考研數(shù)學(xué)必背公式

1、考研數(shù)學(xué)必背公式高數(shù)概念基礎(chǔ)知識 因式分解公式：-=( -b)(+b+ +)( n 為正偶數(shù)時 )-=( +b)(-b+-)( n 為正奇數(shù)時 )+=( +b)(-b+ -+)二項(xiàng)式定理：=不等式：(1) a,b 位實(shí)數(shù)，則123.； ；(2) , 0, 則1取整函數(shù)： x-1 xx三角函數(shù)和差化積 ;積化和差 (7) ：sin+sin=2(sin)(cos)sincos= (sin+cos)sin-sin=2(cos)(sin)coscos= (cos+cos)cos+cos=2(cos )(co)sinsin=- (cos-cos)cos-cos=2(sin)(sin)重要三角公式1+=1

2、+=-=1-2=2-1=tan =cot =萬能公式：，則，函數(shù)圖像sec(x)csc(x)cot(x)arcsin(x)arccos(x)arctan(x )arc cot(x)極限 定義函數(shù)極限 x?：（ 6）=A: ?0,?0,當(dāng) 0|x- x0| 時，恒有 |f(x)-A|0,?當(dāng)0)時，恒有 |f(x)-A|0,00,?當(dāng)0- x)時，恒有 |f(x)-A|0,00, ?X0,當(dāng) |x|X 時,恒有 |f(x)-A|0, ?X0,當(dāng)時,恒有(x)-A|X|f=A: ?0, ?X0,當(dāng) -xX時,恒有 |f(x)-A|0, ?N0 當(dāng) nN 時 ,恒有 |Xn-A|0,使 f(x)在

3、U=x0 x-x0 0, 則 存 在 x0的一個去心(3)局部保號性：(脫帽)若鄰域，在該鄰域內(nèi)恒有f(x)0.20的一個去心鄰域，在該鄰域內(nèi)f(x)( )0，(戴帽 )若存在 x且=A( ?)，則 A0.計(jì)算極限四則運(yùn)算：設(shè)= A(?),=B( ?),則1=A B.2=A ?B.3=(B0.等價無窮?。?9）?ln(1+x), (a0) ,0,0(00 01=0,=0;洛必達(dá)法則：“”型：20的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo) ,且 g 0f(x),g(x) 在 x3=A 或?yàn)?則1= ,= ;“”型：20的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)且 f(x),g(x) 在 x,g (x)03=A 或?yàn)?則 注 洛必達(dá)法則能不能用

4、，用了再說.數(shù)列極限存在準(zhǔn)則：1. 單調(diào)有界數(shù)列必收斂2.夾逼準(zhǔn)則：如果函數(shù)f(x),g(x) 及 h(x) 滿足下列條件：(1) g(x)f(x) h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A,則 limf(x)存在，且 limf(x)=A.1max n?max ;兩種典型放縮：2n?min n?max選取的依據(jù)是誰在和式中去決定性作用海涅定理（歸結(jié)原則）：設(shè) f(x) 在(內(nèi)有定義，則=A存在?對任何以為極限的數(shù)列（），極限=A 存在.連續(xù)的兩種定義：（1）0（ 2）間斷點(diǎn)：第一類：可去、跳躍；第二類：無窮、振蕩一元微分學(xué) 定義導(dǎo)數(shù)定義式：f)=0 (xx=x0微分定義式：若y

5、=A+o(),則 dy=A .可導(dǎo)的判別 :(1) 必要條件 :若函數(shù) f(x) 在點(diǎn) 處可導(dǎo) ,則 f(x)在點(diǎn) 處連續(xù) .(2) 充要條件 :存在,都存在，且=.注通俗來說就是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)；函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)且在該點(diǎn)連續(xù)，但在這點(diǎn)的某個鄰域未必連續(xù)；函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)可能連續(xù)，也可能震蕩間斷.可微的判別：=0，則 f(x) 可微。（一元函數(shù)可微即可導(dǎo)）計(jì)算幾個不常見的求導(dǎo)公式：(arccos x) -=(arccot x) -=(n)1(n-1)(n)萊布尼茨公式： (uv)(n) = u v+ Cnuv +uv常見初等函數(shù) n 階導(dǎo)數(shù)：(n)=?lnna() (n)=sin(ax+b

6、)(n)n=asin(ax+b+ )()(n)n()cosax+b=acosax+b+ln(ax+b) (n)=(n1)構(gòu)造輔助函數(shù)：要證+?,只要構(gòu)造?，證明=0.=0F(x)=f(x)十大定理最值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則,其中分別為在a,b上的最小值和最大值 .介值定理：如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，m,M 是 f(x)在該區(qū)間上的最小值和最大值，則對任意的,?,使得=.零點(diǎn)定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 上連續(xù)，且滿足f(a)?f(b)0, 則 y=f(x) 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)增加；若 y=f(x) 在區(qū)間 I 上有 0 則是極小值在的左鄰域 0

7、右鄰域0 則是極大值第二充分條件：設(shè)f(x) 在 x=處二階可導(dǎo)，且=0， 0若0 則在取得極大值若0則在取得極小值第三充分條件：設(shè)f(x) 在 x=處 n 階可導(dǎo)，且=0(m=1,2, ,0 時在取得極大值n-1),0 (n2)則 n 為偶數(shù)時 0時在取得極小值若在上 0則在 上是凹的凹凸性判定：設(shè) f(x) 在 I 上二階可導(dǎo) ,0若在上則在 上是凸的補(bǔ)充定義：設(shè) f(x) 在 (a,b) 內(nèi)連續(xù)，如果對 (a,b) 內(nèi)任意兩點(diǎn)(0,1), 有f+(1-) f()+(1-)f(),則稱 f(x) 在(a,b) 內(nèi)是凸的 ;則是凹的 .拐點(diǎn)判定：（ 3）第一充分條件：設(shè) f(x)在點(diǎn) x=處

8、連續(xù) ,在點(diǎn) x=的某去心鄰域(, )內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在 ,且在該點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)變號 ,則點(diǎn) (,) 為曲線上的拐點(diǎn) .第二充分條件：設(shè) f(x) 在 x=處三階可導(dǎo)，且=0,0,則（,)為拐點(diǎn) .第三充分條件：設(shè)f(x) 在 x=處 n 階可導(dǎo)，且=0(m=2, ,n-1),0(n2), 則當(dāng) n 為奇數(shù)時， (,)為拐點(diǎn) .微分幾何應(yīng)用曲率： y=y(x) 在(x,y(x) 處的曲率公式為曲率半徑：R=曲率圓：，一元積分學(xué)不定積分定義：設(shè)函數(shù) f(x) 定義在某區(qū)間 I 上，若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x), 對于該區(qū)間上任一點(diǎn)都有成立，則稱F(x) 在區(qū)間I 上的一個原函數(shù)，稱=F(x)+C為 f(x

9、) 在區(qū)間 I 上的不定積分。原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)f(x) 必有原函數(shù) F(x) ；若間斷函數(shù)有原函數(shù)，也只能為振蕩間斷。定積分定義：設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上有定義，若存在定積分， 則定積分為曲邊梯形的面積 (x 軸上方取正，下方取負(fù)。定積分的精確定義：=.的值注任意切分，任意取高定積分存在 (可積 )定理：1充分條件在區(qū)間上連續(xù),則存在.在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)2必要條件可積函數(shù)必有界 .定積分的性質(zhì)： (6)1+可拆性：無論 a,b,c 的大小，2g(x), 則有保號性：若在 a,b 上 f(x)特殊地，有.3估值定理：設(shè) m,M 分別是 f(x) 在 a,b 上的

10、最小最大值，則有m(b-a)M(b-a)4中值定理：設(shè) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在 a,b 上至少存在一點(diǎn)，使得= (b-a).（ 1）可導(dǎo)、奇偶性奇，則的奇偶 ,周期 ,有界 ,單調(diào)關(guān)系偶；可導(dǎo)偶，則奇可積奇，則偶；可積偶偶，則奇不定（ 2）可導(dǎo)周期性以 T 為周期，則以 T為周期；可積以 T 為周期，則以T為周期0（ 3）有界性若在有限區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有界，則在(a,b) 內(nèi)有界（ 4） 單調(diào)性無明確結(jié)論變限積分定義：當(dāng)定積分的上限變化、 下限變化或上下限都變化時， 稱該積分為變限積分 .變限積分的性質(zhì)：(1)f(x) 在a,b 上可積，則 F(x)=在a,b 上連續(xù) .

11、(2)f(x) 在a,b 上連續(xù)，則 F(x)=在a,b 上可導(dǎo) .(即只要變限積分 F(x)=存在，就必然連續(xù) .)變限積分求導(dǎo)公式：=-.(x 為”求導(dǎo)變量”，t為”積分變量”)反常積分破壞積分區(qū)間的有界性通俗理解：破壞在上的有界性無窮區(qū)間上的反常積分的概念和斂散性：若? 則收斂=若不 ? 則發(fā)散若? 則收斂=若不 ? 則發(fā)散= 3 1 2+(=+)均收斂 則收斂否則 發(fā)散無界函數(shù)的反常積分的概念和斂散性：若 b 是 f(x) 的唯一奇點(diǎn) ,則若? 則收斂=若不 ? 則發(fā)散若 c是 f(x)的唯一奇點(diǎn)，則=+312(=+)均收斂 則收斂否則 發(fā)散計(jì)算基本積分公式：（24 ）湊微分：（復(fù)雜處

12、理方法）換元法：（三角代換）（倒代換）（整體代換）不定積分分部積分：（推廣）有理函數(shù)積分：N-L 公式：（有原函數(shù)）分部積分：換元法：定積分華氏(點(diǎn)火)公式：區(qū)間再現(xiàn)公式：變限積分求導(dǎo)公式：積分幾何應(yīng)用均值：設(shè),函數(shù) y(x) 在上的平均值為平面曲線弧長(1) 平面光滑曲線 L 由給出，則 L=(2) 平面光滑曲線 L 由參數(shù)式,給出，則 L=(3) 平面光滑曲線 L 由給出，則 L=(4) 平面光滑曲線 L 由給出，則L=?平面圖形面積： (1) S=(2) S=旋轉(zhuǎn)曲面面積： (1) 曲線 y=y(x) 在區(qū)間 a,b 上的曲線弧段繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積(2)曲線(,0)

13、在區(qū)間 上的曲線弧段繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積S=(3) 曲線 y=y(x) 在區(qū)間 a,b 上的曲線弧段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積旋轉(zhuǎn)體體積：(1)曲線 y=y(x) 與 x=a,x=b(a b)及 x 軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積=(2) 曲線 y=(x)0與 y=0 及 x=a,x=b(a b)所及 x軸圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積=(3) 曲線 y=y(x) 與 x=a,x=b (0 ab)及 x 軸圍成的曲邊梯形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積=(4) 曲線 y=(x) 與 y=及 x=a,x=b(0 ab)所圍

14、成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積=多元微分 基本概念1.極限的存在性： 若二元函數(shù) f(x,y)在的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義， 且(x,y以任意)方式 (不考慮無定義點(diǎn) )趨于時，f(x,y)均趨向于 A，則.2.連續(xù)性：如果，則稱 f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù) .3.偏導(dǎo)數(shù)存在性：=214.可微：全增量=54線性增量=36若極限=0, 則稱在處可微 .5.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性1,:用定義法求2,用公式法求并計(jì)算，312在處的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。若=，則6.在處連續(xù)存在在處連續(xù)存在計(jì)算多元函數(shù)微分遵循鏈?zhǔn)椒▌t隱函數(shù)求導(dǎo)法設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，并且0，0，則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)恒能確定唯一的連續(xù)函數(shù)，且滿足

15、1;:20 ;3有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且;多元函數(shù)極值必要條件：設(shè)在點(diǎn)處取得極值，且在點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)，則必有0,0充分條件：設(shè)在點(diǎn)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè) ()是的駐點(diǎn)，記 A=， B=,C=00極大值極值則 0極小值0 非極值0 不能確定 ，方法失效條件極值： 求在條件=0 下的極值(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)=+0(2)構(gòu)造方程組0，解出所有的 (0(3) 求備選點(diǎn)，其中最大值、最小值即為所求最值在某區(qū)域 D 上的最值：（ 1） 求出 f(x,y) 在 D 內(nèi)所有可疑點(diǎn)處的函數(shù)值；（ 2） 求出 f(x,y) 在 D 的邊界上的最值；（ 3）比較所有的函數(shù)值，得出最值常微分方程 基礎(chǔ)概念1.未知函數(shù)是一元函數(shù)的是常微分方程，多元函數(shù)的是偏微分方程2.未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為微分方程的階3.通解和特解通解中的獨(dú)立常數(shù)個數(shù)與階數(shù)相同，不含任意常數(shù)的解是特解4.線性微分方程：通解 =全部解；非線性 :通解 全部解5.對于二階線性齊次方程，設(shè)是該方程的解 ,則+也是該方程的解的充要條件是=0 ；對于二階線性非齊次方程，設(shè)是該方程的解 ,則+也是該方程的解的充要條件是=1一階微分方程變量可分離型：可化為變量可分離