高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例任意角的三角函數(shù)

1、32任意角的三角函數(shù)教材分析這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來定義的三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數(shù)的定義在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導(dǎo)公式（一），這既是對三角函數(shù)的簡單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備教學(xué)目標(biāo)1. 讓學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強對數(shù)的理解能力2. 理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的

2、符號和誘導(dǎo)公式（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問題3. 通過對任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平任務(wù)分析在初中，我們只是學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù)定義的對象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系為了便于學(xué)生體會和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個象限的情況都畫出來（注意表示角時不用箭頭），學(xué)習(xí)時，必須弄清并強調(diào)：這六個比值的大小都與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，符合函數(shù)

3、的定義，從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義.對于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號和誘導(dǎo)公式（一），可放手讓學(xué)生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.教學(xué)設(shè)計一、情景設(shè)置由其所在的直角三初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量,圖羽角形的對應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角a的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù).這節(jié)課，我們研究當(dāng)a是一個任意角時的三角函數(shù)的定義.在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的.如圖32-1,在RtAABC中,77rm-匚T現(xiàn)在，把三角形放到坐標(biāo)系中.如圖32-2,設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y),則OC=b圖耀-2=x,CB=a=y,

4、OB=,從而即角a的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值，在此意義下對任意角a都可以定義其三角函數(shù).二、建立模型一般地，設(shè)a是任意角，以a的頂點O為坐標(biāo)原點，以角a的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy.P(x,y)為a終邊上不同于原點的任一點.如圖：那么，OP =，記作r,(r0)對于三個量x，y，r,一般地，可以產(chǎn)生六個比值:.當(dāng)“確定時，根據(jù)初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應(yīng)的唯一確定根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為稱之為a角的正弦、對于定義，思考如下問題：1 .當(dāng)角a確定后，比值與P點的位置有關(guān)嗎？為

5、什么？2 .利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系？3 .任意角a的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？三、解釋應(yīng)用例題1 .已知角a的終邊經(jīng)過P(2,3),求角a的六個三角函數(shù)值.思考：若P(-2,3)變?yōu)?2m,3m)呢？(mO)2 .求下列角的六個三角函數(shù)值注：強化定義練習(xí)1 .已知角a的終邊經(jīng)過下列各點，求角a的六個三角函數(shù)值.（ 1） P（3，4）（2）P（m，3）2.計算（1）5sin902sin03sin27010cos180四、拓展延伸1. 由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為sina的定義域為 a | asina， c

6、osa， tana， cota自變量的函數(shù)，如sina=恒有意義，所以CR.類似地，研究cosa,tana,cota的定義域.2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號，研究的值在各個象限的符號.3. 計算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律（1） sin30，sin390（2）cos45，cos（315）規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin(a+k360)=sina,cos(a+k360)=cosa,tan(a+k360)=tana,(kCZ).五、應(yīng)用與深化例題1 .確定下列三角函數(shù)值的符號2 .求證：角a為第三象限角的充要條件是sin位0,并且tan鼠0

7、.證明：充分性：如果sin0,tan00都成立，那么。為第三象限角.sin叱0成立，所以。的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負(fù)半軸上.又tanO0成立，。角的終邊可能位于第一或第三象限.sin叱0,tanD0都成立，。角的終邊只能位于第三象限.必要性：若。為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個象限的符號，知sin叱0,tan00.從而結(jié)論成立練習(xí)1.設(shè)a是三角形的一個內(nèi)角，問：在sina,cosa,tana,tan哪些三角函數(shù)可能取負(fù)值？為什么？2. 函數(shù)點評這節(jié)課在設(shè)計上特別注意了以下幾點：前后知識的聯(lián)系，知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，如任意角的三角函數(shù)的定義，由初中所講“0工360。的情況逐漸過渡到任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義注重了知識的探究，如三角函數(shù)值在各象限的符號，及誘導(dǎo)公式