2013年高考文科數(shù)學(xué)分類解析圓錐曲線

1、2013年高考數(shù)學(xué)（文科）分類解析專題9：圓錐曲線一、選擇題1 （2013年高考湖北卷（文）已知,則雙曲線:與:的（）A實軸長相等B虛軸長相等C離心率相等D焦距相等【答案】D 【解析】本題考查雙曲線的方程以及的計算。雙曲線中，所以，離心率為。中，所以。所以兩個雙曲線有相同的焦距，選D.2 （2013年高考四川卷（文9）從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且(是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率是（）ABCD【答案】C 【解析】由已知得，點在橢圓上，代入橢圓的方程，得，因為ABOP，所以，所以，選C.3 （2013年高考課標(biāo)卷（文10）設(shè)拋物線的焦點

2、為，直線過且與交于，兩點。若，則的方程為（ ）（A）或 （B）或（C）或 （D）或【答案】C【解析】拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則因為|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因為|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，當(dāng)x1=3時，所以此時，若，則,此時,此時直線方程為。若，則,此時,此時直線方程為。所以的方程是或，選C.4 （2013年高考課標(biāo)卷（文8）為坐標(biāo)原點,為拋物線的焦點,為上一點,若,則的面積為（）ABCD【答案】C【解析】拋物線的焦點,準(zhǔn)線方程為。因為，所以，

3、即，所以,即。所以的面積為，選C.【規(guī)律總結(jié)】與拋物線有關(guān)的試題，更多的是考查拋物線的定義，利用到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。5 （2013年高考課標(biāo)卷（文4）已知雙曲線的離心率為,則的漸近線方程為（）ABCD【答案】C【解析】雙曲線的離心率為，即，所以。即，所以，即，所以。所以雙曲線的漸近線為，選C.6 （ 2013年高考福建卷（文）雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于（）ABC1D【答案】B 【解析】本題考查的是雙曲線的性質(zhì)因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的一個頂點為，取一條漸近線為，所以點到直線的距離為7 （2013年高考廣東卷（文）已知中心在原點的橢圓

4、C的右焦點為,離心率等于,則C的方程是（）ABCD【答案】D 【解析】由橢圓C的右焦點為，可知，又離心率等于，所以，解得，所以，即橢圓的方程為，選D.8 （2013年高考四川卷（文5）拋物線的焦點到直線的距離是（）ABCD【答案】D 【解析】的焦點為(2,0)，到的距離為，選D.【知識拓展】拋物線的焦點弦：拋物線的過焦點的弦，若，則，弦長同樣可得拋物線，類似的性質(zhì)9 （2013年高考課標(biāo)卷（文5）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，則的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因為,所以。又，所以，即橢圓的離心率為，選D.10（2013年高考大綱卷（文8）已知且垂直于軸的直

5、線交于且則的方程為（）ABCD【答案】C 【解析】設(shè)橢圓方程為，則，當(dāng)時，所以， 解得，.故所求的方程為，選C.11（2013年高考遼寧卷（文11）已知橢圓的左焦點為F兩點,連接了,若,則的離心率為（）ABCD【答案】B 【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以,選B.12（2013年高考重慶卷（文10）設(shè)雙曲線的中心為點,若有且只有一對相較于點、所成的角為的直線和,使,其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是zhangwlx（）ABCD【答案】A 【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)與方程。因為,所以根據(jù)對稱性可知，直線,關(guān)于軸對稱，因為直線,所成的角為。所以直線的

6、傾斜角為或，即斜率為或，要使直線與雙曲線相交，則雙曲線漸近線的斜率，當(dāng)時，所以，即，所以。當(dāng)時，有，即，所以，即，即，所以綜上，即雙曲線離心率的范圍時，選A.13（2013年高考大綱卷（文12）已知拋物線與點,過的焦點且斜率為的直線與交于兩點,若,則（）ABCD【答案】D 【解析】的焦點為(2,0)，所以，所以，即，.又設(shè)，即，所以，解得，故選D.14（2013年高考北京卷（文7）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（）ABCD【答案】C【解析】，則.15（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科18）記橢圓圍成的區(qū)域(含邊界)為,當(dāng)點分別在上時,的最大值分別是,則（）A0BC2D【答案】D 【解析】

7、選D16（2013年高考江西卷（文9）已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點N,則|FM|:|MN|=（）A2:5B1:2C1:5 D1:3【答案】C 【解析】本題考查拋物線的定義及應(yīng)用。拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，過點M，做準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于B。則，所以設(shè)射線的傾斜角為，則，即，所以，所以|FM|：|MN|，選C。17（2013年高考山東卷（文11）拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點M,若在點M處的切線平行于的一條漸近線,則=（）ABCD【答案】D 【解析】由題設(shè)知：拋物線的焦點F，雙曲線的焦點F2(2,0)，

8、所以直線FF2：.由得，即，雙曲線C2的漸近線方程為，又由得，解得，所以，故.18（2013年高考浙江卷（文9）如圖F1.F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點（）AB分別是C1.C2在第二.四象限的公共點,若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是（第9題圖）（）ABCD【答案】D【解析】由已知得設(shè)雙曲線實半軸為，由橢圓及雙曲線的定義和已知得到,解得，。所以雙曲線的離心率為，所以選D二、填空題19（2013年高考湖南（文14）設(shè)F1,F2是雙曲線C, (a>0,b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P.使PF1PF2,且PF1F2=30°,則C的離心率為_.【

9、答案】 【解析】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)。不妨設(shè)點P位于雙曲線的右支上,因為，PF1PF2，所以。由雙曲線的定義可知，即，所以，即C的離心率為。20（2013年高考卷（文11）雙曲線的離心率為_.【答案】 【解析】21（2013年高考遼寧卷（文15）已知為雙曲線的左焦點, 為上的點,若的長等于虛軸長的2倍,點 在線段上,則的周長為_.【答案】44 【解析】兩式相加，所以并利用雙曲線的定義得，所以周長為.22（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科12）設(shè)是橢圓的長軸,點在上,且.若,則的兩個焦點之間的距離為_.【答案】 【解析】，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得。23（2013年高考北京卷（文9）若拋物線的焦

10、點坐標(biāo)為(1,0)則=_;準(zhǔn)線方程為_.【答案】2, 【解析】由題意，則.24（2013年高考福建卷（文）橢圓的左、右焦點分別為,焦距為.若直線與橢圓的一個交點滿足,則該橢圓的離心率等于_【答案】 【解析】本題考查的是圓錐曲線的離心率由題意可知，中，所以有，整理得，故答案為25（2013年高考天津卷（文11）已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點, 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為_.【答案】 【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為雙曲線的一個焦點在準(zhǔn)線上，所以，即，且雙曲線的焦點在軸上。又雙曲線的離心率為2，即，解得，所以，所以雙曲線的方程為。三、解答題26（2013年高考浙江卷（文）已知拋

11、物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1)()求拋物線C的方程;() 過點F作直線交拋物線C于A.B兩點.若直線AO.BO分別交直線l:y=x-2于M.N兩點,求|MN|的最小值. 【答案】解:()由已知可得拋物線的方程為:,且,所以拋物線方程是: ; ()設(shè),所以所以的方程是:, 由,同理由 所以 設(shè),由, 且,代入得到: , 設(shè), 當(dāng)時 ,所以此時的最小值是; 當(dāng)時, ,所以此時的最小值是,此時,; 綜上所述:的最小值是; 27（2013年高考山東卷（文）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在軸上,短軸長為2,離心率為(I)求橢圓C的方程(II)A,B為橢圓C上滿足的面積為

12、的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C與點P,設(shè),求實數(shù)的值.【答案】 將代入橢圓方程,得 28（2013年高考廣東卷（文）已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.(1) 求拋物線的方程;(2) 當(dāng)點為直線上的定點時,求直線的方程;(3) 當(dāng)點在直線上移動時,求的最小值.【答案】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去) 拋物線的方程為; (2)設(shè)點, 由,即得. 拋物線在點處的切線的方程為, 即. , . 點在切線上, . 同理, . 綜合、得,點的坐標(biāo)都滿足方程 . 經(jīng)過兩點的直線是唯一的, 直線 的方程為,即; (3)由拋物線的定義

13、可知, 所以 聯(lián)立,消去得, 當(dāng)時,取得最小值為 29（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科）本題共有3個小題.第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.如圖,已知雙曲線:,曲線:.是平面內(nèi)一點,若存在過點的直線與、都有公共點,則稱為“型點”.(1)在正確證明的左焦點是“型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);(2)設(shè)直線與有公共點,求證,進(jìn)而證明原點不是“型點;(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“型點”.【答案】 30（2013年高考福建卷（文）如圖,在拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸的交點為.點在拋物線上,以為圓心為半徑作圓,設(shè)圓與準(zhǔn)線的交于不同的兩點.(1)

14、若點的縱坐標(biāo)為2,求;(2)若,求圓的半徑.【答案】解:()拋物線的準(zhǔn)線的方程為, 由點的縱坐標(biāo)為,得點的坐標(biāo)為 所以點到準(zhǔn)線的距離,又. 所以. ()設(shè),則圓的方程為, 即. 由,得 設(shè),則: 由,得 所以,解得,此時 所以圓心的坐標(biāo)為或 從而,即圓的半徑為 31（2013年高考北京卷（文）直線():相交于,兩點, 是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點的坐標(biāo)為,且四邊形為菱形時,求的長.(2)當(dāng)點在上且不是的頂點時,證明四邊形不可能為菱形.【答案】解:(I)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè),代入橢圓方程得,即. 所以|AC|=. (II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點B不

15、是的頂點,且ACOB,所以. 由,消去并整理得. 設(shè)A,C,則,. 所以AC的中點為M(,). 因為M為AC和OB的交點,且,所以直線OB的斜率為. 因為,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾. 所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. 32（2013年高考課標(biāo)卷（文）已知圓,圓,動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.()求的方程;()是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于,兩點,當(dāng)圓的半徑最長是,求.請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選

16、題號后的 方框涂黑.【答案】解:由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑;圓N的圓心為N(1,0),半徑. 設(shè)知P的圓心為P(x,y),半徑為R. (I)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以 . 有橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左.右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左定點除外),其方程為. (II)對于曲線C上任意一點,由于,所以R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為; 若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得. 若l的傾斜角不為90°,則知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q, 則,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:

17、y=k(x+4).由l于圓M相切得, 解得k=±. 當(dāng)k=時,將y=x+代入,并整理得, 解得. 當(dāng)k=. 綜上,. 33（2013年高考陜西卷（文）已知動點M(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. () 求動點M的軌跡C的方程; () 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線m的斜率. 【答案】解: () 點M(x,y)到直線x=4的距離,是到點N(1,0)的距離的2倍,則 . 所以,動點M的軌跡為 橢圓,方程為 () P(0, 3), 設(shè) 橢圓經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這2點,即直線m斜率k存在.聯(lián)立橢圓和直線方程,整

18、理得: 所以,直線m的斜率 34（2013年高考大綱卷（文）已知雙曲線離心率為直線(I)求;(II)證明:成等比數(shù)列【答案】()由題設(shè)知,即,故. 所以C的方程為. 將y=2代入上式,求得,. 由題設(shè)知,解得,. 所以. ()由()知,C的方程為. 由題意可設(shè)的方程為,代入并化簡得, . 設(shè),則 ,. 于是 , 由得,即. 故,解得,從而. 由于, , 故, . 因而,所以、成等比數(shù)列. 35（2013年高考天津卷（文）設(shè)橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. () 求橢圓的方程; () 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于

19、C, D兩點. 若, 求k的值. 【答案】 36（2013年高考遼寧卷（文）如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于),切線的斜率為.(I)求的值;(II)當(dāng)在上運動時,求線段中點的軌跡方程.【答案】 37（2013年高考課標(biāo)卷（文）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為。（）求圓心的軌跡方程；（）若點到直線的距離為，求圓的方程。【答案】 38（2013年高考湖北卷（文）如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.記,和的面積分別為和.()當(dāng)直線與

20、軸重合時,若,求的值;()當(dāng)變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得?并說明理由.第22題圖2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷【答案】依題意可設(shè)橢圓和的方程分別為 :,:. 其中, ()解法1:如圖1,若直線與軸重合,即直線的方程為,則 ,所以. 在C1和C2的方程中分別令,可得, 于是. 若,則,化簡得. 由,可解得. 故當(dāng)直線與軸重合時,若,則. 解法2:如圖1,若直線與軸重合,則 ,; ,. 所以. 若,則,化簡得. 由,可解得. 故當(dāng)直線與軸重合時,若,則. 第22題解答圖1第22題解答圖2 ()解法1:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對稱性, 不妨設(shè)

21、直線:, 點,到直線的距離分別為,則 因為,所以. 又,所以,即. 由對稱性可知,所以, ,于是 . 將的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得 ,. 根據(jù)對稱性可知,于是 . 從而由和式可得 . 令,則由,可得,于是由可解得. 因為,所以. 于是式關(guān)于有解,當(dāng)且僅當(dāng), 等價于. 由,可解得, 即,由,解得,所以 當(dāng)時,不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得; 當(dāng)時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得. 解法2:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對稱性, 不妨設(shè)直線:, 點,到直線的距離分別為,則 因為,所以. 又,所以. 因為,所以. 由點,分別在C1,C2上,可得 ,兩式相減可得, 依題意,所以. 所以由上式解得. 因為,所以由,可解得. 從而,解得,所以 當(dāng)時,不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得; 當(dāng)時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得. 39（2013年高考重慶卷（文）(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)如題(21)圖,橢圓的中心為原點,長軸在軸上,離心率,過左焦點作軸的垂線交橢圓于、兩點,.()求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;zhangwlx()取平行于軸的直線與橢圓相較于不同的兩點、,