立體圖形上最短距離問題

1、立體圖形上最短距離問題金水初中 劉彬在北師大版數(shù)學(xué)的七年級(jí)和八年級(jí)的教材中都涉及到了物體在幾何體外表爬行時(shí)的最短距離問題，這對(duì)于一些剛剛接觸幾何體的同學(xué)是個(gè)很難理解的問題。實(shí)際在數(shù)學(xué)上就是在幾何體外表點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離的問題。結(jié)合教學(xué)實(shí)際，我總結(jié)了教材和練習(xí)中最常見的幾種最短距離問題，主要涉及到了正方體、長方體和圓柱，以及它們幾種簡單的變形，特總結(jié)如下，希望能對(duì)這方面的問題，幫助解決學(xué)生的困惑，能使學(xué)生掌握這方面的知識(shí)。同一個(gè)面最短距離最簡單，主要是連線，借助勾股定理來解決，在下面的介紹簡單介紹，重點(diǎn)說不在同一個(gè)面的問題。這幾個(gè)幾何體中正方體最簡單，下面先從正方體開始說起。一、 正方體和長方體中

2、最短距離例1、 如圖，一只螞蟻在正方體外表爬行1、當(dāng)螞蟻從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿外表爬到頂點(diǎn)B，怎樣爬距離最短？分析：由于頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B在同一個(gè)平面上，所以連接，利用勾股定理直接求解即可。2如圖，如果螞蟻要從邊長為1 cm的正方體頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)C，那么爬行的最段距離是多少？分析：由于頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)C不在同一個(gè)平面上，所以要求最短距離需要將正方體展開，在展開的外表上利用勾股定理求出最短距離。解：將正方體展開，下面是其四連面的一局部，這是A與C的位置如下圖， 這時(shí)AC的長度就是長方形的對(duì)角線的長度。所以 AC的長度等于=所以在正方體中求最短距離相對(duì)來說還是比擬簡單的。3如果將正方體換成邊長AD=2CM

3、，寬DF=3cm，高AB=1cm的長方體，螞蟻仍需從頂點(diǎn)A沿外表爬到頂點(diǎn)E的位置，請(qǐng)你說明這只螞蟻沿怎樣的路線爬行距離最短？為什么？ 分析：由于 長方體每邊的長短不一樣，所以在展開圖中就有三種不同的形式，三種情況下結(jié)果就會(huì)不一樣解：方案一：將面ABCD沿DC展開和面CDEF在同一個(gè)平面中，如圖,這時(shí)BE的長度為2+3=5，EF的長度為1，所以AE= =方案二：將面ADCF沿DF展開和面CDEF在同一個(gè)平面，如圖,這時(shí)AC=2+1=3，EF=3所以AE=方案三：將面ADFG沿FG展開和面EFGH在同一個(gè)平面中，如圖,這時(shí)DE=3+1=4,EH=2.所以AE=。綜上，最短距離應(yīng)該是第二種方案。小結(jié)

4、：長方體中情況一般分三種情況來說明，實(shí)際就是長+寬為一邊，高為一邊；長+高為一邊，寬為一邊；寬+高為一邊，長為一邊三種情況，它的種種變化也是在這幾個(gè)的根底上加以變形。下面我們看它的一種變形應(yīng)用：例2：長方體的長為15CM，寬為10CM，高為20CM，點(diǎn)B離點(diǎn)C 5CM,一只螞蟻如果沿著長方體的外表從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少？分析：此題和上面的一樣，只是沒有從A爬到長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，但是做法一樣的。所以本體也有三種做法。解：如圖一AB=圖二如圖二AB=如圖三圖三圖二二、 圓柱體中最短距離例3：如圖，在圓柱中，底面周長為6CM，高為8CM從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離是多少？分析：由于也是在

5、幾何體外表求最短距離，所以也必須展開，而圓柱展開是個(gè)長方形，并且由于點(diǎn)A、B是相對(duì)位置，所以在展開的長方形中，長方形的長一邊只是圓周長的一半。然后利用勾股定理求解即可。解：圓柱的側(cè)面展開圖如下圖： AB=圓柱是常見的幾何體，所以在它其中也有幾種根本的變形，總結(jié)如下：第一種變形：要繞著圓柱外表從點(diǎn)A到點(diǎn)B ,那么最短距離應(yīng)該為多少？分析：要求要繞著圓柱外表從點(diǎn)A到點(diǎn)B，所以肯定不是沿著高來走，同樣要在展開圖中來求最短距離，這時(shí)在展開圖中，圓柱的一邊為圓柱的底面周長。解：圓柱的展開圖如下列圖所示：AB=第二種變形: 點(diǎn)A在圓柱的外側(cè)，點(diǎn)B在圓柱的內(nèi)側(cè)，并且點(diǎn)B距上底面3CM,那么點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離應(yīng)該為多少？分析：由于一點(diǎn)在內(nèi)部，一點(diǎn)在外部，所以要求的就要在展開圖中分析了，相當(dāng)于在七年級(jí)學(xué)的在河一邊有兩個(gè)村落，求在河上搭一座到兩村落距離最短的橋。這時(shí)就要利用到軸對(duì)稱的知識(shí)求解。如下列圖：解：在圖中點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離就是點(diǎn)A到點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B的距離，所以AB=AB'=綜上所述，在立體圖形求最短距離一定要在其展開圖中求解，所以首先要求學(xué)生掌握常見