2017年高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國3卷逐題解析

1、 2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國） 理科數(shù)學(xué) （試題及答案解析） 一、選擇題：（本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分） 1 已知集合 A （x,y）x2 y2 1 , B （x,y） y x，則 Al B 中元素的個數(shù)為（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】A表示圓 x2 y2 1 上所有點的集合，B表示直線y x上所有點的集合， 故Al B表示兩直線與圓的交點， 由圖可知交點的個數(shù)為 2,即Al B元素的個數(shù)為 2, 故選 B. 4 2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1 i）z 1 A.- 2 【答案】C O2i，則 z () B. 2 2 2i 1 i

2、 2i 2 , C. . 2 D. 2 【解析】 由題,z 1 i i 1，則 z 12 12 2，故選 C 1 1 i 1 i 2 3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了 年12 月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖. 2014年1月至2016 4. (x A. 【答案】 【解析】 5 3 3 y)(2x y)的展開式中 x y 的系數(shù)為 B. () C. 40 D. 80 C 由二項式定理可得, x 2x 原式展開中含 3 2x x3y3的項為 40 x3y3，則 x3y3的系數(shù)為 40,故選 C. 5 .已知雙曲線 的一條漸近線方程為 于

3、x，且與橢圓 x y_ 1 有公共焦點. 則 C 的方程為 12 3 2 2 2 2 A. x 二 1 x B. I 1 8 10 4 5 【答案】 B 【解析】 雙曲線的一條漸近線方程為 y 2 x C. 5 D. 2 又.橢圓 12 1- 1 與雙曲線有公共焦點，易知 3 3，則 b2 c2 9 由解得 a 2,b 5，則雙曲線 C 的方程為 B. 月接待游客量(萬人) 45 - 20 1245679 101112 101112 12il5 67K9 101112 2014 年 2015 年 2016 年 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是() A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐

4、年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7, 8 月 D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對于 7 月至 12 月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 【答案】A 【解析】由題圖可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在減少，則 A 選項錯誤，故選 A. 2 2 () 2 4 n 6設(shè)函數(shù) f(x) cos(x -)，則下列結(jié)論錯誤的是() 3 .-. 8 n B . y f (x)的圖像關(guān)于直線 x 對稱 3 【答案】 A. f (x)的一個周期為 2 n C. f (x )的一個零點為 x D. f(x)在(匸，冗)單調(diào)遞減 2 則圓柱體體積 V n2h ，故選 B. 4【解

5、函數(shù) f x cos x n的圖象可由 3 y cosx向左平移n個單位得到, 3 A. B. C. D. 【答案】 5 4 3 2 D 程序運行過程如下表所示: S 0 100 90 初始狀態(tài) 第 1 次循環(huán)結(jié)束 第 2 次循環(huán)結(jié)束 此時 S 90 91 首次滿足條件， N 2 為滿足條件的最小值，故選 M 100 10 1 程序需在 D. &已知圓柱的高為 1,它的兩個底面的圓周在直徑為 為() 2 的同一個球的球面上，則該圓柱的體積 A. B. 4 【答【解由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑 12 3時跳出循環(huán), A24 B. 3 C. 3 【答案】 A 【解析】 a

6、n 為等差數(shù)列，且 a2 ,a3,a6成等比數(shù)列，設(shè)公差為 則a； a2 a6 ，即卩 a 2d 2 a1 d a1 5d 9.等差數(shù)列 an的首項為 1 公差不為 0.右 a2, a3, 成等比數(shù)列，則 a.前 6 項的和為 () D. 8 又 d 0 ,貝 U d 2 6 5 6 5 24，故選 A S6 6a1 d 1 6 2 2 2 又 a 1，代入上式可得 d2 2d 0 2 2 y_ 1 b2 ay 2ab x a 的圓與直線 bx / 3 A 以 10.已知橢圓 C A. 【答案】 【解析】 又 0)的左、右頂點分別為 A , A，且以線段 A A為直徑 B. 0 相切，則 C

7、的離心率為() 乜 C.二 3 3 D. AA為直徑為圓與直線 bx ay 2ab 0 相切，二圓心到直線距離等于半徑, |2ab a .-2 2 a .a b a 0,b 0 ,則上式可化簡為 a2 c2，可得a2 3 2 3b 即 ? a 3 6 6，故選 A 3 11.已知函數(shù) f (x) 2 x 2x x a(e 1 e x 1)有唯一零點， 則 a () A. 1 B. 1 C. 1 2 3 2 【答案】 C 【解析】 由條件， f(x) 2 x 2x / X 1 x 1 / 冃 a(e e )，得： f(2 x) (2 x)2 2(2 2 x 1 (2 x) 1 x) a(e e

8、) 2 x 4x 4 4 1 x x 1、 2x a(e e ) 2 x 2x x 1 a(e e ) f(2 x) f (x), 即 x 1 為 f(x)的對稱軸， a 由題意，f (x)有唯一零點， f (x)的零點只能為 x 1 , D. 1 5 2 即 f (1) 1 2 1 a(e e ) 0 , 12 在矩形 ABCD 中，AB 1 , AD 2，動點 UU LUT HIT ，亠 AP AB AD，貝 V 的取大值為（） A. 3 B. 2 2 【答案】A 【解析】由題意，畫出右圖. 設(shè)BD與 eC 切于點E，連接 CE . P在以點 C 為圓心且與 C. ,5 BD相切的圓上.若

9、 D. 2 以A為原點，AD為軸正半軸, AB為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系, 則 C 點坐標(biāo)為（2,1）. / |CD | 1 , |BC | 2 . 二 BD 12 22 .5 . BD 切 e C 于點E . CE 丄 BD . CE 是 RtA BCD 中斜邊BD上的高. 1 -|BC| |CD| : FBDI 、 即 eC 的半徑為 2 .5 . 5 / P 在 e C 上. P點的軌跡方程為 (x 2)2 (y 1)2 設(shè)P點坐標(biāo)（X0,y0），可以設(shè)出P點坐標(biāo)滿足 的參數(shù)方程如下： Xo 2 5 cos 5 A(O) yo 1 n sl uun 而AP luu / AP uuu (xo

10、,yo) , AB (0,1), uum uur AB AD (0,1) uur AD (2,0). (2,0) (2 ,) 1 X 2 兩式相加得: 5 cos 5 y。1 VSsin 5 其中 sin 當(dāng)且僅當(dāng) 7t 2k n 5 ,cos 5 ,k Z 時, 2 5、 ) 取得最大值 3. 、填空題：(本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分) 【解析】Q an為等比數(shù)列，設(shè)公比為. a a2 1 a1 ae 1 a 比 ，即 3 a2 ae 3， 顯然 q 1 , a1 0 , 代入式可得 a 1 得1 q 3，即 q 2 , 3 a4 a q 3 1 2 8 . 1 【答案】

11、1, 4 【解析】Q f x x 1,x w 0 2x ,x 0 由圖象變換可畫出 y f x的圖象如下: 1與y 13 若x, y滿足約束條件 3x 4y 的最小值為 _ 【答案】1 【解析】由題，畫出可行域如圖： 目標(biāo)函數(shù)為 z 3x 4y，則直線 y 4x 4 縱截距越大，值越小. 4 4 由圖可知：在 A 1,1 處取最小值，故 zmin 3141 14設(shè)等比數(shù)列 【答案】 8 15.設(shè)函數(shù) f(x) 2x二0,則滿足 2 ,x 0, f(x) f(x 1 2) 1的x的取值范圍是 an 5 2 1 , 1 1 由圖可知，滿足 f x 2 1 f x的解為 4, 16. ，為空間中兩條

12、互相垂直的直線，等腰直角三角形 ABC 的直角邊 AC 所在直線與 ，都垂直，斜邊 AB以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： 當(dāng)直線 AB與成60角時，AB與成30角； 當(dāng)直線 AB與成60角時，AB與成60角； 直線AB與所成角的最小值為 45 ； 直線AB與所成角的最大值為 60 . 其中正確的是 _ (填寫所有正確結(jié)論的編號) 【答案】 【解析】由題意知， a、b AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖. 不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為 1, 故 |AC| 1 , AB J2 , 斜邊AB以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則 A點保持不變， B點的運動軌跡是以 C 為圓心，1 為半徑的圓. 以

13、 C 為坐標(biāo)原點，以 CD 為軸正方向，CB 為軸正方向， CA 為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系. 則 D(1,0,0) , A(0,0,1), 直線的方向單位向量 a (0,1,0) , |a| 1 . B點起始坐標(biāo)為(0,1,0), 直線的方向單位向量 b (1,0,0) , |b| 1. cos 設(shè)B點在運動過程中的坐標(biāo) B (cos ,sin ,0), 其中為 BC 與 CD 的夾角， 那么AB在運動過程中的向量 Au與所成夾角為 (cos , sin - Ua lABl cos 0導(dǎo) 0,2 n. uiur AB ( cos , sin J)10)占sin | 0 2 2 n n ,，

14、所以正確，錯誤. 4 2 Au與所成夾角為 uuur r AB b b|- (cos ,sin ,1) (1,0,0) n 0,2】, sin ,1), ujur _ |AB | 2 . -ub AB % |cos 2 與夾角為 60 時，即 -2 cos 2 cos 3 n 3， .21 2 2 2 1 , 2 2 cos sin |cos 二 cos j|cos | 1 2 2 二=上，此時 AB 與夾角為 60 3 正確，錯誤. 三、解答題：（共 70 分第 17-20 題為必考題，每個試題考生都必須作答第 題，考生根據(jù)要求作答） （一）必考題：共 60 分. 17. （ 12 分） A

15、BC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知 sin A - 3 cos A 0, a 2 7 , b 2 . （1 ）求 c ； （2 ）設(shè)D為 BC 邊上一點，且 AD AC，求 ABD的面積. 冗 1)由 SinA 3C0SA 0 得2Sin A 3 0 , AC AD，即AACD為直角三角形, 則 AC CD cosC，得 CD . 7 . 由勾股定理 AD J|CD|2 |AC|2 爲(wèi). 又 A 3,貝y DAB 3 3 3 2 6 SAABD 1|AD| |AB sin - 3. 2 6 18. （ 12 分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶 4

16、 元，售價每瓶 6 元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶 2 元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗， 每天需求量與當(dāng)天最咼氣溫（單位：C）有關(guān).如果最咼氣溫不低于 25,需求量為 500 瓶; 如果最咼氣溫位于區(qū)間 20,25 ,需求量為 300 瓶；如果最咼氣溫低于 20,需求量為 200 瓶, 為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù) 分布表: 最高氣溫 10 ,15 15,20 20 ,25 25 ,30 30 ,35 35,40 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.22, 23 題為選考 【解即

17、A n 3 kn k Z，又 A 0, n , 冗 二 A 3 n,得 A 2n A亍 由余弦定理 2 a b2 c2 2bc cos A.又 2 c 1 25， 故 c 4. (2)v AC 2,BC 2.7, AB 4 , 由余弦定理 cosC 2 .2 a b c2 247 2ab 7 * a 2療b 2 (1) 求六月份這種酸奶一天的需求量 X (單位：瓶)的分布列； (2) 設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為 Y (單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進 貨量(單位：瓶)為多少時， Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 【解析】易知需求量可取 200,300,500 P X 200 2 16 1 30

18、 3 5 P X 300 36 2 30 3 5 P X 500 則分布列為： 25 7 4 230 3 5 X 200 300 500 P 2 5 當(dāng) n 200 時：丫 n 6 4 2n，此時 Ymax 400，當(dāng) n 200 時取到 當(dāng)200 n 300 時： Y 上 1 2n 200 2 n 200 2 5 5 8 800 2n n 6n 800 11 5 5 5 此時 Ymax 520，當(dāng) n 300 時取到. 當(dāng) 300 n 500 時，易知一定小于的情況 . 綜上所述：當(dāng) n 300 時，取到最大值為 520. 19. ( 12 分)如圖，四面體 ABCD 中， ABC 是正三角

19、形, AB= BD . (1)證明：平面 ACD A平面 ABC ; (2 )過 AC 的平面交BD于點E，若平面 AEC 把四面體 ABCD 分成體積相等的兩部分.求二 面角D- AE- C 的余弦值. 【解析】取 AC 中點為 O，連接 BO , DO ； Q ABC 為等邊三角形 BO AC AB BC AB BC BD BD ABD CBD . ABD DBC AD CD ,即 ACD 為等腰直角三角形, 為直角又 O 為底邊 AC 中點 ACD 是直角三角形. ABD CBD , ADC A DO AC 令 AB a，貝 U AB| | AC |BC | BD a 易得：OD 手 a

20、 , OB fa 2 2 2 |OD | OB |BD| 20. ( 12 分)已知拋物線 C : y2 = 2x，過點(2, 0)的直線交 C 于A , B兩點，圓M是以線 段AB為直徑的圓. (1 )證明：坐標(biāo)原點 O 在圓M上； (2)設(shè)圓M過點P (4, - 2 )，求直線與圓M的方程. 【解析】顯然，當(dāng)直線斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合題意. 設(shè) l : x my 2 , Ag yj , Bgy?), 聯(lián)立： 2 y 2x + 2 得 y 2 my 4 x my 2 即OD OB OD AC OD OB AC I OB O AC 平面 ABC OB 平面 平面 ABC 又 O

21、D 平面ADC 由面面垂直的判定定理可得 由題意可知 V 即B , D到平面 ACE 的距離相等 即E為BD中點 以O(shè)為原點，OA 為軸正方向， COD 為軸正方向，設(shè) AC 系， 平面 ADC 平面 ABC OB 為軸正方向, 建立空間直角坐標(biāo) 則 O 0,0,0 A a,0,0 2 a 0,0,- 2 ，B a,0 0, 4 4 iuu 易得：AE a 3 2,Ta,_ uuir AD uuu ，OA 詁。 設(shè)平面AED的法向量為 uuu iu AE 0 貝 U uuu iu , AD ri 0 AEuu uuu in OA r2 n1，平面 AEC 的法向量為n2 , 3,1, 3 解得 uu )0,1, 3 C 為, 易知為銳角, 由勾股定理的逆定理可得 OD 4m 16 恒大于，y1 y2 2m, y1 y2 4. uir uuu OA OB x/2 yy (m% 2)( my2 2) 2 (m 1)%y2 2m(y1 y?) 4 2 4(m 1) 2m(2m) 4 0 ULT urn OA OB， 即 O在圓M上. UUU uir 右圓 M過點P，貝 U AP BP 0 則圓 M：(x 4)2 (y 1)2 85 yo 崔嚴(yán) 1，xo yo 2 3, 半徑 r |OQ | .32 12 2 2 則圓 M :(x 3