高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入2.1復(fù)數(shù)的加法與減法練習(xí)北師大版選修1

1、精品教案可編輯2.1復(fù)數(shù)的加法與減法目標(biāo)、知重點(diǎn)1.熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題1 .復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則zi+z2=(a+c)+(b+d)i,ziZ2=(ac)+(b一d)i.(2)對(duì)任意zi,Z2,Z3C,有zi+Z2=Z2+zi,(zi+Z2)+Z3=zi+(z2+z3).2 .復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖：設(shè)復(fù)數(shù)zi,z2對(duì)應(yīng)向量分別為OZi,0Z2,四邊形OZiZZ2為平行四邊形，則與zi+z2對(duì)應(yīng)的向量是0Z,與zi-z2對(duì)應(yīng)的向量是ZlZi.情境導(dǎo)學(xué)我們

2、學(xué)習(xí)過實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減運(yùn)算？我們知道向量加法的幾何意義，那么復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么呢？探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算思考1我們規(guī)定復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)zi=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是個(gè)什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？答仍然是個(gè)復(fù)數(shù)，且是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；思考2當(dāng)b=0,d=0時(shí)，與實(shí)數(shù)加法法則一致嗎？答一致思考3復(fù)數(shù)加法的實(shí)質(zhì)是什么？類似于實(shí)數(shù)的哪種運(yùn)算方法？答實(shí)質(zhì)是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)思考4實(shí)數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的加法滿足這些運(yùn)算律嗎？并試著證明答

3、滿足，對(duì)任意的Z1,Z2,Z3CC,有交換律：Zl+Z2=Z2+Z1.結(jié)合律：(Zl+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3).證明：設(shè)zi=a+bi,z2=c+di,zi+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+zi=(c+a)+(d+b)i,顯然，Zl+Z2=Z2+Zl,同理可得(Zi+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).思考5類比于復(fù)數(shù)的加法法則，試著給出復(fù)數(shù)的減法法則答(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.例i計(jì)算：(i)(i2i)(2i)(2i)(i2i)；精品教案(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式=(122+1)+(2+112)i=2.(2)原式=1+(i1)+(

4、1+2i)+(12i)=(1111)+(1+22)i=2+i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算，就是實(shí)部與實(shí)部相加減做實(shí)部，虛部與虛部相加減作虛部，同時(shí)也把i看作字母，類比多項(xiàng)式加減中的合并同類項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練1(1)計(jì)算2i(32i)3(13i)；(2)計(jì)算(a+2bi)(3a4bi)5i(a,beR).解(1)原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-11i=9i.(2)原式=-2a+6bi5i=2a+(6b5)i.探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答如圖，設(shè)&1,0Z2分別與復(fù)數(shù)a+bi,c+di對(duì)應(yīng)，則有&1=(a

5、,b),&2=(c,d),由向量加法的幾何意義OZ1+oZ2=(a+c,b+d),所以0Z1+0Z2與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)Z1-Z2對(duì)應(yīng)的向量？可編輯答z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與Z1-Z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖).圖中OZl對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z1,&2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z2,則ZlZl對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z1Z2.例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別表示0,3+2i,2+4i.求：(1)AO表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線CA表示的復(fù)數(shù)；對(duì)角線OB表示的復(fù)數(shù).解(i)因?yàn)锳

6、O=OA,所以AO表示的復(fù)數(shù)為一32i.(2)因?yàn)镃A=OAOC,所以對(duì)角線CA表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因?yàn)閷?duì)角線oB=OA+oC,所以對(duì)角線OB表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運(yùn)用.跟蹤訓(xùn)練2復(fù)數(shù)zi=1+2i,Z2=-2+i,Z3=-1-2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2,Z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yCR),如圖.則AD=(5d-o

7、A=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,BC=OCOB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.,.Ad=BC,.(x-1)+(y-2)i=1-3i.x1=1x=2,解得y-2=-3y=-1故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用例3已知|Z1|=|Z2|=|Z1Z2|=1,求|Z1+Z2|.解方法一設(shè)Z1=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dCR),.Z1|=|Z2|=|Z1-Z2|=1,.a2+b2=c2+d2=1,(a-c)2+(b-d)2=1,由得2ac+2bd=1,，21+在|=4a+c2+b+d2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=/.方法二

8、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z1,Z2,Z1+Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.Zl|=|Z2|=|Z1Z2|=1,，怎AB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60。，邊長(zhǎng)為1的菱形，且|Z1+Z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，.Z1+Z2|=|OC|=oA|2+|AC|2-2|Oa|AC|cos1203.反思與感悟(1)設(shè)出復(fù)數(shù)Z=x+yi(x,yCR),利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x,y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化”思想的應(yīng)用.(2)在復(fù)平面內(nèi)，Z1,Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,B,Z1+Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OACB為平行四邊形；若|zi+Z2

9、|=|ziZ2|,則四邊形OACB為矩形；若|zi|=|Z2|,則四邊形OACB為菱形；若|zi|=|Z2|且|zi+Z2|=|ziZ2|,則四邊形OACB為正方形.跟蹤訓(xùn)練3例3中，若條件變成|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=2.求|Z1Z2|.解由|Z1|=|Z2|=1,|Z1+Z2|=3，知Z1,Z2,Z1+Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，所求|Z1Z2|是這個(gè)正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)，所以|Z1Z2|=、.1,復(fù)數(shù)zi=2i,Z2=2i,則zi+Z2等于（）A. 03 5B.-+-i2 25 3D_-i2 2答案解析zi + Z2= (2 +) (+ 2)i =-5一i

10、. 22.若z+32i=4+i,則z等于()A. 1 +i8. 1+3i答案B解析z=4+i-(3-2i)=1+3i.3 .在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，OA,OC,AB表示的復(fù)數(shù)分別為2+i,3+2i,1+5i,則BC表示的復(fù)數(shù)為()A.2+8iB.66iC.4-4iD.4+2i答案C解析EBC=0C-0B=(OC-(AB+0A)=4-4i.4 .若|z1|=|z+1|,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.實(shí)軸上B.虛軸上C.第一象限D(zhuǎn).第二象限答案B解析,Z-1|=|z+1|,點(diǎn)Z到(1,0)和(一1,0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1,0)和(一1,0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上即虛軸上.5 .已知復(fù)數(shù)Z1=(a

11、2-2)+(a-4)i,Z2=a(a22)i(aCR),且z1一Z2為純虛數(shù)，則a=答案1a2a2=0,解析Z1Z2=(a2a2)+(a4+a22)i(aeR)為純虛數(shù)，解得a2+a6金0a=-1.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算2 復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則一、基礎(chǔ)過關(guān)1 .若復(fù)數(shù)z滿足z+i3=3i,則z等于（）A0B2iC6D62i答案D解析z=3-i-（i-3）=6-2i.2 復(fù)數(shù)ii2在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B解析i+i2

12、=1+i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.3 .復(fù)數(shù)zi=3+i,Z2=1i,則ziZ2等于（）A2B22iC42iD42i答案C4 .設(shè)zi=2+bi,z2=a+i,當(dāng)zi+z2=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi為（）A. 1 +i B. 2 + iC. 3 D. - 2-i答案D解析,.a+bi=-2i.5 .已知|z|=3,且z+3i是純虛數(shù)，則z=.答案3i解析z=a+bi(abCR),則z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i為純虛數(shù)，.a=0,b+3w0,沖|=3,，b=3,z=3i.6 .計(jì)算：(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(2008+2009i)+(2009-2010i)

13、+(2010+2011i)=.答案1005+1005i解析原式=(12+34+2008+2009-2010)+(2+34+5+2009-2010+2011)i=-1005+1005i.7 .計(jì)算：(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(2)(；+；i)+(2-i)-(；-；i);3232已知zi=2+3i,z2=1+2i,求zi+z2,ziz2.解(1)(-7i+5)-(9-8i)+(32i)=-7i+5-9+8i+3-2i=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.1143(2)(；+；i)+(2-i)-C-；i)3232=_+_i+2-i-+-i=4+24)+(11+3)i

14、=1+i.3322(3)z+z2=2+3i+(1+2i)=1+5i,ziz2=2+3i-(-1+2i)=3+i.、能力提升8 .如果一個(gè)復(fù)數(shù)與它的模的和為5+3i,那么這個(gè)復(fù)數(shù)是L1答案小解析設(shè)這個(gè)復(fù)數(shù)為x+yi(x,yR)-x+yi+yjx2Ty2=5+yjsi,9 .若|z2|=|z+2|,則|z1的最小值是L答案1解析由|z2|=|z+2,知z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是到(2,0)與到(一2,0)距離相等的點(diǎn)，即虛軸.|z1|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與(1,0)的距離.11min=1.m2+m10 .設(shè)mCR,復(fù)數(shù)zi=+(m-15)i,Z2=-2+m(m-3)i,若zi+Z2是虛數(shù)，則mm+2的取值范圍是-

15、答案mw5,mw3且mw-2(mCR)m2+m解析-zi=+(m-15)i,Z2=-2+m(m-3)i,m+2m2+m.zi+Z2=-2+(m-15)+m(m-3)im+2mm4二+(m2-2m-15)i.m+2,Z1+Z2為虛數(shù)，/.m2-2m-15wo且mw2,解得mw5,mw3且mw-2(mR).11 .復(fù)平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+2i,向量元對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3-i,求C點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo).解-.AC=BC-BA,A3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)-(1+2i)=2-3i,設(shè)C(x,y),則(x+yi)(2+i)=23i,.x+yi=(2+i)+(2-3i)

16、=4-2i,故x=4,y=2.C.點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)為(4,2).12 .已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,i,2+i,求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解方法一設(shè)D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yCR),則D(x,y),又由已知A(1,3),B(0,1),C(2,1).AC中點(diǎn)為2,2,BD中點(diǎn)為x,y-21.平行四邊形對(duì)角線互相平分，3x一=一22x=3.即點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i.y1y=52=2方法二設(shè)D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yR).則AD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x+yi)(1+3i)=(x1)+(y3)i,又BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)(i)=2+2i,.AD=BC.x1)+(y3)i=