2015年高考數(shù)學(xué)文真題分類匯編：專題06數(shù)列

1、1.【2015高考新課標(biāo)1，文7】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】公差，解得=，故選B.【考點定位】等差數(shù)列通項公式及前n項和公式【名師點睛】解等差數(shù)列問題關(guān)鍵在于熟記等差數(shù)列定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式，利用方程思想和公式列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，利用等差數(shù)列性質(zhì)可以簡化計算.2.【2015高考陜西，文13】中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為_【答案】5【解析】若這組數(shù)有個，則，又，所以；若這組數(shù)有個，則，又，所以；故答案為5【考點定位】等差數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】

2、1.本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，這組數(shù)字有可能是偶數(shù)個，也有可能是奇數(shù)個.然后利用等差數(shù)列性質(zhì).2.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性.3.【2015高考廣東，文13】若三個正數(shù)，成等比數(shù)列，其中，則 【答案】【解析】因為三個正數(shù)，成等比數(shù)列，所以，因為，所以，所以答案應(yīng)填：【考點定位】等比中項【名師點晴】本題主要考查的是等比中項，屬于容易題解題時要抓住關(guān)鍵字眼“正數(shù)”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是等比中項的概念，即若，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項，即4.【2015高考福建，文16】若 是函數(shù) 的兩個不同的零點，且 這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等

3、于_【答案】9【解析】由韋達定理得，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，必為等比中項，故，當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項，當(dāng)是等差中項時，解得，；當(dāng)是等差中項時，解得，綜上所述，所以【考點定位】等差中項和等比中項【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項和等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進行討論，屬于難題5.【2015高考浙江，文10】已知是等差數(shù)列，公差不為零若，成等比數(shù)列，且，則 ， 【答案】【解析】由題可得，故有，又因為，即，所以.【考點定位】1.等差數(shù)列的定義和通項公式；2.等比

4、中項.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義和通項公式.主要考查學(xué)生利用等差數(shù)列的定義以及等比中項的性質(zhì)，建立方程組求解數(shù)列的首項與公差.本題屬于容易題，主要考查學(xué)生正確運算的能力.6.【2015高考新課標(biāo)1，文13】數(shù)列中為的前n項和，若，則 .【答案】6【解析】，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，n=6.考點：等比數(shù)列定義與前n項和公式【名師點睛】解等差數(shù)列問題關(guān)鍵在于熟記等比數(shù)列定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式，利用方程思想和公式列出關(guān)于首項與公比的方程，解出首項與公比，利用等比數(shù)列性質(zhì)可以簡化計算.7.【2015高考安徽，文13】已知數(shù)列中，（），則數(shù)列的前9項和等于 .【答案】2

5、7【解析】時，為首項，為公差的等差數(shù)列【考點定位】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式的應(yīng)用.【名師點睛】能夠從遞推公式判斷數(shù)列的類型或采用和種方法是解決本題的關(guān)鍵，這需要考生平時多加積累，同時本題還考查了等差數(shù)列的基本公式的應(yīng)用，考查了考生的基本運算能力.8.【2015高考福建，文17】等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求的值【答案】（）；（）【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得，解得所以（II）由（I）可得所以【考點定位】1、等差數(shù)列通項公式；2、分組求和法【名師點睛】確定等差數(shù)列的基本量是所以確定等差數(shù)列需要兩個獨立條件，求數(shù)列前n項和常用的方法有四種：（1）裂

6、項相消法（通過將通項公式裂成兩項的差或和，在前n項相加的過程中相互抵消）；（2）錯位相減法（適合于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列型）；（3）分組求和法(根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，將其分解為等差數(shù)列求和以及等比數(shù)列求和)；（4）奇偶項分析法（適合于整個數(shù)列特征不明顯，但是奇數(shù)項之間以及偶數(shù)項之間有明顯的等差數(shù)列特征或等比數(shù)列特征）9.【2015高考北京，文16】（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列滿足，（I）求的通項公式；（II）設(shè)等比數(shù)列滿足，問：與數(shù)列的第幾項相等？【答案】（I）；（II）與數(shù)列的第項相等.【解析】試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力

7、、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.（I）利用等差數(shù)列的通項公式，將轉(zhuǎn)化成和，解方程得到和的值，直接寫出等差數(shù)列的通項公式即可；（II）先利用第一問的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項公式，將和轉(zhuǎn)化為和，解出和的值，得到的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項公式中，解出的值，即項數(shù).試題解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，所以.又因為，所以，故.所以 .（）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因為，所以，.所以.由，得.所以與數(shù)列的第項相等.考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式.【名師點晴】本題主要考查的是等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式，屬于中檔題本題通過求等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量，利用通項公式求解解本題需要掌握的知

8、識點是等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式，即等差數(shù)列的通項公式：，等比數(shù)列的通項公式：10.【2015高考安徽，文18】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)為數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前n項和.【答案】（）（） 【解析】（）由題設(shè)可知，又， 可解的或（舍去）由得公比，故.（）又所以.【考點定位】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項和，以及利用裂項相消法求和.【名師點睛】本題利用“若，則”，是解決本題的關(guān)鍵，同時考生發(fā)現(xiàn)是解決本題求和的關(guān)鍵,本題考查了考生的基礎(chǔ)運算能力.11.【2015高考廣東，文19】（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且當(dāng)時，

9、（1）求的值；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】試題分析：（1）令可得的值；（2）先將（）轉(zhuǎn)化為，再利用等比數(shù)列的定義可證是等比數(shù)列；（3）先由（2）可得數(shù)列的通項公式，再將數(shù)列的通項公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列是等差數(shù)列，進而可得數(shù)列的通項公式試題解析：（1）當(dāng)時，即，解得：（2）因為（），所以（），即（），因為，所以，因為，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列（3）由（2）知：數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以即，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式是考點：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的通項公式；3、等差數(shù)

10、列的通項公式.【名師點晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的通項公式，屬于難題本題通過將的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系式，利用等比數(shù)列的定義進行證明，進而可得通項公式，根據(jù)通項公式的特點構(gòu)造成等差數(shù)列進行求解解題時一定要注意關(guān)鍵條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的通項公式，即等比數(shù)列的定義：（常數(shù)），等比數(shù)列的通項公式：，等差數(shù)列的通項公式：12.【2015高考湖北，文19】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，等比數(shù)列的公比為q已知，（）求數(shù)列，的通項公式；（）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前n項和【答案】（）或；（）.

11、 【考點定位】本題綜合考查等差數(shù)列、等比數(shù)列和錯位相減法求和，屬中檔題.【名師點睛】這是一道簡單綜合試題，其解題思路：第一問直接借助等差、等比數(shù)列的通項公式列出方程進行求解，第二問運用錯位相減法直接對其進行求和.體現(xiàn)高考堅持以基礎(chǔ)為主，以教材為藍本，注重計算能力培養(yǎng)的基本方向.13.【2015高考湖南，文19】（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且，（I）證明：；（II）求?！敬鸢浮浚↖）略；(II) 【解析】試題分析：（I）當(dāng)時，由題可得，兩式子相減可得，即，然后驗證當(dāng)n=1時，命題成立即可； (II)通過求解數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的和即可得到其對應(yīng)前n項和的通項公式.試題解析：（I）

12、由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，。（II）由（I）知，所以，于是數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是 從而，綜上所述，。【考點定位】數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列求和【名師點睛】已知數(shù)列an的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時an的表達式；(3)對n1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫數(shù)列求和的常用方法有倒

13、序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進行選用.14。【2015高考湖南，文21】 （本小題滿分13分）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點。（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）若對一切恒成立，求的取值范圍。【答案】（I）略；(II) 【解析】試題分析：（I）由題 ，令 ，求出函數(shù)的極值點，根據(jù)等比數(shù)列定義即可得到結(jié)果；(II)由題意問題等價于恒成立問題，設(shè)，然后運用導(dǎo)數(shù)知識得到，所以，求得，得到的取值范圍；試題解析：（I） 令，由，得，即， 而對于，當(dāng)時，若，即，則；若，即，則；因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是當(dāng)時，取得極值，所以，此時，易知，而是常數(shù)，故

14、數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。（II）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立， 設(shè)，則，令得，當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因為，且當(dāng)時，所以因此，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實數(shù)的取值范圍是。【考點定位】恒成立問題；等比數(shù)列的性質(zhì)【名師點睛】解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問題時，如果是證明題要根據(jù)等比數(shù)列的定義明確證明的方向，如果是不等式恒成立問題，要使用不等式恒成立的各種不同解法，如變量分離法、最值法、因式分解法等，總之解決這類問題把數(shù)列看做特殊函數(shù)，并把它和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了15.【2015高考山東，文19】已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.

15、（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 【答案】（I） (II) 【解析】（I）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，所以.令得，所以.解得，所以（II）由（I）知所以所以兩式相減，得所以【考點定位】1.等差數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列的求和、“錯位相減法”.【名師點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的求和、“錯位相減法”等，解答本題的關(guān)鍵，首先是注意運用從一般到特殊的處理方法，準(zhǔn)確確定等差數(shù)列的通項公式；其次就是能對所得數(shù)學(xué)式子準(zhǔn)確地變形，本題易錯點在于錯位相減后求和時，弄錯數(shù)列的項數(shù)，或忘記從化簡到.本題是一道能力題，屬于中等題.在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能

16、力.本題是教科書及教輔材料常見題型，能使考生心理更穩(wěn)定，利于正常發(fā)揮.16.【2015高考陜西，文21】設(shè)(I)求；(II)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且.【答案】(I) ；(II)證明略，詳見解析.試題解析：(I)由題設(shè)，所以 由 得 ，所以 (II)因為，所以在內(nèi)至少存在一個零點，又所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個零點，由于，所以由此可得故所以【考點定位】1.錯位相減法；2.零點存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.【名師點睛】（1）在函數(shù)出現(xiàn)多項求和形式，可以類比數(shù)列求和的方法進行求和；（2）證明零點的唯一可以從兩點出發(fā)：先使用零點存在性定理證明零點的存在性，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明

17、零點的唯一性；（2）有關(guān)函數(shù)中的不等式證明，一般是先構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可；（4）本題屬于中檔題，要求有較高邏輯思維能力和計算能力.17.【2015高考四川，文16】設(shè)數(shù)列an(n1，2，3)的前n項和Sn滿足Sn2ana3，且a1，a21，a3成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項公式；()設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn. 【解析】() 由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)即an2an1(n2)從而a22a1，a32a24a1，又因為a1，a21，a3成等差數(shù)列即a1a32(a21)所以a14a12(2a11)，解得a12所以，數(shù)列an是首項為2，公比為2

18、的等比數(shù)列故an2n.()由()得所以Tn【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.【名師點睛】數(shù)列問題放在解答題第一題，通常就考查基本概念和基本運算，對于已知條件是Sn與an關(guān)系式的問題，基本處理方法是“變更序號作差”，這種方法中一定要注意首項a1是否滿足一般規(guī)律(代入檢驗即可，或者根據(jù)變換過程中n的范圍和遞推關(guān)系中的表達式判斷).數(shù)列求和時，一定要注意首項、公比和項數(shù)都不能出錯.同時注意，對于較為簡單的試題，解析步驟一定要詳細具體，不可隨意跳步.屬于簡單題.18.【2015高考天津，文18】（本小題滿分13分）已知是各項均為正數(shù)的

19、等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,.（I）求和的通項公式;（II）設(shè),求數(shù)列的前n項和.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）列出關(guān)于q與d的方程組,通過解方程組求出q,d,即可確定通項;（II）用錯位相減法求和.試題解析:（I）設(shè)的公比為q,的公差為d,由題意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通項公式為, 的通項公式為.（II）由（I）有 ,設(shè)的前n項和為 ,則 兩式相減得所以 .【考點定位】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及錯位相減法求和,考查基本運算能力.【名師點睛】近幾年高考試題中求數(shù)列通項的題目頻頻出現(xiàn),尤其對等差、等比數(shù)列的通項考查較多,解決此類 問題要重視方程思想的應(yīng)用.錯位

20、相減法求和也是高考考查頻率較高的一類方法,從歷年考試情況來看,這類問題,運算失誤較多,應(yīng)引起考生重視.19.【2015高考浙江，文17】（本題滿分15分）已知數(shù)列和滿足，.（1）求與；（2）記數(shù)列的前n項和為，求.【答案】(1)；(2)【解析】(1)根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式，確定數(shù)列的特點，得到數(shù)列的通項公式；(2)根據(jù)(1)問得到新的數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法進行數(shù)列求和.試題解析：(1)由，得.當(dāng)時，故.當(dāng)時，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以所以.【考點定位】1.等差等比數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列的遞推關(guān)系式；3.錯位相減法求和.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的求和.根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式推理得到數(shù)列的性質(zhì)和特點，以此得到數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法計算新組合的數(shù)列的求和問題.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生基本的運算能力.20.【2015高考重慶，文16】已知等差數(shù)列滿足=2，前3項和=.()求的通項公式，()設(shè)等比數(shù)列滿足=，=，求前n項和. 【答案】（），（）.【解析】試題分析：（）由已知及等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式可得關(guān)于數(shù)列的首項a1和公式d的二元