高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例任意角的三角函數(shù)

1、32任意角的三角函數(shù)教材分析這節(jié)課是在初中學習的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步學習任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標系來定義的三角函數(shù)的定義是本章教學內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學習后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學好本章內(nèi)容的關(guān)鍵因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數(shù)的定義在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導(dǎo)公式（一），這既是對三角函數(shù)的簡單應(yīng)用，也是為學習后續(xù)內(nèi)容做了必要準備教學目標1. 讓學生認識三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強對數(shù)的理解能力2. 理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的

2、符號和誘導(dǎo)公式（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問題3. 通過對任意角的三角函數(shù)的學習，初步體會數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，提高學生的科學思維水平任務(wù)分析在初中，我們只是學習了銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在學習的是任意角的三角函數(shù)定義的對象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標系為了便于學生體會和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個象限的情況都畫出來（注意表示角時不用箭頭），學習時，必須弄清并強調(diào)：這六個比值的大小都與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，符合函數(shù)

3、的定義，從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義.對于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號和誘導(dǎo)公式（一），可放手讓學生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力.教學設(shè)計一、情景設(shè)置由其所在的直角三初中我們學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量,圖羽角形的對應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角a的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù).這節(jié)課，我們研究當a是一個任意角時的三角函數(shù)的定義.在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的.如圖32-1,在RtAABC中,77rm-匚T現(xiàn)在，把三角形放到坐標系中.如圖32-2,設(shè)點B的坐標為(x,y),則OC=b圖耀-2=x,CB=a=y,

4、OB=,從而即角a的三角函數(shù)可以理解為坐標的比值，在此意義下對任意角a都可以定義其三角函數(shù).二、建立模型一般地，設(shè)a是任意角，以a的頂點O為坐標原點，以角a的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標系xOy.P(x,y)為a終邊上不同于原點的任一點.如圖：那么，OP =，記作r,(r0)對于三個量x，y，r,一般地，可以產(chǎn)生六個比值:.當“確定時，根據(jù)初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應(yīng)的唯一確定根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為稱之為a角的正弦、對于定義，思考如下問題：1 .當角a確定后，比值與P點的位置有關(guān)嗎？為

5、什么？2 .利用坐標法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系？3 .任意角a的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？三、解釋應(yīng)用例題1 .已知角a的終邊經(jīng)過P(2,3),求角a的六個三角函數(shù)值.思考：若P(-2,3)變?yōu)?2m,3m)呢？(mO)2 .求下列角的六個三角函數(shù)值注：強化定義練習1 .已知角a的終邊經(jīng)過下列各點，求角a的六個三角函數(shù)值.（ 1） P（3，4）（2）P（m，3）2.計算（1）5sin902sin03sin27010cos180四、拓展延伸1. 由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為sina的定義域為 a | asina， c

6、osa， tana， cota自變量的函數(shù)，如sina=恒有意義，所以CR.類似地，研究cosa,tana,cota的定義域.2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號，研究的值在各個象限的符號.3. 計算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律（1） sin30，sin390（2）cos45，cos（315）規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin(a+k360)=sina,cos(a+k360)=cosa,tan(a+k360)=tana,(kCZ).五、應(yīng)用與深化例題1 .確定下列三角函數(shù)值的符號2 .求證：角a為第三象限角的充要條件是sin位0,并且tan鼠0

7、.證明：充分性：如果sin0,tan00都成立，那么。為第三象限角.sin叱0成立，所以。的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上.又tanO0成立，。角的終邊可能位于第一或第三象限.sin叱0,tanD0都成立，。角的終邊只能位于第三象限.必要性：若。為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個象限的符號，知sin叱0,tan00.從而結(jié)論成立練習1.設(shè)a是三角形的一個內(nèi)角，問：在sina,cosa,tana,tan哪些三角函數(shù)可能取負值？為什么？2. 函數(shù)點評這節(jié)課在設(shè)計上特別注意了以下幾點：前后知識的聯(lián)系，知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，如任意角的三角函數(shù)的定義，由初中所講“0工360。的情況逐漸過渡到任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義注重了知識的探究，如三角函數(shù)值在各象限的符號，及誘導(dǎo)公式