Gauss)Gauss)分布分布(5)曲線曲線f(x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。正態(tài)分布隨機(jī)變量正態(tài)分布隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為xtdtexF222)(21)(其圖像為其圖像為O xF(x)1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù) 0， 21時(shí)，稱隨機(jī)變量時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從服從標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作態(tài)分布，記作XN(0, 1)。.,21)(22xexx分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為xdtexXPxxt,21)(22其其密度函數(shù)密度函數(shù)表示為表示為O x2

33、11(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為的圖像分別為可得可得)()(xx1)()(xx正態(tài)隨機(jī)變量的正態(tài)隨機(jī)變量的3 3 原則：原則：設(shè)設(shè)X N( , 2)在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為 ，忽略，忽略 的值。質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值的值。質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3 3 作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。6827. 01) 1 (21)(XPXP9545. 01)2(22)2(XPXP(3 )32 (3) 10.9974

34、XP XP 在一次試驗(yàn)中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一次試驗(yàn)中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在以落在以 為中心，為中心，3 3 為半為半徑的區(qū)間徑的區(qū)間( ( - -3 , +3 )內(nèi)的概率相當(dāng)大內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9974)，即，即X幾乎必然落幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，X在一次試驗(yàn)中落在在一次試驗(yàn)中落在( ( - -3 , +3 )以外的概率可以忽略不計(jì)。以外的概率可以忽略不計(jì)。 31XP3X3、指數(shù)分布、指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度0001)(xxexfx則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為0的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。其

35、分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 0001)()()(xxedttfxXPxFxx指數(shù)分布的另一種表示形式指數(shù)分布的另一種表示形式 0, 00,)(xxexfXx則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為)( xfxO0,0( )1,0 xxF xex2.5 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 Y=g(X)，如，如sin(X)離散型隨機(jī)變量：總結(jié)離散型隨機(jī)變量：總結(jié)Y Y不同取值對(duì)應(yīng)的不同取值對(duì)應(yīng)的X X的概的概率率 連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：確定確定Y Y的取值范圍；的取值范圍；列出列出Y Y的分布函數(shù)（化作的分布函數(shù)（化作X X落在一定范圍的積

36、落在一定范圍的積分）；分）；1.1. 求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.1 3.1 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布1 1、二維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量 設(shè)設(shè)S=e是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在是定義在S上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一個(gè)二維向量個(gè)二維向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X及

37、及Y有關(guān)，而有關(guān)，而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨(dú)且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨(dú)討論討論X和和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個(gè)整作為一個(gè)整體來討論。體來討論。一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義定義3.13.1 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，二元是二維隨機(jī)變量，二元實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù)F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y) x(- -,+),y(- -,+)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)，或稱，或稱X與與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)。即即F(x,y)為事件為

38、事件X x與與Y y同時(shí)發(fā)生的概率。同時(shí)發(fā)生的概率。2 2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：幾何意義：若把二維隨機(jī)變量若把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x,y)在在(x,y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值F(x0,y0)就表示就表示隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域 - -X x0， - -Y y0中的概率。如圖陰影部分：中的概率。如圖陰影部分：(x0,y0)xyO 對(duì)于對(duì)于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 )，則隨機(jī)點(diǎn)，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域落在矩形區(qū)域x1

39、X x2，y1Y y2內(nèi)的概率可用分內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為布函數(shù)表示為P(x1X x2，y1Y y2)F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)(x1, y1)(x2, y2)O x1 x2 xy1y2y分布函數(shù)分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：(,)lim( , )0 xyFF x y 1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)對(duì)任意對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。(2)F(x, y)是變量是變量x或或y的非降函數(shù)，即的非降函數(shù)，即 對(duì)任意對(duì)任意y R,

40、當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x1,y) F(x2,y)； 對(duì)任意對(duì)任意x R, 當(dāng)當(dāng)y1y2時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x,y1) F(x,y2)。(3),(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)函數(shù)函數(shù)F(x,y)關(guān)于關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于是右連續(xù)的，關(guān)于y也也是右連續(xù)的，是右連續(xù)的，即對(duì)任意即對(duì)任意x R，y R，有，有(5)對(duì)于任意對(duì)于任意(x1, y1)，(x2, y2) R2，(x1x2，y10,1|1|lim1 niinXnP2 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：機(jī)現(xiàn)象最根本的

41、性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性中心極限定理中心極限定理 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見. 觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)因素在總的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)因素在總影響中所起的作用不大影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布.定理：（定理：（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）獨(dú)立同分布下的中心極限定理）它表明，當(dāng)它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大

42、時(shí)，n個(gè)具有期望和方差個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且變量序列，且E(Xi)= ，Var(Xi)= ，i=1,2,，則，則2 lim1xnnXPniinx-2t -dte212 第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 總體和樣本總體和樣本 幾個(gè)常用的分布和抽樣分布幾個(gè)常用的分布和抽樣分布總體和樣本總體和樣本一、總體一、總體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把所研究的對(duì)象的全體稱為在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把所研究的對(duì)象的全體稱為總體總體。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，一般記為通常指研究對(duì)

43、象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，一般記為X。 把總體的每一個(gè)基本單位稱為把總體的每一個(gè)基本單位稱為個(gè)體個(gè)體。如全體在校生的身高如全體在校生的身高X，某批燈泡的壽命，某批燈泡的壽命Y。對(duì)不同的個(gè)體，對(duì)不同的個(gè)體，X的取值是不同的。的取值是不同的。X是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。X的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體就是指分布。就是指分布。二、隨機(jī)樣本二、隨機(jī)樣本從總體從總體X中抽出若干個(gè)個(gè)體稱為中抽出若干個(gè)個(gè)體稱為樣本樣本，一般記為，一般記為(X1,X2,Xn)。n稱為稱為樣本容量樣本容量。而對(duì)這。而對(duì)這n個(gè)個(gè)體的一次個(gè)個(gè)體的一次具體的觀察結(jié)果具體的觀察結(jié)

44、果(x1,x2,xn)是完全確定的一組數(shù)值是完全確定的一組數(shù)值，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。(x1,x2,xn)稱為樣稱為樣本觀察值。本觀察值。如果樣本如果樣本(X1,X2,Xn)滿足滿足(1)代表性：樣本的每個(gè)分量代表性：樣本的每個(gè)分量Xi與與X有相同的分布；有相同的分布；(2)獨(dú)立性：獨(dú)立性： X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱樣本則稱樣本(X1,X2,Xn)為為簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本。設(shè)總體設(shè)總體X的分布為的分布為F(x)，則樣本，則樣本(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分的聯(lián)合分布為布為),(),(221121nnnxXxXxX

45、PxxxF)()()(2211nnxXPxXPxXPniinxFxFxFxF121)()()()(當(dāng)總體當(dāng)總體X是離散型時(shí)，其分布律為是離散型時(shí)，其分布律為iipxXP)(, 2 , 1i樣本的聯(lián)合分布律為樣本的聯(lián)合分布律為)()()(),(22112211nnnnxXPxXPxXPxXxXxXPniixXP1)(當(dāng)總體當(dāng)總體X是連續(xù)型時(shí)，是連續(xù)型時(shí)， Xf(x)，則樣本的聯(lián)合密度為，則樣本的聯(lián)合密度為niinxfxxxf121)(),(總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資

46、料樣本觀察值，去推斷總樣本觀察值，去推斷總體的情況體的情況總體分布?？傮w分布決定了樣本取值的總體分布?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本去推斷總體?？梢杂脴颖救ネ茢嗫傮w。三、統(tǒng)計(jì)量三、統(tǒng)計(jì)量 樣本是我們進(jìn)行分析和推斷的起點(diǎn)，但實(shí)際上我樣本是我們進(jìn)行分析和推斷的起點(diǎn)，但實(shí)際上我們并不直接用樣本進(jìn)行推斷，而需對(duì)樣本進(jìn)行們并不直接用樣本進(jìn)行推斷，而需對(duì)樣本進(jìn)行“加工加工”和和“提煉提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來，為此，將分散于樣本中的信息集中起來，為此引入統(tǒng)計(jì)量的概念。引入統(tǒng)計(jì)量的概念。 (X1,X2,

47、Xn)g(X1,X2,Xn)其中其中g(shù)(x1,x2,xn)是是(x1,x2,xn)的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。如果如果g(X1,X2,Xn)中不含有未知參數(shù)，稱中不含有未知參數(shù)，稱g(X1,X2,Xn)為為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）),(2NX如如2,未知：未知：niiXnX11niiX12是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量X221iX不是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量若若已知，已知，2未知：未知：521,maxXXXX是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本均值niiXnX11樣本方差樣本方差niiXXnS122)(11樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差niiXXnS12)(1

48、1樣本樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩nikikXnA11, 2 , 1knikikXXnM1)(1, 2 , 1k樣本樣本k階中心矩階中心矩幾個(gè)常用的分布和抽樣分布幾個(gè)常用的分布和抽樣分布(一一) 2分布分布1、定義：設(shè)、定義：設(shè)n個(gè)個(gè)r.v. X1,X2,Xn，XiN(0,1)，i=1,2,n則稱則稱一、常用分布一、常用分布 2分布、分布、 t 分布和分布和F分布。分布。 )(2122nXnii服從自由度為服從自由度為n的的 2分布。分布。 2分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù)f(y)曲線曲線/ 211222( /2)10,0( )0,0( ),0.nnynxtyeyf yyxte dt x其中2、性質(zhì)、

49、性質(zhì)(1)nE)(2nD2)(2(2) 2分布的可加性分布的可加性)(121nX)(222nXX1, X2 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則X1+X2 2(n1+n2)練習(xí)練習(xí)3、 2分布表及有關(guān)計(jì)算分布表及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成構(gòu)成 P 2(n)=p，已知，已知n,p可查表求得可查表求得;(2)有關(guān)計(jì)算有關(guān)計(jì)算pnP)(2)(2npp分位點(diǎn)分位點(diǎn)1、定義、定義 若若XN(0, 1)，Y 2(n)，X與與Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則).(ntnYXT t(n)稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布。分布。(二二) t分布分布t(n) 的概率密度為的概率密度為tntnnntfn,)1 ()2()21()(2122、基本

50、性質(zhì)、基本性質(zhì): (1) f(t)關(guān)于關(guān)于t=0(縱軸縱軸)對(duì)稱；對(duì)稱；(2) f(t)的極限為的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即 3、t分布表及有關(guān)計(jì)算分布表及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成：構(gòu)成： Pt(n)=p(2)有關(guān)計(jì)算有關(guān)計(jì)算Pt(n)=p，=tp(n)xettftn,21)()(lim22p注注:)()(1ntntpp)(1ntp)(ntp(三三) F分布分布1、定義、定義 若若X 2(n1)，Y 2(n2) ，X,Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則),(2121nnFnYnXF 稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分布，其分布，其概率密度為概率密度為0

51、, 00,)1)(2()()/)(2()(2/ )(2122122/212121111yyynnnynnnnyhnnnnn2、 F分布表及有關(guān)計(jì)算分布表及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成：構(gòu)成：PF(n1,n2)=p(2)有關(guān)計(jì)算有關(guān)計(jì)算PF(n1,n2)=p=Fp(n1,n2)一、抽樣分布一、抽樣分布 1、設(shè)、設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是正態(tài)總體N(,2)的樣本，的樣本，則則 (1)nNX2,(2) 1() 1(222nSn(3)X與與S2獨(dú)立獨(dú)立2、設(shè)、設(shè)(X1i,X2i,Xnii)是來自具有相同方差是來自具有相同方差2 ，均值為，均值為i的正態(tài)總體的正態(tài)總體N(i,2)的樣本，的樣本，i=1,2

52、,t，且設(shè)這，且設(shè)這t個(gè)樣本個(gè)樣本之間相互獨(dú)立，設(shè)之間相互獨(dú)立，設(shè)分別是第分別是第i個(gè)總體的樣本均值和樣本方差，個(gè)總體的樣本均值和樣本方差，i=1,2,t，則有則有(1)2t個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量injjiiiXnX11injijiiiXXnS122)(11;,21tXXX22221,tSSS是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。(2)()() 1(22112212tnXXSntinjijiniiii其中其中tnnnn21(3)當(dāng)當(dāng)t=2時(shí)，有時(shí)，有)2(112) 1() 1()()(2121212222112121nntnnnnSnSnXX3、設(shè)、設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是正態(tài)總體N(,2)的樣

53、本，的樣本，則則) 1(ntnSX。 稱稱為為混混合合樣樣本本方方差差其其中中就就有有, , ,假假定定進(jìn)進(jìn)一一步步, ,2) 1() 1() 1, 1(/1/1)(2122221122121212221*nnSnSnSnntnnSYXTww(2)4、設(shè)、設(shè)(X1,X2,Xn1)是是N(1,12)的樣本，的樣本，(Y1,Y2,Yn2)是是N(2,22)的樣本，且相互獨(dú)立，的樣本，且相互獨(dú)立，S12，S22是樣本方差，是樣本方差，則則(1) 1, 1(2122222121nnFSSF第六章第六章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

54、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)的概念一、參數(shù)估計(jì)的概念問題的提出：已知總體問題的提出：已知總體X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x;1,2,k)，其中其中1, 2, k是未知參數(shù)。是未知參數(shù)。點(diǎn)估計(jì)：由總體的樣本點(diǎn)估計(jì)：由總體的樣本(X1,X2,Xn)對(duì)每一個(gè)未知參數(shù)對(duì)每一個(gè)未知參數(shù)i(i=1,2,k)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量),(21niiXXX作為參數(shù)作為參數(shù)i的的估計(jì)估計(jì)，稱，稱),(21niiXXX為參數(shù)為參數(shù)i的的估計(jì)量估計(jì)量。樣本樣本(X1,X2,Xn)的一組取值的一組取值(x1,x2,xn)稱為樣本觀察稱為樣本觀察值，將其代入估計(jì)量值，將其代入估計(jì)量i，得到數(shù)值，

55、得到數(shù)值),(21niixxx稱為參數(shù)稱為參數(shù)i的的估計(jì)值估計(jì)值。由于由于),(21nixxx現(xiàn)用它來估計(jì)未知參數(shù)現(xiàn)用它來估計(jì)未知參數(shù) ，故稱這種估計(jì)為故稱這種估計(jì)為點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)。是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)點(diǎn)，是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)估計(jì)的經(jīng)典方法是：點(diǎn)估計(jì)的經(jīng)典方法是： (1)矩估計(jì)法矩估計(jì)法 (2)極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法二、矩估計(jì)法二、矩估計(jì)法(簡稱簡稱“矩法矩法”) 英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(Karl Pearson)提出提出1、矩法的基本思想：、矩法的基本思想：以樣本矩作為相應(yīng)的總體同階矩的估計(jì)；以樣本矩作為相應(yīng)的總體同階矩的估計(jì)；以樣本矩的函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的同一函數(shù)的以樣本

56、矩的函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的同一函數(shù)的估計(jì)。估計(jì)。2、矩法的步驟：、矩法的步驟：設(shè)總體設(shè)總體X的分布為的分布為F(x;1,2,k)，k個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)1,2,k待估計(jì)，待估計(jì)，(X1,X2,Xn)是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本 。(1)計(jì)算總體分布的計(jì)算總體分布的i階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩E(Xi)=i(1,2,k)，i=1,2,k，(計(jì)算到計(jì)算到k階矩為止，階矩為止，k個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù))；(2)列方程列方程njkjkkkknjjknjjkXnXXEXnXXEXnXXE121122221212111)(),(1)(),(1)(),(從中解出方程組的解，記為從中解出方程組的解，記為k21，則則k21，為參數(shù)為參數(shù)1,2,k

57、的矩估計(jì)。的矩估計(jì)。二、極大似然估計(jì)法二、極大似然估計(jì)法( (R.A.Fisher) )例例 設(shè)總體設(shè)總體X服從服從01分布，即分布律為分布，即分布律為)()1 ()(1ixxxfxXPi=0,1，其中，其中01未知未知(X1,X2,Xn)為為X的一個(gè)樣本，設(shè)其觀察值為的一個(gè)樣本，設(shè)其觀察值為(x1,x2,xn)，則事件則事件(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為niiinnxXPxXxXxXP12211)(),(niixf1);(nixxii11)1 (niiniixnx11)1 (對(duì)于給定的樣本觀察值，上述概率為對(duì)于給定的樣本觀察值，上述概率為的函數(shù)，稱其為似的函數(shù)

58、，稱其為似然函數(shù)，并記為然函數(shù)，并記為L()為使上述隨機(jī)事件的概率達(dá)到最大，為使上述隨機(jī)事件的概率達(dá)到最大，應(yīng)選取使應(yīng)選取使L()達(dá)到最大的參數(shù)值達(dá)到最大的參數(shù)值(如果存在如果存在)，即，即)(max)(10LL1、極大似然估計(jì)法的基本思想、極大似然估計(jì)法的基本思想 一般說，事件一般說，事件A發(fā)生的概率與參數(shù)發(fā)生的概率與參數(shù) 有關(guān)，有關(guān)， 取值不同，則取值不同，則P(A)也不同。因而應(yīng)記也不同。因而應(yīng)記事件事件A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為P(A| )。若。若A發(fā)生了，則認(rèn)為此時(shí)的發(fā)生了，則認(rèn)為此時(shí)的 值應(yīng)是值應(yīng)是在在 中使中使P(A| )達(dá)到最大的那一個(gè)達(dá)到最大的那一個(gè)。使得取該樣本值發(fā)生的可能

59、性最大。使得取該樣本值發(fā)生的可能性最大。 由樣本的具體取值，選擇參數(shù)由樣本的具體取值，選擇參數(shù)的估計(jì)量的估計(jì)量 對(duì)每一樣本值對(duì)每一樣本值(x1,x2,xn)，在參數(shù)空間，在參數(shù)空間 內(nèi)使似內(nèi)使似然函數(shù)然函數(shù)L(x1,x2,xn;)達(dá)到最大的參數(shù)估計(jì)值達(dá)到最大的參數(shù)估計(jì)值,稱為參數(shù)稱為參數(shù)的的極大似然估計(jì)值極大似然估計(jì)值，它滿足，它滿足),.,(21nxxx);,.,(max),.,(;,.,(212121nnnxxxLxxxxxxL稱統(tǒng)計(jì)量稱統(tǒng)計(jì)量),.,(21nXXX為參數(shù)為參數(shù)的的極大似然估計(jì)量極大似然估計(jì)量。記為記為L2、似然函數(shù)與極大似然估計(jì)似然函數(shù)與極大似然估計(jì)niinxfxxLL11);();,()(設(shè)設(shè),),;(,1xfXXiidn則稱則稱為該總體為該總體X的的似然函數(shù)似然函數(shù)。3、求極大似然估計(jì)的步驟、求極大似然估計(jì)的步驟設(shè)總體設(shè)總體X的分布中，有的分布中，有m個(gè)未知參數(shù)個(gè)未知參數(shù)1,2,m，它們，它們的取值范圍的取值范圍 。(1)寫出似然函數(shù)寫出似然函數(shù)L的表達(dá)式的表達(dá)式如果如果X是離散型隨機(jī)變量，