隱函數的求導公式-文檔資料

1、1第五節(jié)第五節(jié) 隱函數的求導公式隱函數的求導公式一一.一個方程的情形一個方程的情形二二.方程組的情形方程組的情形三三.小結小結0),(. 1 yxF一、一個方程的情形一、一個方程的情形隱函數存在定理隱函數存在定理 1 1 設函數設函數),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數，且某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數導數的函數)(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy

2、，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數的求導公式隱函數的求導公式例例 驗驗證證方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的隱隱函函數數)(xfy ，并并求求這這函函數數的的一一階階和和二二階階導導 數數在在0 x的的值值. 解解令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的函函數數)(xfy

3、 函函數數的的一一階階和和二二階階導導數數為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數設函數),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數，且的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則

4、方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內恒能唯一確的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF例例 3 3 設設04222 zzyx，求求22xz .解解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 設設),(xyzzyxfz ，求求xz

5、，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函數對的函數對x求偏導數得求偏導數得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數數對對y求求偏偏導導數數得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函數數對對z求求偏偏導導數數得得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函數數對對x求求偏偏導導數數得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函數數對對y求求偏偏導導數數得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,

6、的的函函數數對對z求求偏偏導導數數得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 11例例5 5：設設求求證證( -,-)0,1.zzx az y bzabxy 12隱函數存在定理設三元函數是區(qū)域隱函數存在定理設三元函數是區(qū)域內的類函數，點且滿足內的類函數，點且滿足則方程組在點的某鄰域內唯一確則方程組在點的某鄰域內唯一確000000(1)000000000(,)(,)0003:( , , ),( , , )(,):(,)0,(,)0,(,)0( , )( , , )0(,)( , , )0yzxyzyzxyzF x y z G x y zCxyzF

7、 xyzG xyzFFF GJy zGGF x y zxyzG x y z 二、方程組的情形二、方程組的情形113(1)0000( )()( )(),(,)(,)( , )( , ),(,)(,)( , )( , )yy xCyy xzz xzz xF GF Gdydzx zy xF GF Gdxdxy zy z 定一對類的一元函數，它們滿足條件定一對類的一元函數，它們滿足條件且有且有142226,.230 xyzdy dzdx dxxyz例6：已知，求 0),(0),(vuyxGvuyxF方程組的情形方程組的情形2隱隱函函數數存存在在定定理理 4 4 設設),(vuyxF、),(vuyxG在

8、在點點),(0000vuyxP的的某某一一鄰鄰域域內內有有對對各各個個變變量量的的連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數，且且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG 0 ，且且偏偏導導數數所所組組成成的的函函數數行行列列式式（或或稱稱雅雅可可比比式式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( 在點在點),(0000vuyxP不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在點在點),(0000vuyxP的某一鄰域內恒能唯一確定一的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數),(yxuu ，),(yxvv ，它們

9、滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例5 5 設設0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2運用公式推導的方法，運用公式推導的方法，將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導并移項求導并移項x, vxvxxuyuxvyxuxx

10、yyxJ ,22yx 在在0 J的的條條件件下下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導，用同樣方法得求導，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 20設設 其其中中 由由方方程程確確定定，求求 例例：222333,( , )-30u x y zzf x yuxyzxyzy 例、設例、設 2 22 20 0 求求ln,.xtyzzzedtx y （分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數的求導法則隱函數的求導法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vu

11、yxGvuyxF三、小結三、小結已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數數，求求? yzyxzx思考題思考題思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .一一、 填填空空題題: :1 1、 設設xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、設設zxyz , ,則則 xz_ _ _ _

12、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 設設,32)32sin(2zyxzyx 證證明明：. 1 yzxz練練 習習 題題三三、 如如 果果 函函 數數),(zyxf對對 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關關 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數數),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數數, ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數數滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfy

13、xfx . . 四四、設設.,3233yxzaxyzz 求求 五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數數的的導導數數或或偏偏導導數數: : 1 1、 設設 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy 2 2、 設設 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數） 六、六、 設函數設函數)(xu由方程組由方程組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所確定所確定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 設設),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所確定的所確定的yx,的函數的函數, ,求求.dxdy八、八、 設設),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所確定所確定, , 證明證明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxy