定點(diǎn)乘法運(yùn)算

1、2.3 定點(diǎn)乘法運(yùn)算定點(diǎn)乘法運(yùn)算 在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中,兩個(gè)原碼表示的數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)則是兩個(gè)原碼表示的數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)則是:乘積乘積的符號(hào)位由兩數(shù)的符號(hào)位按異或運(yùn)算得到的符號(hào)位由兩數(shù)的符號(hào)位按異或運(yùn)算得到,而乘積的數(shù)值部分則而乘積的數(shù)值部分則是兩個(gè)正數(shù)相乘之積。是兩個(gè)正數(shù)相乘之積。設(shè)設(shè)n位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)被乘數(shù)被乘數(shù) 原原f .n110乘數(shù)乘數(shù) 原原f .n110則乘積則乘積式中式中,f為被乘數(shù)符號(hào)為被乘數(shù)符號(hào),f為乘數(shù)符號(hào)。為乘數(shù)符號(hào)。 原(ff)(0.n110)(0.n110) （2.26）乘積符號(hào)的運(yùn)算法

2、則是：乘積符號(hào)的運(yùn)算法則是：同號(hào)相乘為正同號(hào)相乘為正,異號(hào)相乘為負(fù)異號(hào)相乘為負(fù)。由于被乘。由于被乘數(shù)和乘數(shù)和符號(hào)組合只有四種情況數(shù)和乘數(shù)和符號(hào)組合只有四種情況(ff00,01,10,11),因此因此積的符號(hào)可按積的符號(hào)可按“異或異或”(按位加按位加)運(yùn)算得到。運(yùn)算得到。 數(shù)值部分的運(yùn)算方法與普通的十進(jìn)制小數(shù)乘法類(lèi)似數(shù)值部分的運(yùn)算方法與普通的十進(jìn)制小數(shù)乘法類(lèi)似,不過(guò)對(duì)于不過(guò)對(duì)于用二進(jìn)制表達(dá)式的數(shù)來(lái)說(shuō)用二進(jìn)制表達(dá)式的數(shù)來(lái)說(shuō),其乘法規(guī)則更為簡(jiǎn)單一些。其乘法規(guī)則更為簡(jiǎn)單一些。設(shè)設(shè)0.1101,運(yùn)算的過(guò)程與十進(jìn)制乘法相似運(yùn)算的過(guò)程與十進(jìn)制乘法相似:從乘數(shù)從乘數(shù)的最低位開(kāi)始的最低位開(kāi)始,若這一位為若這一位

3、為“1”,則將被乘數(shù)則將被乘數(shù)寫(xiě)下；若這一位為寫(xiě)下；若這一位為“0”,則寫(xiě)下全則寫(xiě)下全0。然后在對(duì)乘。然后在對(duì)乘數(shù)的最高為進(jìn)行乘法運(yùn)算數(shù)的最高為進(jìn)行乘法運(yùn)算,其規(guī)則同上其規(guī)則同上,不過(guò)這一位乘數(shù)的權(quán)與最不過(guò)這一位乘數(shù)的權(quán)與最低位乘數(shù)的權(quán)不一樣低位乘數(shù)的權(quán)不一樣,因此被乘數(shù)因此被乘數(shù)要左移一位。以此類(lèi)推要左移一位。以此類(lèi)推,直到乘直到乘數(shù)個(gè)位乘完為止數(shù)個(gè)位乘完為止,最后將它們統(tǒng)統(tǒng)加起來(lái)最后將它們統(tǒng)統(tǒng)加起來(lái),變得到最后乘積變得到最后乘積。如果被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)整數(shù)表示如果被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)整數(shù)表示,我們也會(huì)得到同樣的結(jié)果。我們也會(huì)得到同樣的結(jié)果。 人們習(xí)慣的算法對(duì)機(jī)器并不完全適用。原因之一人們習(xí)慣

4、的算法對(duì)機(jī)器并不完全適用。原因之一,機(jī)器通常只有機(jī)器通常只有n位長(zhǎng)位長(zhǎng),兩個(gè)兩個(gè)n位數(shù)相乘位數(shù)相乘,乘積可能為乘積可能為2n位。用這種被乘數(shù)左移的位。用這種被乘數(shù)左移的方法，則需要方法，則需要2n位長(zhǎng)的加法器，不僅不適于定點(diǎn)機(jī)的形式，而位長(zhǎng)的加法器，不僅不適于定點(diǎn)機(jī)的形式，而且還必須設(shè)法將且還必須設(shè)法將n個(gè)位積一次相加起來(lái)，為了簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，機(jī)器通個(gè)位積一次相加起來(lái)，為了簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，機(jī)器通常只有常只有n位長(zhǎng)，并且只有兩個(gè)操作數(shù)相加的加法器位長(zhǎng)，并且只有兩個(gè)操作數(shù)相加的加法器.為此，必須為此，必須修改上述乘法的實(shí)現(xiàn)方法，將修改上述乘法的實(shí)現(xiàn)方法，將xy改寫(xiě)成適于如下定點(diǎn)機(jī)的形式改寫(xiě)成適于如下定點(diǎn)機(jī)的形

5、式: 0. 1 1 0 1 x 0. 1 0 1 1 y 0. 0 0 0 0 1 1 0 1 x共右移共右移4次次 0. 0 0 0 1 1 0 1 x共右移共右移3次次 0. 0 0 0 0 0 0 x共右移共右移2次次 + 0. 0 1 1 0 1 x共右移共右移1次次 0. 1 0 0 0 1 1 1 1 (z) 為了適合于兩個(gè)操作數(shù)相加的加法器為了適合于兩個(gè)操作數(shù)相加的加法器,將將xy進(jìn)一步改寫(xiě)成如下進(jìn)一步改寫(xiě)成如下形式：形式： xy=x(0.1011) =0.1x+0.00 x+0.001x+0.0001x =0.1x+0.10+0.1(x+0.1x) =2-1x+2-10+2-1

6、(x+2-1x) 根據(jù)此式，按照式中括號(hào)所表達(dá)的層次從內(nèi)向外逐根據(jù)此式，按照式中括號(hào)所表達(dá)的層次從內(nèi)向外逐次進(jìn)行移位累加次進(jìn)行移位累加.每算完一層括號(hào)每算完一層括號(hào)2-1（部分積），就得到一個(gè)（部分積），就得到一個(gè)新的部分積，最后的一個(gè)部分積即為乘積新的部分積，最后的一個(gè)部分積即為乘積. 一般而言，設(shè)被乘數(shù)一般而言，設(shè)被乘數(shù)x,乘數(shù)乘數(shù)y都是小于都是小于1的的n位定點(diǎn)正數(shù)位定點(diǎn)正數(shù): x=0.x1x2xn y=0.y1y2yn其乘積為其乘積為 xy=x(0.y1y2yn) =x(y12-1+y22-2+yn2-n) =2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(+2-1(yn-1x+2-1(ynx

7、+0)令令Zi表示第表示第i次部分積，則上式可寫(xiě)成如下遞推公式次部分積，則上式可寫(xiě)成如下遞推公式: z0=0 z1=2-1(ynx+z0) z2=2-1(yn-1x+z1) ： zi=2-1(yn-i+1x+zi-1) (2.28) ： zn=xy=2-1(y1x+zn-1) 顯然，欲求顯然，欲求xy，則需設(shè)置一個(gè)保存部分積的累加器乘，則需設(shè)置一個(gè)保存部分積的累加器乘法開(kāi)始時(shí)，令部分積的初值法開(kāi)始時(shí)，令部分積的初值z(mì)00，然后求，然后求ynx加上加上z0，右，右移移1位得第位得第1個(gè)部分積個(gè)部分積z1又將又將yn-1加上加上z1，再右移，再右移1位得位得第第2個(gè)部分積個(gè)部分積z2.依此類(lèi)推，直

8、到求得依此類(lèi)推，直到求得y1x加上加上zn-1并右移并右移1位得最后部分積位得最后部分積zn，即得乘積，即得乘積xy一一zn。顯然，兩個(gè)。顯然，兩個(gè)n位數(shù)位數(shù)相乘，需重復(fù)進(jìn)行相乘，需重復(fù)進(jìn)行n次次“加加”及及“有移有移”操作，操作，才能得到才能得到最后乘積這就是實(shí)現(xiàn)原碼一位乘法的規(guī)則最后乘積這就是實(shí)現(xiàn)原碼一位乘法的規(guī)則例例1 x01101， y=01011，求，求 x y解：解： 部分積部分積 乘數(shù)乘數(shù) 說(shuō)明說(shuō)明 0 0. 0 0 0 0 yf 1 0 1 1 z0=0+ 0 0. 1 1 0 1 y4=1,+x 0 0. 1 1 0 1 0 0. 0 1 1 0 1 yf 1 0 1 右移，

9、得右移，得z1+ 0 0. 1 1 0 1 y3=1,+x 0 1. 0 0 1 1 0 0. 1 0 0 1 1 1 yf 1 0 右移，得右移，得z2+ 0 0. 0 0 0 0 y2=0,+0 0 0. 1 0 0 1 0 0. 0 1 0 0 1 1 1 yf 1 右移，得右移，得z3+ 0 0. 1 1 0 1 y1=1,+0 0 1. 0 0 0 10 0. 1 0 0 0 1 1 1 1 yf 右移，得右移，得z4=x y 所以所以 x y=0.10001111 實(shí)現(xiàn)原碼一位乘法的硬件邏輯原理示于圖實(shí)現(xiàn)原碼一位乘法的硬件邏輯原理示于圖2.5這這里需要三個(gè)寄存器，其中里需要三個(gè)寄存

10、器，其中R0存放部分積存放部分積z（乘法開(kāi)始前（乘法開(kāi)始前R0應(yīng)清應(yīng)清“0”，因?yàn)?，因?yàn)閦0=0），），R2存放被乘數(shù)存放被乘數(shù)x，Rl存放乘存放乘數(shù)數(shù)y由于乘法開(kāi)始時(shí)先從乘數(shù)的最低位由于乘法開(kāi)始時(shí)先從乘數(shù)的最低位yn開(kāi)始，以后則開(kāi)始，以后則使用使用yn-1,yn-2，yl，因此乘數(shù)寄存器，因此乘數(shù)寄存器R1應(yīng)當(dāng)是具有右應(yīng)當(dāng)是具有右移功能的移位寄存器移功能的移位寄存器.假定加法器不具備右移功能，那么假定加法器不具備右移功能，那么由于部分積需要右移，由于部分積需要右移，R0也應(yīng)當(dāng)是具有右移功能的移位也應(yīng)當(dāng)是具有右移功能的移位寄存器寄存器 除了三個(gè)寄存器除了三個(gè)寄存器R0，R1，R2外，還需一個(gè)加

11、法器和外，還需一個(gè)加法器和一個(gè)計(jì)數(shù)器，前者完成部分積與位積的累加，后者對(duì)移一個(gè)計(jì)數(shù)器，前者完成部分積與位積的累加，后者對(duì)移位的次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，以便判斷乘法運(yùn)算是否結(jié)束位的次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，以便判斷乘法運(yùn)算是否結(jié)束 乘法開(kāi)始時(shí)乘法開(kāi)始時(shí)“啟動(dòng)啟動(dòng)”信號(hào)使控制觸發(fā)器信號(hào)使控制觸發(fā)器Cx置置“1”，于是，于是開(kāi)啟時(shí)序脈沖開(kāi)啟時(shí)序脈沖T.當(dāng)乘數(shù)寄存器當(dāng)乘數(shù)寄存器R1最末位為最末位為”1”時(shí)，部分積時(shí)，部分積Z和被乘數(shù)和被乘數(shù)x在加法器中相加，其結(jié)果輸出至在加法器中相加，其結(jié)果輸出至R0的輸入端的輸入端.一旦打入控制脈沖一旦打入控制脈沖T到來(lái)，控制信號(hào)到來(lái)，控制信號(hào)LDR0使部分積右移使部分積右移1位，與此同時(shí)，乘數(shù)寄存器位，與此同時(shí)，乘數(shù)寄存器Ri也在控制信號(hào)也在控制信號(hào)LDR1作用下作用下右移一位，且計(jì)數(shù)器右移一位，且計(jì)數(shù)器i計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)1次次.當(dāng)計(jì)數(shù)器當(dāng)計(jì)數(shù)器i=n時(shí)，計(jì)數(shù)器時(shí)，計(jì)數(shù)器i的的溢出信號(hào)使控制觸發(fā)器溢出信號(hào)使控制觸發(fā)器Cn置置“0”，關(guān)閉時(shí)序脈沖，關(guān)閉時(shí)序脈沖T，乘法，乘法宣告結(jié)束宣告結(jié)束.如果將如果將R0和和R1連接起來(lái)連接起來(lái),乘法結(jié)束時(shí)乘積的高乘法結(jié)束時(shí)乘積的高n位部分在位部分在R0，低，低n位部分在位部分在R1，R1中原來(lái)的乘數(shù)中原來(lái)的乘數(shù)y由于右由于右移而全部移出丟失移而全部移出丟失.所得乘積為所得乘積為2