軌跡方程在解題中的妙用

1、.光滑斜面上的動(dòng)力學(xué)安徽省碭山中學(xué)物理組董鳳蘭物體沿光滑斜面運(yùn)動(dòng)是每年高考的必考模型，該類試題以受力分析、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程等基本規(guī)律為載體，突出考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)（幾何關(guān)系、函數(shù)關(guān)系）處理物理問題的能力，典型題目有求解最短時(shí)間、巧用時(shí)間相等兩種類型。如圖1，光滑斜面傾角為，物塊受重力和支持力，由牛頓第二定律：，可得沿斜面向下的加速度：。 圖1 一、求解最短時(shí)間 例1如圖2，幾個(gè)傾角不同的光滑斜面，高度相同，不同的物體從不同斜面的頂端由靜止開始滑下，則下列說法中正確的是（    ） A滑到底端所用的時(shí)間相等 &

2、#160;            B在傾角為的斜面上滑行時(shí)間最短 C在傾角為的斜面上滑行時(shí)間最短    D在傾角為、的斜面上滑行時(shí)間相等             圖2             

3、0;         圖3 解析：任找一斜面，如圖3，傾角設(shè)為，則物體的加速度，斜面高度設(shè)為，則物體的位移，由，可得滑行時(shí)間，可見：一定時(shí)，角越大，時(shí)間越短，故選C 例2一間新房即將建成要封頂,考慮到下雨時(shí)落至房頂?shù)挠甑文鼙M快淌離房頂,需要設(shè)計(jì)房頂?shù)母叨?設(shè)雨滴沿房頂下淌時(shí)做無初速度無摩擦的運(yùn)動(dòng),那么圖4中所示的四種情況中符合要求的是： （    ）     圖4      &

4、#160;                                    圖5 解析：房子即將建成，所以該題的不變量是斜面的底邊長(zhǎng)，如圖5，雨滴的加速度，位移，由，可得下淌時(shí)間，可見：一定，時(shí)，時(shí)間最短。故選C 二、巧用時(shí)

5、間相等 例3（2004全國(guó)15）如圖6，aDbDcd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，ABCd位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從ABc處釋放（初速為0），用、依次表示滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則  （     ） A  B   C   D               

6、  圖6                              圖7 解析：設(shè)圓的直徑為，若沿直徑ad下滑，作自由落體運(yùn)動(dòng)，由，可得：；若沿任一傾角為的弦下滑，如圖7，加速度，位移，由，得，所以下滑時(shí)間與角無關(guān)，故選D 變式練習(xí)如圖8，o點(diǎn)是豎直圓環(huán)的頂點(diǎn)，oc是圓環(huán)的直徑，

7、oa和ob是兩條不同傾角的弦。在oa、ob、oc線上置三個(gè)光滑的斜面，一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)自由釋放，先后分別沿oa、ob、oc下滑，到圓環(huán)上的時(shí)間比較：（    ）   圖8 A到a點(diǎn)所用的時(shí)間最短    B到b點(diǎn)所用的時(shí)間最短 C到c點(diǎn)所用的時(shí)間最短    D到a、b、c三點(diǎn)所用的時(shí)間一樣長(zhǎng) 解析：采用與例3類似的方法，可得下滑時(shí)間也與角無關(guān)，選D，于是可得到結(jié)論：物體沿光滑的弦，從圓周上任一點(diǎn)滑行到圓周最底點(diǎn)，或從圓周最高點(diǎn)滑行到圓周上任一點(diǎn)，所用時(shí)間相等，與

8、弦的傾角無關(guān)。 應(yīng)用1在距離坡底為的山坡上豎直固定長(zhǎng)也為的直桿AO，A端與坡底B間連有一鋼絲，鋼絲處于伸直狀態(tài)，一穿心于鋼絲上的小球從A點(diǎn)由靜止開始沿鋼絲無摩擦地滑下，如圖9，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間為（    ） A B   C  D條件不足，無法計(jì)算              圖9         

9、60;        圖10                   圖11 解析：方法一、如圖10，設(shè)鋼絲傾角為，下滑加速度，位移，由，得，故選B 方法二、以為圓心，為半徑畫圓，如圖11，由結(jié)論知從A到B與從A到D時(shí)間相等，故，得 應(yīng)用2一質(zhì)點(diǎn)從傾角為的斜面上方P點(diǎn)沿光滑斜槽PA由靜止開始下滑，如圖12，若要使質(zhì)點(diǎn)滑至斜面所需的時(shí)間最短，則PA與豎直線PB之間的夾角應(yīng)取何值？若PB長(zhǎng)為，求此最短時(shí)間。              圖12                         &