概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一講

1、2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院1概率論與隨機(jī)過程概率論與隨機(jī)過程黎淑蘭黎淑蘭n學(xué)時數(shù)：學(xué)時數(shù)：54n教材：王玉孝，教材：王玉孝，概率論與隨機(jī)過程概率論與隨機(jī)過程，北郵出版社，北郵出版社n參考書：參考書：n陸大琻，陸大琻，隨機(jī)過程及其應(yīng)用隨機(jī)過程及其應(yīng)用，清華大學(xué)出版社，清華大學(xué)出版社n嚴(yán)士健等，嚴(yán)士健等，測度與概率測度與概率，北京師范大學(xué)出版社，北京師范大學(xué)出版社n張朝金著，張朝金著，概率論中的反例概率論中的反例1.王玉孝，王玉孝，概率論與隨機(jī)過程習(xí)題解答概率論與隨機(jī)過程習(xí)題解答，北郵教材，北郵教材中心中心2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院2教學(xué)安排教學(xué)安排n先修課程：高等

2、數(shù)學(xué)，概率論先修課程：高等數(shù)學(xué)，概率論n考試：閉卷，期末考試：閉卷，期末70%，平時，平時30%n電子郵件：電子郵件： 17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點(diǎn)，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這點(diǎn)，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期使歐幾里得使歐幾里得幾何相形見絀幾何相形見絀的若干重大成就之一。的若干

3、重大成就之一。一、概率論與隨機(jī)過程的歷史及應(yīng)用1. 概率論的誕生及發(fā)展概率論的誕生及發(fā)展 概率論起源于對賭博問題的研究。早在概率論起源于對賭博問題的研究。早在16世世紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快就被人淡忘了。于是很快就被人淡忘了。概率概念的要旨在概率概念的要旨在17世世紀(jì)中葉法國數(shù)學(xué)

4、家帕斯卡（紀(jì)中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（16231662）與費(fèi)馬）與費(fèi)馬（16011665）的討論中才比較明確。）的討論中才比較明確。 1651年年,一個名叫梅累的騎士和朋友保羅各出一個名叫梅累的騎士和朋友保羅各出30枚金枚金幣作為賭金，兩人事先選好一個點(diǎn)數(shù)，梅累選擇了幣作為賭金，兩人事先選好一個點(diǎn)數(shù)，梅累選擇了“5”，保羅選擇了，保羅選擇了“3”，游戲規(guī)則是：如果誰先擲出，游戲規(guī)則是：如果誰先擲出了了3次自己所選的點(diǎn)數(shù)，誰就贏得全部次自己所選的點(diǎn)數(shù)，誰就贏得全部60個金幣。游戲個金幣。游戲進(jìn)行到梅累擲出進(jìn)行到梅累擲出2次次“5”點(diǎn)，保羅擲出點(diǎn)，保羅擲出1次次“3”點(diǎn)時，點(diǎn)時，由于發(fā)生一個緊急事情，

5、梅累必須馬上離開，游戲因此由于發(fā)生一個緊急事情，梅累必須馬上離開，游戲因此中斷，兩人為賭本的分配問題爭執(zhí)不下，恰逢帕斯卡經(jīng)中斷，兩人為賭本的分配問題爭執(zhí)不下，恰逢帕斯卡經(jīng)過梅累他們所在的小鎮(zhèn)，于是梅累就過梅累他們所在的小鎮(zhèn)，于是梅累就“分賭金問題分賭金問題”求求教于帕斯卡。教于帕斯卡。 帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題，引進(jìn)了遞推法、差分方帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題，引進(jìn)了遞推法、差分方程法作為解決復(fù)雜概率計算問題的有力工具，并程法作為解決復(fù)雜概率計算問題的有力工具，并 于于1654 年共年共同建立了概率論的第一個基本概念。同建立了概率論的第一個基本概念。 在這期間，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯在這期間，荷

6、蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（16291695）恰好在巴黎恰好在巴黎，也參，也參與與過他倆的討論。后來，在過他倆的討論。后來，在1657年，他把討論結(jié)果寫年，他把討論結(jié)果寫成了一本書成了一本書論賭博中的計算論賭博中的計算，這是概率論發(fā)展史上的第，這是概率論發(fā)展史上的第一本著作。一本著作。書中在歷史上第一次把以前的概率論知識系統(tǒng)化書中在歷史上第一次把以前的概率論知識系統(tǒng)化、公式化和一般化，第一次把概率論建立在公理、命題和問、公式化和一般化，第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構(gòu)成一個較完整的理論體系。因此，該書被看著是概題上而構(gòu)成一個較完整的理論體系。因此，該書被看著是概率論誕生的標(biāo)志。率論誕生的標(biāo)志。

7、他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?，都首先涉及了?shù)學(xué)期望這一概他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?，都首先涉及了?shù)學(xué)期望這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ)念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ)。 使概率論成為數(shù)學(xué)一個分支的使概率論成為數(shù)學(xué)一個分支的真正真正奠基人是奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利伯努利（16541705），他的，他的重要貢獻(xiàn)是建立了概率論中的第一個極限定理，重要貢獻(xiàn)是建立了概率論中的第一個極限定理，即伯努利大數(shù)定律，發(fā)表在即伯努利大數(shù)定律，發(fā)表在1713出版的遺著猜出版的遺著猜度術(shù)中。美國概率史專家海金（度術(shù)中。美國概率史專家海金（Hacking）稱此）稱此書標(biāo)志著書標(biāo)志著“概率漫長的形成過程的

8、終結(jié)與數(shù)學(xué)概概率漫長的形成過程的終結(jié)與數(shù)學(xué)概率論的開端率論的開端”。 到了到了1730年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（16671754）出版其著出版其著作分析雜論，當(dāng)中包含了著名的作分析雜論，當(dāng)中包含了著名的“棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定拉普拉斯定理理”。這就是概率論中第二個基本極限定理的原始初形。棣。這就是概率論中第二個基本極限定理的原始初形。棣莫弗莫弗歷史上第一次提出了正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）。歷史上第一次提出了正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）。 接著拉普拉斯接著拉普拉斯（17491827）在在1812年出版的概率的分年出版的概率的分析理論中，首先明確地對概率作了古典的定義。析理論中，首先明確

9、地對概率作了古典的定義。拉普拉斯拉普拉斯以強(qiáng)有力的分析工具處理了概率論的基本內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了從組以強(qiáng)有力的分析工具處理了概率論的基本內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開辟合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開辟了概率論發(fā)展的新時期。了概率論發(fā)展的新時期。 另一在另一在概率論發(fā)展史概率論發(fā)展史上的代表人物是法國的泊松。他上的代表人物是法國的泊松。他推廣了伯努利形式下的大數(shù)定律，研究得出了一種新的推廣了伯努利形式下的大數(shù)定律，研究得出了一種新的分布，就是泊松分布。概率論繼他們之后，分布，就是泊松分布。概率論繼他們之后，在在19世紀(jì)后世紀(jì)后期，期，其中心研究課題

10、則集中在推廣和改進(jìn)伯努利大數(shù)定其中心研究課題則集中在推廣和改進(jìn)伯努利大數(shù)定律及中心極限定理。律及中心極限定理。 俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)Υ俗龀隽酥匾暙I(xiàn)。他建立俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)Υ俗龀隽酥匾暙I(xiàn)。他建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，推廣了棣莫弗了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，推廣了棣莫弗拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學(xué)生馬爾拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學(xué)生馬爾可夫發(fā)揚(yáng)光大，影響了可夫發(fā)揚(yáng)光大，影響了20世紀(jì)概率論發(fā)展的進(jìn)程。世紀(jì)概率論發(fā)展的進(jìn)程。 19世紀(jì)末，一方面概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的世紀(jì)末，一方面概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對概率論基本概念與原理進(jìn)行解釋的

11、需要應(yīng)用提出了對概率論基本概念與原理進(jìn)行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們在這一時期發(fā)現(xiàn)的一些概率論，另一方面，科學(xué)家們在這一時期發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含糊之處。這些問題強(qiáng)烈要求對概率論的邏輯基礎(chǔ)做出糊之處。這些問題強(qiáng)烈要求對概率論的邏輯基礎(chǔ)做出更加嚴(yán)格的考察更加嚴(yán)格的考察，也就是建立，也就是建立概率論的公理化體系概率論的公理化體系。貝特朗悖論 1889年，貝特朗在他的年，貝特朗在他的概率論概率論一書中給出一書中給出了這樣一個例子：在半徑為了這樣一個例子：在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，問其長超過

12、該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概弦，問其長超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為多少率為多少?解法一：任何弦交圓周兩點(diǎn)。不失一般性，先固定其中解法一：任何弦交圓周兩點(diǎn)。不失一般性，先固定其中一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作一內(nèi)接等邊三角形。顯一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作一內(nèi)接等邊三角形。顯然只有落入此三角形的弦才滿足要求，而這種弦的長度然只有落入此三角形的弦才滿足要求，而這種弦的長度為整個圓周的為整個圓周的1/3，故所求概率為，故所求概率為1/3。解法二：弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑解法二：弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為為1/2的同心圓時，弦長大于內(nèi)接等邊三角形邊長，而此小的

13、同心圓時，弦長大于內(nèi)接等邊三角形邊長，而此小圓面積為大圓面積的圓面積為大圓面積的1/4,故所求概率為故所求概率為1/4。解法三：弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，解法三：弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此可假定它垂直于某一直徑。對于這種弦，當(dāng)且僅當(dāng)它因此可假定它垂直于某一直徑。對于這種弦，當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于與圓心的距離小于1/2時，其長才大于內(nèi)接等邊三角形的邊時，其長才大于內(nèi)接等邊三角形的邊長。因此所求概率為長。因此所求概率為1/2。 悖論的根源在于，無論三種情形下的哪一種，都假定悖論的根源在于，無論三種情形下的哪一種，都假定各自的參數(shù)均勻地分布在給定的區(qū)域里。解法

14、各自的參數(shù)均勻地分布在給定的區(qū)域里。解法1中，假定中，假定一端固定而另一端點(diǎn)在圓周上均勻分布；解法一端固定而另一端點(diǎn)在圓周上均勻分布；解法2中，又假中，又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布；而解法定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布；而解法3中，假定弦的中點(diǎn)中，假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布。因此事實(shí)上三個問題都被解出。在直徑上均勻分布。因此事實(shí)上三個問題都被解出。 同一時期還出現(xiàn)了許多悖論，同一時期還出現(xiàn)了許多悖論，“這類悖論說明概率的這類悖論說明概率的概念是以某種確定的試驗(yàn)為前提的，這種試驗(yàn)有時由問題概念是以某種確定的試驗(yàn)為前提的，這種試驗(yàn)有時由問題本身所明確規(guī)定本身所明確規(guī)定,有時則不然。因此貝特朗等悖論的矛

15、頭直有時則不然。因此貝特朗等悖論的矛頭直指概率概念本身指概率概念本身”，正是這些問題促使人們開始深入思考，正是這些問題促使人們開始深入思考概率論的基礎(chǔ)問題。概率論的基礎(chǔ)問題。 俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮米西斯米西斯(R.von Mises,1883-1953)對概率論的嚴(yán)格化做了最早的嘗對概率論的嚴(yán)格化做了最早的嘗試。但試。但他他們提出的公理理論并不完善。事實(shí)上，真正嚴(yán)們提出的公理理論并不完善。事實(shí)上，真正嚴(yán)格的公理化概率論只有在測度論和實(shí)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)格的公理化概率論只有在測度論和實(shí)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)上上才可能建立。測度論的奠基人，法國數(shù)學(xué)家博雷爾才

16、可能建立。測度論的奠基人，法國數(shù)學(xué)家博雷爾(E.Borel,1781-1956)首先將測度論方法引入概率論重要問首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，并且他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方題的研究，并且他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特別是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的向的一系列搜索。特別是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。工作最為卓著。 1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概率論基礎(chǔ)，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其率論基礎(chǔ)，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系

17、列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公理出發(fā)建筑起來。科爾莫戈羅夫的以從這六條公理出發(fā)建筑起來?？茽柲炅_夫的公理體系逐漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)可。由于公公理體系逐漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)可。由于公理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，并通過理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，并通過集合論與其它數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系集合論與其它數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系著著。 在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機(jī)過程的研究獲得了新的起破。公理化概率論首先使隨機(jī)過程的研究獲得了新的起點(diǎn)。點(diǎn)。1

18、931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的隨機(jī)過程通的隨機(jī)過程馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)。馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)。 科爾莫戈羅夫之后，對隨機(jī)過程的研究做出重大貢科爾莫戈羅夫之后，對隨機(jī)過程的研究做出重大貢獻(xiàn)而影響著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維獻(xiàn)而影響著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維(P.Levy,1886-1971)、辛欽、杜布、辛欽、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。和伊藤清等。 1948年萊維出版的著作隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動提出年萊維出版的著作隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動提出了獨(dú)立增量過程的一般理論，并以此為基礎(chǔ)極大地推進(jìn)了了獨(dú)立增量過程的一般理論，

19、并以此為基礎(chǔ)極大地推進(jìn)了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運(yùn)動的研究。作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運(yùn)動的研究。1934年，年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾年，維爾(J.Ville)引引進(jìn)進(jìn)“鞅鞅”的概念，的概念，1950年起，杜布對鞅概念進(jìn)行了系統(tǒng)的研年起，杜布對鞅概念進(jìn)行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨(dú)立的分支。從究而使鞅論成為一門獨(dú)立的分支。從1942年開始，日本數(shù)年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開辟了學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開辟了隨機(jī)過程研究的新道路，而且為隨機(jī)分析這門數(shù)學(xué)新分支隨機(jī)過程研究的新道路，而

20、且為隨機(jī)分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。2. 概率論的應(yīng)用概率論的應(yīng)用 概率論與隨機(jī)過程是數(shù)學(xué)的一個分支，它研概率論與隨機(jī)過程是數(shù)學(xué)的一個分支，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律， 概率論的應(yīng)用幾乎遍及概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、 地震預(yù)報、產(chǎn)地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以進(jìn)行信品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以進(jìn)行信號檢測、信道估計等等號檢測、信道估計等等. .例：試構(gòu)造隨機(jī)試驗(yàn)證明：例：試構(gòu)造隨機(jī)試驗(yàn)證明：0110rrrrm nnmnmnmCC CCCC C隨機(jī)試驗(yàn)：隨

21、機(jī)試驗(yàn)：設(shè)有設(shè)有m+n個球，其中個球，其中m個紅球，個紅球，n個白球，從中取出個白球，從中取出r個球。個球。min( , )rm n2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院20第一章第一章 概率空間概率空間 的概率。為事件稱AP2.1P （歸一性）（歸一性）n概率的定義概率的定義若對若對E 的每一個事件的每一個事件A，有一個實(shí)數(shù)，有一個實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，記為與之對應(yīng)，記為P(A)，且滿足：，且滿足：1.01P A（非負(fù)性）（非負(fù)性）1121,. 3kkkkAPAPAA兩兩互不相容，則有：若事件（可列可加性）（可列可加性） 2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院21第一章第一章 概率空間概率空

22、間 若把若把P(A)看作集合看作集合A的函數(shù)，那么象高等數(shù)學(xué)里的普通函的函數(shù)，那么象高等數(shù)學(xué)里的普通函數(shù)一樣，我們必須考慮數(shù)一樣，我們必須考慮A在何范圍內(nèi)，在何范圍內(nèi)，A P(A)才有定義？這才有定義？這是初等概率論的遺留問題。為此，我們考慮以事件是初等概率論的遺留問題。為此，我們考慮以事件A為元素的為元素的集合，稱為集合，稱為集合類集合類或或事件體事件體，記作，記作F F 。 F F的結(jié)構(gòu)？在的結(jié)構(gòu)？在F F上的概率如何構(gòu)造？這是本章將要討論的主上的概率如何構(gòu)造？這是本章將要討論的主要問題，為此我們必須引入測度論的概念。要問題，為此我們必須引入測度論的概念。 在初等概率論中，我們定義隨機(jī)事件

23、在初等概率論中，我們定義隨機(jī)事件A為樣本空間為樣本空間 的子的子集，即集，即 ，但事實(shí)上是不是任何一個，但事實(shí)上是不是任何一個 的子集都是一個隨的子集都是一個隨機(jī)事件？機(jī)事件？（見張朝金著見張朝金著概率論中的反例概率論中的反例P48）A集合集合 A 與與 B 的差的差圖示圖示 A 與與 B 的差的差. ABABAB AB BA BA ABABAAB 集合的運(yùn)算規(guī)律集合的運(yùn)算規(guī)律.,)1(BAABABBA 交換律交換律),()()2(CBACBA 結(jié)結(jié)合合律律(3)(),ABCACBC 分分配配律律(4):,.ABABABAB德德 摩摩根根律律, A B C設(shè)為 的子集 則有).()(BCACA

24、B ()()()()().ABCACBCACBC 2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院24第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)一、集合代數(shù)和一、集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)定義定義1.1.1 設(shè)設(shè) 是任一非空集合，是任一非空集合， A A是由是由 的一些子集組成的一些子集組成的非空集合類，若的非空集合類，若A A 滿足：滿足：1. A A ； 若若A，B A A ，有，有AB A A （有限并運(yùn)算封閉）；有限并運(yùn)算封閉）；則稱則稱A A是是 上的一個集合代數(shù)，簡稱集代數(shù)。上的一個集合代數(shù)，簡稱集代數(shù)。容易證明集代數(shù)對有限交運(yùn)算也封閉，即：容易證明集代數(shù)對有限交運(yùn)算也封閉，即：

25、若若A A A ，有，有AA A （余運(yùn)算封閉）；（余運(yùn)算封閉）；2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院25定理定理1.1.1 設(shè)設(shè)A A是由是由 的一些子集組成的非空集合類，則：的一些子集組成的非空集合類，則：n若若A A是是 上上的集代數(shù)的集代數(shù) A A是包含是包含 且對余運(yùn)算和有限交且對余運(yùn)算和有限交運(yùn)算封閉；運(yùn)算封閉；1.若若A A是是 上上的集代數(shù)的集代數(shù) A A是包含是包含 且對差運(yùn)算封閉。且對差運(yùn)算封閉。第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)集代數(shù)集代數(shù)包含包含 ，對余運(yùn)算、有限并運(yùn)算封閉，對余運(yùn)算、有限并運(yùn)算封閉包含包含 ，對余運(yùn)算、有限交運(yùn)算封閉，對余運(yùn)算、有

26、限交運(yùn)算封閉包含包含 ，對差運(yùn)算封閉，對差運(yùn)算封閉2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院26第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 -代數(shù)代數(shù)例例 設(shè)設(shè) =R，令：，令： baRbaAAAAARAnknk,121形如A A則：則： A A是是集代數(shù)。集代數(shù)。例例 設(shè)設(shè) =1,2,3,4，試構(gòu)造一個集代數(shù)，試構(gòu)造一個集代數(shù)A A ，使得，使得1 A A，2 A.A.解：解：A=A= ， ，1，2,3,4, 2, 1,3,4, 1,2 , 3,4當(dāng)當(dāng)b=+ 時，時，(a, b=(a,+ )。分析：分析：(1)a=- , b=+ 時，時，(a, b=(- ,+ )= A A (2) 對余運(yùn)算和有限并

27、運(yùn)算封閉對余運(yùn)算和有限并運(yùn)算封閉集代數(shù)集代數(shù)A A包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院27第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)定義定義1.1.2 設(shè)設(shè) 是任一非空集合，是任一非空集合， A A是由是由 的一些子集組成的的一些子集組成的非空集合類，若非空集合類，若A A 滿足：滿足：kA A A若若A A A ，有，有AA A （余運(yùn)算封閉）；（余運(yùn)算封閉）；則稱則稱A A是是 上的一個上的一個 -代數(shù)。代數(shù)。若若 A A ，有，有 A A（可列并運(yùn)算封閉）（可列并運(yùn)算封閉）kA k1kk

28、A -代數(shù)代數(shù)A A包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！集合類集合類 是一個是一個 -代數(shù)。代數(shù)。, 例例2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院28第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 -代數(shù)代數(shù)定理定理1.1.2 設(shè)設(shè)A A是是 -代數(shù)，則：代數(shù)，則： -代數(shù)代數(shù)A A 一一定是集代數(shù)；定是集代數(shù)；若若 A A ，有，有 A A（可列交運(yùn)算封閉）（可列交運(yùn)算封閉）kA k 1kkA 若若 A ，且，且A，A ，則集合類則集合類 是一個是一個 -代數(shù)。代數(shù)。, AA 設(shè)設(shè) 是一非空集合，是一非空集合，F(xiàn) F 是由是由 的一切子集組成的集合類

29、，則的一切子集組成的集合類，則 F F 是一個是一個 -代數(shù)。代數(shù)。 顯然，集代數(shù)的交仍是集代數(shù)；顯然，集代數(shù)的交仍是集代數(shù)； -代數(shù)的交仍是代數(shù)的交仍是 -代數(shù)。代數(shù)。2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院29第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)二、包含某一集合類的最小二、包含某一集合類的最小 - -代數(shù)代數(shù) G G是由是由 的一些子集組成的非空集合類，那么至的一些子集組成的非空集合類，那么至少存在一個少存在一個 - -代數(shù)包含代數(shù)包含G G。為什么？。為什么？ 由于由于F F 是一個是一個 - -代數(shù)，且代數(shù)，且F F G G。 是否存在包含是否存在包含G G 的最小的最

30、小 - -代數(shù)？代數(shù)？若存在，是否唯若存在，是否唯一？一？2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院30第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù) 設(shè)設(shè) 是任一非空集合，是任一非空集合， G G是由是由 的一些子集組成的非的一些子集組成的非空集合類，則存在唯一的空集合類，則存在唯一的 - -代數(shù)代數(shù)F F0，滿足：，滿足：n G G F F0 ；1. 對包含對包含G G的任一的任一 - -代數(shù)代數(shù)A A，有，有F F0 A A證明：構(gòu)造證明：構(gòu)造F F * = A A，即，即所有包含所有包含G G 的的 - -代數(shù)的交。代數(shù)的交。G GA A 下面說明這樣構(gòu)成的下面說明這樣構(gòu)成的F F

31、 *即為包含即為包含G G的最小的的最小的 - -代數(shù)，代數(shù)， F F * = F F0 由于由于 - -代數(shù)的交仍為代數(shù)的交仍為 - -代數(shù)，所以代數(shù)，所以F F *為為包含包含G G的的 - -代數(shù)。代數(shù)。 由構(gòu)造，則可知其最小性及唯一性。由構(gòu)造，則可知其最小性及唯一性。定理定理1.1.32022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院31第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 -代數(shù)代數(shù)定義定義1.1.3 稱定理稱定理1.1.3中的中的F F0是包含是包含G G 的最小的最小 - -代數(shù)，或者代數(shù)，或者是由是由G G生成的生成的 - -代數(shù)，記為代數(shù)，記為 (G G)。例例1.1.2 設(shè)設(shè)A ，且

32、，且A，A ，則包含，則包含A的最小的最小 - -代數(shù)為代數(shù)為 。, AA三、三、Borel域域 設(shè)設(shè) =R(1) ，考慮由，考慮由R(1)的一些子集組成的集合類：的一些子集組成的集合類： G G= (- ,a,a R(1) ，稱，稱 (G G)為為R(1)上上的的Borel域，記為域，記為B B(1) ，并稱，并稱B B (1)中的元素為一維的中的元素為一維的Borel集。集。2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院32第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 -代數(shù)代數(shù)以上定義：以上定義： (G G)= B B (1) ，其中，其中G G= (- ,a,a R(1) (- ,a B B (1)

33、 ， (- ,b B B (1)當(dāng)當(dāng)b a ， (- ,b (- ,a = (a,b B B (1)另：另： 1111,1,B BB Bnnbabanban，則：，有而：而： 1,B Bbabab所以：所以：a,b B B (1) 2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院33推廣情形：推廣情形：設(shè)設(shè) 為為n維維實(shí)數(shù)空間，考慮由實(shí)數(shù)空間，考慮由 的一些子集組成的集合類：的一些子集組成的集合類：第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)( )(1)12RR12nnix,x ,x :x,i, , n( )Rn稱稱 (G G)為為 上的上的Borel域，記作域，記作B B (n)。( )Rn

34、 11,:,1,2,niiiaaRinG G 121,(,):,1,2,其其中中niniiiax xxxa in2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院34第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)四、單調(diào)類和四、單調(diào)類和 - -系、系、 - -系系 實(shí)際問題中要檢驗(yàn)一個集合類是否為實(shí)際問題中要檢驗(yàn)一個集合類是否為 - -代數(shù)比較困難，但把代數(shù)比較困難，但把集代數(shù)與單調(diào)類結(jié)合起來討論，會使問題簡化。集代數(shù)與單調(diào)類結(jié)合起來討論，會使問題簡化。定義定義1.1.4 設(shè)設(shè)A A 由由 的一些子集組成的非空集合類，且滿足：的一些子集組成的非空集合類，且滿足：A AA A12121,nnnnAA

35、AA,nA，則以后表為，若若A AA A12121,nnnnAAAA,nA，則以后表為，若若稱稱A A 是是 上的一個單調(diào)類。上的一個單調(diào)類。 容易證明，單調(diào)類的交仍是單調(diào)類。容易證明，單調(diào)類的交仍是單調(diào)類。2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院35第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 -代數(shù)代數(shù)例例1 BA=A= , ,A, B ，例例2 A =A =,11 , 0( Znn，則，則A A不是單調(diào)類不是單調(diào)類。 1 , 0(11 , 0(1nnA A則則A A為單調(diào)類為單調(diào)類。A2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院36第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)定理定理1.1.

36、4 設(shè)設(shè) 是任一非空集合，是任一非空集合， G G是由是由 的一些子集組成的的一些子集組成的非空集合類，則存在唯一的非空集合類，則存在唯一的 上的單調(diào)類上的單調(diào)類 0，滿足：，滿足：nkknnAB,nA121，令證明：若A A,nBn21 A AA A是集代數(shù)，則：G G 0對包含對包含G G 的任一的任一單調(diào)類單調(diào)類A A，有，有 0 A A稱這樣的單調(diào)類稱這樣的單調(diào)類 0為包含為包含G G 的最小單調(diào)類，記為的最小單調(diào)類，記為 (G G)定理定理1.1.5 -代數(shù)是單調(diào)類；若一集代數(shù)是單調(diào)類，則它是代數(shù)是單調(diào)類；若一集代數(shù)是單調(diào)類，則它是 -代數(shù)。代數(shù)。A AA A121nnnB,nB，則

37、是單調(diào)類，且：又2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院37第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)定理定理1.1.6 若若A A是集代數(shù)，則：是集代數(shù)，則： (A A)= = (A A)證明：證明： - -代數(shù)一定是單調(diào)類，代數(shù)一定是單調(diào)類， (A A) (A A)因此只須證明因此只須證明 (A A)是一是一 - -代數(shù)。代數(shù)。 由于由于集代數(shù)集代數(shù)+ 單調(diào)類單調(diào)類 - -代數(shù)代數(shù) ，所以只須證明，所以只須證明 (A A)是集代數(shù)即可！是集代數(shù)即可！(包含包含 ，對差運(yùn)算封閉，對差運(yùn)算封閉) A A (A A) 若若A，B (A A)，有：，有：AB (A A)2的證明如下：的證

38、明如下：2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院38第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和 - -代數(shù)代數(shù)證明：對任意的證明：對任意的A (A A)，作輔助集合類：，作輔助集合類： A=B：B (A A)，AB，BA (A A)若能證明對任意若能證明對任意A (A A) ，有：，有： A= (A A) 則則 (A A)對差運(yùn)算封閉，得證。對差運(yùn)算封閉，得證。這是因?yàn)閷θ我膺@是因?yàn)閷θ我釧，B (A A)， 由于由于 A= (A A) ，則，則B A A，則則BA (A A)，于是，于是 (A A)對對差運(yùn)算封閉差運(yùn)算封閉顯然：顯然： A (A A) 。下證對下證對任意的任意的A (A A)， (

39、A A) A ，即即 A 為包含為包含A A 的單調(diào)類的單調(diào)類2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院39第一節(jié)第一節(jié) 集合代數(shù)和集合代數(shù)和-代數(shù)代數(shù)不妨分三步加以說明：不妨分三步加以說明： 輔助集合類輔助集合類 A 為為單調(diào)類單調(diào)類 當(dāng)當(dāng)A A A 時，時，A A A1. 當(dāng)當(dāng)A (A A) ，有：，有：A A A2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院401、首先證明、首先證明A (A A) ， A是單調(diào)類是單調(diào)類1nAnnAnBBB欲證明：若，且，有： 為單調(diào)類，而且，A AnnnBAABB A AA AABBABBnnnAn，且，則111,nnnnnnBBAA B，且AAA1111

40、nnnnnnnnBABAABA B又：，AAA1nnB即證：1,nnBA11nnnnBAABAA，(1)2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院411nAnnAnBBB欲證明：若，且，有：(2)1、首先證明、首先證明 A是單調(diào)類是單調(diào)類同理可證。同理可證。從而證明對任意的從而證明對任意的A (A A) ， A是單調(diào)類是單調(diào)類2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院42ABB，有欲證：A A A AA AA ABAAB，是集代數(shù)，有： A AA ABABAA當(dāng)時，有：AA 當(dāng)當(dāng)A A A ，有：，有：A A A,BAB AA BAA，即證：2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院43 BB A AA A ，有有等等價價于于證證明明： AB A A而而 A AA AA A AAA，即即的的結(jié)結(jié)論論有有：，由由2( )則則，AB,B AA AB A A即即： 當(dāng)當(dāng)A (A A) ，有：，有：A A AB, AA有有即即證證對對A ABA 于于是是. )(,A AA A ABB,AA,A有有即即證證對對2022-3-20北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院44第一節(jié)第一節(jié)