高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明3綜合法與分析法練習(xí)北師大版選修1

1、精品教案第三章推理與證明3綜合法與分析法練習(xí)北師大版選修1-2目標(biāo)、知重點1.了解直接證明的兩種基本方法綜合法和分析法.2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點，會用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題可編輯精品教案1 .綜合法的含義從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)也直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法2 .分析法的含義從求證的結(jié)論出發(fā),一步步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等.這樣的思維方法稱為分析法.情境導(dǎo)學(xué)證明對我們來說并不陌生，我們在上一節(jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得結(jié)論的正確性就是要證

2、明的，并且我們在以前的學(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，但這些經(jīng)驗是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過熟悉的數(shù)學(xué)實例，對證明數(shù)學(xué)問題的方法形成較完整的認識.探究點一綜合法思考1請同學(xué)們證明下面的問題，總結(jié)證明方法有什么特點？已知a,b>0,求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)>abc.證明因為b2+c2>2bc,a>0,所以a(b2+c2)>bc.又因為c2+a2>2ac,b>0,所以b(c2+a2)>abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)>abc.小結(jié)此證明過程運用了綜合法.一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理

3、等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.思考2綜合法又叫由因?qū)Ч?，其推理過程是合情推理還是演繹推理？答因為綜合法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，因此所得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”，所以綜合法是演繹推理.例1在小BC中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形.證明由A,B,C成等差數(shù)列，有2B=A+C,由于A,B,C為小BC的三個內(nèi)角，所以A+B+C=兀.兀由，得B=-,3由a,b,c成等比數(shù)列，有b2=ac,由余弦定理及，可得b2=a2+c2-2acco

4、sB=a2+c2-ac,再由，得a2+c2ac=ac,即(ac)2=0,從而a=c,所以A=C.兀由，得A=B=C=一,3所以4ABC為等邊三角形.反思與感悟綜合法的證明步驟如下：(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴密的證明過程.ACcosB跟蹤訓(xùn)練1在小BC中，AB-=C，證明：B=C.證明在AABC中，由正弦定理及已知條件得sinBcosB=.sinCcosC于是sinBcosCcosBsinC=0,即sin（BC）=0,因為一兀<B-C<ti,從而B-C=0,所以B=C.探究點二分析

5、法a+bi思考1回顧一下：基本不等式一廠Ajab（a>0,b>0）是怎樣證明的？a+b.答要證一>Jab,只需證a+b>2ab,只需證a+b-2Jab>0,只需證（由一b）2>0，因為（、一b）2>0顯然成立，所以原不等式成立.思考2證明過程有何特點？答從結(jié)論出發(fā)開始證明，尋找使證明結(jié)論成立的條件，最終把要證明的結(jié)論變成一個顯然成立的條件.小結(jié)分析法定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止,這種證明方法叫做分析法.思考3綜合法和分析法的區(qū)別是什么

6、？答綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向未知，每步尋找的是必要條件；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件.例2求證：3f3+，7<2<5.證明因為、卜十、卜和2、都是正數(shù)，所以要證也十，<25,只需證c/3+3）2<（25）2,展開得10+2，21<20,只需證427<5,只需證21<25,因為21<25成立，所以、/3+、/7<2、/5成立.反思與感悟當(dāng)已知條件和結(jié)論聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，用結(jié)論反推的方法.跟蹤訓(xùn)練2求證：0a1<弋a(chǎn)_24a-3(

7、an3).證明方法一要證a-yja-1<#a-2-yja-3,只需證a+7a-3<a2+aa1,只需證(，+勺a-3)2<("xja2+勺a-1)2,只需證2a_3+2勺a?3a<2a_3+2a2-3a+2,只需證1a?3a<a23a+2,只需證0<2,而0<2顯然成立，所以4-1<a-2ja-3(a>3).方法二因為他+/-1>/-2+a-3,11所以y/a+a1(a2+a3'所以"3«a-1<勺a-2ja3.探究點三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用思考在實際證題中，怎樣選用綜合法或分析法？答對思

8、路清楚，方向明確的題目，可直接使用綜合法；對于復(fù)雜的題目，常把分析法和綜合法結(jié)合起來，先用分析法去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q;再根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P.若P?Q,則結(jié)論得證.兀例3已知”，弭kTt+2(kez),且sin0+cos0=2sina,sin0cos8=sin2&1tan2a1tan2B求證：2-=21+tan2a21+tan2B證明因為(sin0+cos8)22sin0cos8=1,所以將代入，可得4sin2a2sin23=1.1tan2a1tan2(3另一方面，要證=1+tan2a21+tan2§sin2asin2B1212-cos2acos2(

9、3即證2-=2,sin2asin2Bcos2acos23即證cos2asin2a=2(cos2sin2新，即證12sin2a=(12sin2份，即證4sin2a2sin23=1.由于上式與相同，于是問題得證.反思與感悟用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法和分析法的綜合應(yīng)用可用框圖表示為：p?P1P1?P2一一Pn?p'Q?Qmj-|Q2?Q"-|Q1?Q跟蹤訓(xùn)練3若tan(a+B)=2tana,求證：3sinB=sin(2a+B).證明由tan(a+B)=2tanasina+(32sina得Q=,cosa+pcosa即sin(a+B)cosa=

10、2cos(a+»sina.要證3sinB=sin(2a+力即證3sin(a+B)a=sin(a+3)+a,即證3sin(a+B)cosacos(a+B)sina=sin(a+B)cosa+cos(a+4sina,化簡得sin(a+B)cosa=2cos(a+B)sina.這就是式.所以，命題成立.1.已知y>x>0,且x+y=1,那么()A.x<-<y<2xyB.2xy<x<-<y22C.x<_<2xy<yD.x<2xy<_<y答案D解析.y>x>0,且x+y=1,，設(shè)y=,x=,44則二

11、"=2xy=",.2xy_y,故選D.22822.欲證、，2、，3、63成立,只需證（）a.（33）2（出一3）2b.（#）2（V3由）2c.（3+3）2（73+雨）2D.（煙一3血2（由）2答案C解析根據(jù)不等式性質(zhì)，ab0時，才有a2b2,只需證：/+3市+市，即證：（電+由）2（V3+#y.1 tana3.已知=1,求證：cosasina=3（cosa+sina）.2+tana證明要證cosasina=3(cosa+sina),可編輯cosasina1tana只需證=3,只需證=3,cosa+sina1+tana只需證1tana=3(1+tana),1只需證tana=-

12、2，1tana答案C解析對于A：若c=0,則A不成立，故A錯；對于B：若c<0,則B不成立，B錯；對a>011a<0于C：若a3>b3且ab<0,則,所以小故C對；又行1D：若b，則D不成立.2 .A、B為4ABC的內(nèi)角，A>B是sinA>sin8的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案Cab解析由正弦定理=2R,又A、B為三角形的內(nèi)角，sinA>0,sinB>0,.sinsinAsinBA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.3 .已知直線l,m,平面a,

13、3,且l,a,m3,給出下列四個命題：若all3,則Um；若Um,則all3;若B,則l±m；若l/m,則a1&其中正確命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4答案B解析若la,mB,a/3則l,B,所以lm,正確;3l±m,a與B可能相交，不正確;若l,a,m（3,a±（3,l與m可能平行或異面，不正確;若l,a,m3l/m,則m，a,所以a±B,正確.4 .設(shè)a,ber+,且awb,a+b=2,則必有（）A.1"3Bab<i<。22C. ab3<12D芷 <ab<12答案B解析因為awb,故一2>

14、ab.又因為a+b=2>2、/0b,a2+b2a+b22ab故ab<1,=2ab>1,22a2+b2即>1>ab.25.設(shè)a=，2,b=yf7,c=6，2,則a,b,c的大小關(guān)系為答案a>c>b解析,.a2-c2=2(8-43)=4#6=48.c>b.6.已知p=a+(a>2),q=2a2+4a2(a>2)，貝Up、q的大小關(guān)系為a-2答案p>q1+2=4,-a2+4a-2=2-(a-2)2<2,a-2.-q<22=4書.7.求證：+<2.log519log319log219證明1因為'=logab,所

15、以左邊=logbalog195+2log193+3log192=log195+log1932+log1923=log19(5x2X23)=log19360.因為10g19360<log19361=2,123所以+<2.log519log319log219二、能力提升ab8.已知a,b為非零實數(shù)，則使不等式：b+gw2成立的一個充分不必要條件是（）A.ab>0B.ab<0C.a>0,b<0D.a>0,b>0答案Cab解析.一與一同號，ba由亙十&-2,知a<0,b<0,baba即ab<0.又若ab<0,則一<0

16、,一<0.baababab.a>0,b<0是一十一w2成立的一個充分不必要條件.ba9.已知a、b、cCR,且a+b+c=0,abc>0,則一十一十一的值（）abcA.一定是正數(shù)B.一定是負數(shù)C.可能是0D.正、負不能確定答案B解析.a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,又abc>0,，a,b,c均不為0,，a2+b2+c2>0.111ab+bc+ca，ab+bc+ca<0,.+=<0.abcabc10.如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時,有A1CB1D1（注：填上你認為正確的一

17、個條件即可，不必考慮所有可能的情形）.答案對角線互相垂直解析本題答案不唯一，要證AiCXBiDi,只需證BiDi垂直于AiC所在的平面AiCCi,因為該四棱柱為直四棱柱，所以BiDCCi,故只需證BiDUAiCi即可.ii.若-i<x<i,i<y<i,求證：（-）2<i.ixy證明要證明（x yi xy)2<i ,只需證明(xy)2<(i -xy)2,即 x2 + y2 2xy<i -2xy + x2y2,只需證明x2+y2ix2y2<0,只需證明（y2i）（i-x2）<0,即（iy2）（ix2）>0.（*）因為一i<x&

18、lt;i,i<y<i,所以x2<i,y2<i.從而（*）式顯然成立，所以（土一y"）2<i.i-xyp12 .已知拋物線y2=2px（p>0）,求證：以過焦點的弦為直徑的圓必與x=,相切.證明（如圖）作AA'、BB'垂直于準(zhǔn)線，取AB的中點M,作MM'垂直于準(zhǔn)線.只需證|MM'|；佛B(yǎng)|.由拋物線的定義：|AA'|AF|,|BB'|BF|,所以|AB|=|AA'|BB'|.i因此只需證|MM'|AA,|BB'|）,根據(jù)梯形的中位線定理可知上式是成立的.p,所以以過焦點的弦為直徑的圓必與x=相切.2、探究與拓展13 .已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：lo