有限元課件 單元分析

1、 桿系問題以結(jié)點(diǎn)作為分割單元的桿系問題以結(jié)點(diǎn)作為分割單元的“結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)”是很自然的，但是很自然的，但對于平面問題，待分析物體是連續(xù)的，并不存在實(shí)際結(jié)點(diǎn)。要對于平面問題，待分析物體是連續(xù)的，并不存在實(shí)際結(jié)點(diǎn)。要將物體將物體“拆拆”成單元，必須用一些假想的線或面作人為地分割。成單元，必須用一些假想的線或面作人為地分割。將物體進(jìn)行分割時，必須保證相鄰單元具有公共邊界。假定相將物體進(jìn)行分割時，必須保證相鄰單元具有公共邊界。假定相鄰單元僅在一些點(diǎn)（頂點(diǎn)或頂點(diǎn)加邊中點(diǎn)）相連接。這些點(diǎn)即鄰單元僅在一些點(diǎn)（頂點(diǎn)或頂點(diǎn)加邊中點(diǎn)）相連接。這些點(diǎn)即為為“結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)”。實(shí)際計算時，可將連續(xù)體分成多種形狀單元，為。實(shí)際計算

2、時，可將連續(xù)體分成多種形狀單元，為討論簡單，現(xiàn)暫時規(guī)定只用一種單元來分割。討論簡單，現(xiàn)暫時規(guī)定只用一種單元來分割。 以位移為未知量的有限元法，以位移為未知量的有限元法，最關(guān)鍵的工作是建立單元位最關(guān)鍵的工作是建立單元位移場移場，因此本節(jié)主要介紹各種單元位移場的建立。，因此本節(jié)主要介紹各種單元位移場的建立。引引 言言 平面問題有限元法可用的單元很多，先介紹最簡單的單元：平面問題有限元法可用的單元很多，先介紹最簡單的單元：三角形。三角形。第四章 平面問題的有限元分析一、有限元法的基本思想一、有限元法的基本思想 假想的把一連續(xù)體分割成數(shù)目有限的小體（單元），彼此間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）出相互連結(jié)

3、，組成一個單元的集合體以代替原來的連續(xù)體，再在結(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。選擇一個簡單的函數(shù)來近似地表示位移分量的分布規(guī)律，建立位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。 有限元法的實(shí)質(zhì)是：把有無限個自由度的連續(xù)體，理想化為只有有限個自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題。二、經(jīng)典解與有限元解的區(qū)別：二、經(jīng)典解與有限元解的區(qū)別： 微分 數(shù)目增到 建立一個描述連續(xù)體經(jīng) 典 解 法 （解析法） 大小趨于 0 性質(zhì)的偏微分方程 有限單元 離散化 集合 總體分析解有限元法連續(xù)體單元代替原連續(xù)體（近似法） （單元分析） 線性方程組xy為平面應(yīng)力問題，由于結(jié)構(gòu)的對稱性可取結(jié)構(gòu)的1/4來

4、研究，故所取的力學(xué)模型三、有限元法算題的基本步驟三、有限元法算題的基本步驟1. 力學(xué)模型的選取力學(xué)模型的選取 （平面問題，平面應(yīng)變問題，平面應(yīng)力問題，軸對稱問題，空間問題，板，梁，桿或組合體等，對稱或反對稱等）例如： 根據(jù)題目的要求，可選擇適當(dāng)?shù)膯卧呀Y(jié)構(gòu)離散化。對于平面問題可用三角元，四邊元等。2. 單元的選取、結(jié)構(gòu)的離散化單元的選取、結(jié)構(gòu)的離散化例如：結(jié)構(gòu)離散化后，要用單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)的位移通過插值來獲得單元內(nèi)各點(diǎn)的位移。在有限元法中，通常都是假定單元的位移模式是多項式，一般來說，單元位移多項式的項數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相等。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應(yīng)視單元的類型

5、而定。 eNf3. 選擇單元的位移模式選擇單元的位移模式（4-1） f單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移列陣； e單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣； N單元的形函數(shù)矩陣；（它的元素是任一點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù)） eB eBD4. 單元的力學(xué)特性分析單元的力學(xué)特性分析 把（3-1）式代入幾何方程可推導(dǎo)出用單元結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變表達(dá)式：（4-2）式中： 單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變列陣； B單元的應(yīng)變矩陣；（它的元素仍為位置坐標(biāo)的 函數(shù)） 再把（4-2） 式代入物理方程，可導(dǎo)出用單元結(jié)點(diǎn)位移列陣表示的單元應(yīng)力表達(dá)式：（4-3）最后利用彈性體的虛功方程建立單元結(jié)點(diǎn)力陣與結(jié)點(diǎn)位移列陣之間的關(guān)系，即形成單元的剛度方程式： eeekR vTedxd

6、ydzBDBk式中： 單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力列陣； D單元的彈性矩陣，（它與材料的特性有關(guān)）式中：單元剛度矩陣（4-4）（4-5） ek考慮整體結(jié)構(gòu)的約束情況，修改整體剛度方程之后，（4-6）式就變成以結(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的代數(shù)方程組。解此方程組可求出結(jié)點(diǎn)位移。 用直接剛度法將單剛組集成總綱，并將組集成總載荷列陣，形成總體結(jié)構(gòu)的剛度方程： ek K eR R（4-6） 解出整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣后，再根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)的編號找出對應(yīng)于單元的位移列陣，將代入（4-3）式就可求出各單元的應(yīng)力分量值。 e e RK5. 建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程6. 求解修改后的整體結(jié)構(gòu)剛度方程求解修改后的整體

7、結(jié)構(gòu)剛度方程7. 由單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣計算單元應(yīng)力由單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣計算單元應(yīng)力 求解出整體結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力后，可有選擇地整理輸出某些關(guān)鍵點(diǎn)的位移值和應(yīng)力值，特別要輸出結(jié)構(gòu)的 變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、結(jié)構(gòu)仿真變形過程動畫圖及整體結(jié)構(gòu)的彎矩、剪力圖等等。8. 計算結(jié)果輸出計算結(jié)果輸出一、離散化一、離散化 在運(yùn)用有限單元法分析彈性力學(xué)平面問題時，第一步就是要對彈性體進(jìn)行離散化，把一個連續(xù)的彈性體變換為一個離散的結(jié)構(gòu)物。對于平面問題，三角形單元是最簡單、也是最常用的單元，在平面應(yīng)力問題中，單元為三角形板，而在平面應(yīng)變問題中，則是三棱柱。 假設(shè)采用三角形單元，把彈性體劃分為有限個互不重疊的三角形。這

8、些三角形在其頂點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）處互相連接，組成一個單元集合體，以替代原來的彈性體。同時，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷和體積載荷），都按虛功等效的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，成為等效節(jié)點(diǎn)載荷。由此便得到了平面問題的有限元計算模型，如下圖所示。 FF1F2F3xoyQ 結(jié)構(gòu)物的離散結(jié)構(gòu)物的離散Q 假定三角形單元的位移模式假定三角形單元的位移模式 imjuiviujvjv(x,y).u(x,y)umvm(x,y)xyo ufv 123456,u x yxyv x yxy TmmjjiiTTmTjTievuvuvu Tiiivu（i，j，m 輪換） (a)三角形單元中的節(jié)點(diǎn)位移如下：三角形單元中

9、的節(jié)點(diǎn)位移如下： iiiejjjmmmuvuvuv 建立單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，單元節(jié)點(diǎn)位建立單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，單元節(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)為移坐標(biāo)為( xi,yi ), ( xj,yj ), ( xm,ym ) 每一點(diǎn)的位移由下列方程給出，在每一點(diǎn)的位移由下列方程給出，在 i點(diǎn)上點(diǎn)上 的水平位移方程為：的水平位移方程為： ui= 1+ 2 xi + 3 yi uj= 1+ 2 xj + 3 yj um= 1+ 2 xm + 3 ym根據(jù)克萊姆法則，可求出根據(jù)克萊姆法則，可求出 1， 2 ， 3 11AA1121iijjmmxyAxyxy 1iiijjjmmmuxyAuxyu

10、xy其中其中22AA2111iijjmmuyAuyuy33AA3111iijjmmxuAxuxu2111111ijiijmjmmyyyAuuuyyy iijjmmu bu bu b3111111ijiijmjmmxxxAuuuxxxi ijjm mucu cu c其中其中ijmmjijmimjax yx ybyycxxijm1iijjiiijmjjmmmmxyxyxyAuuuxyxyxyiijjmmu au au a展開后展開后123,u x yxy1212iijjm mi ijjm mi ijjm miiiijjjjmmmmuau au ax ubu bu by ucu cu cabx c

11、y uab x c y uab x c y u令令1,2iiiiNx yab xc y(i, j, m), ,iijjmmiii j muN uN uN uN uNi 單元的形函數(shù)單元的形函數(shù)可得可得同理可得同理可得 vi = 4+ 5xi+ 6yi vj = 4+ 5xj+ 6yj vm = 4+ 5xm+ 6ym解出解出 4 , 5 , 6 456( , )1212iijjmmiijjmmiijjmmiiiijjjjmmmmv x yxyv av av ax v bv bv by v cv cv cab xc y vab xc y vab xc y v, ,iijjmmiii j mvN

12、vN vN vN v可以寫成可以寫成 000000eiiijmjijmjmmuvNNNuufNNNvvuv 寫成矩陣寫成矩陣形式形式所以，單元的位移模式：所以，單元的位移模式： N 形態(tài)矩陣形態(tài)矩陣 efNQ 單元的應(yīng)變單元的應(yīng)變 由于由于 xyxy xyxyuxvyuvyx根據(jù)幾何方程根據(jù)幾何方程12121122iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmub ub ubuxvc vc vcvyuvc uc ucub vb vbvyx得出得出 00010002iiijmejijmjiijjmmmmuvbbbucccBvcbcbcbuv 寫成矩陣形式寫成矩陣形式矩陣矩陣B稱為幾何矩陣稱為幾

13、何矩陣 ijmBBBB0102iiiiibBccb 因此單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)因此單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù), B 是常數(shù)，是常數(shù)，所以三角形單元是常應(yīng)變單元所以三角形單元是常應(yīng)變單元。其中其中（i= i, j, m）Q 單元的應(yīng)力單元的應(yīng)力 根據(jù)彈性方程根據(jù)彈性方程 D eDB令令S=DB S 應(yīng)力應(yīng)力矩陣矩陣把把S矩陣分塊，得矩陣分塊，得 iiSDB ijmSDBDBDB其中其中Si如下如下(i=i, j, m)對于平面應(yīng)力情況對于平面應(yīng)力情況 22 11122iiiiiiibcESbccb（i=i, j, m)對于平面應(yīng)變情況對于平面應(yīng)變情況2,11EE 112 11

14、 211 21 22 12 1iiiiiiibcESbccb（i=i, j, m)可知，三角形單元中的應(yīng)力各處相等可知，三角形單元中的應(yīng)力各處相等Q 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì) 1( , )()2iiiiN x yab xc y1211iijjmmxyxyxy 1,12iiiiiiiiNx yab xc y4-3 形函數(shù)的性質(zhì)及面積坐標(biāo)形函數(shù)的性質(zhì)及面積坐標(biāo)形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)i上的值上的值=1 形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值形函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值在三角形面積表示的行列式中以第一行展開在三角形面積表示的行列式中以第一行展開ijmjmax yy xijmbyyimjcxx2iiiiiab xc y Ni 在其

15、余二節(jié)點(diǎn)上的值等于零在其余二節(jié)點(diǎn)上的值等于零 把面積的行列式以第一行展開乘第二行的代數(shù)余子式把面積的行列式以第一行展開乘第二行的代數(shù)余子式 把面積的行列式以第一行展開乘第三行的代數(shù)余子式把面積的行列式以第一行展開乘第三行的代數(shù)余子式 ,1()()021()()02ijjiijijimmiimimN x yab xc yN x yab xc y同理可得同理可得(,)1jjjN x y( ,)0jiiN x y ,()0immN x y( ,)0miiNx y (,)0mjjNx y,()1mmmNx y,1()0ijjijNx yijij( , ,)i j m當(dāng)當(dāng)所以所以 在單元上任一點(diǎn)的三個形

16、函數(shù)之和等在單元上任一點(diǎn)的三個形函數(shù)之和等于于 1 在三角形單元任一邊如在三角形單元任一邊如 i j 邊上的形函數(shù)邊上的形函數(shù)( , )( , )( , )1()2ijmiiijjjmmmN x yNx yNx yab xc yab xc yab xc y1()()121() 12ijmijmijmijmaaabbb xccc yaaa(,)1(,)iijiijjixxNxyxxxxNxyxx 利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線性插值之后，在其公共邊上將是行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的連續(xù)的。Q 面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)ii

17、LjjLmmLijmmijxyop 面積坐標(biāo)的定義面積坐標(biāo)的定義 在三角形內(nèi)任意一點(diǎn)在三角形內(nèi)任意一點(diǎn)p定義定義 i, j, m分別表示節(jié)點(diǎn)分別表示節(jié)點(diǎn)i, j, m所對應(yīng)的三角形面積。所對應(yīng)的三角形面積。 i+ j+ m= Li+Lj+Lm=1根據(jù)面積坐標(biāo)的定義可知根據(jù)面積坐標(biāo)的定義可知 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)i, 即即p點(diǎn)移到點(diǎn)移到i點(diǎn)點(diǎn), i= , Li=1, j= m=0 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)j, 即即p點(diǎn)移到點(diǎn)移到j(luò)點(diǎn)點(diǎn), j= , Lj=1, i= m=0 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)m, 即即p點(diǎn)移到點(diǎn)移到m點(diǎn)點(diǎn), m= , Lm=1, i= j=0 面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系1111221121212ijjiiimmiiiiiijjjjjjmmmmmmxyxyab xc yxyLab xc yNLab