高中數(shù)學(xué)2011年高考題型專題沖刺精講(數(shù)學(xué))專題五：解析幾何(教師版)

1、.2011年高考題型專題沖刺精講（數(shù)學(xué)）專題五 解析幾何【命題特點(diǎn)】近三年高考解析幾何每年出一道滿分為12分的解析幾何大題.究其原因,一是解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,二是同學(xué)們?cè)谖磥?lái)學(xué)習(xí)、發(fā)展中的需要所致.細(xì)細(xì)品讀這三年的解析幾何大題,感覺(jué)如山間的涓涓清泉滋潤(rùn)心田,甘甜可口,不愿離去.為了找到清泉流向遠(yuǎn)方的目標(biāo),我從其志、探其源、求其真.經(jīng)過(guò)探究,發(fā)現(xiàn)這幾年的解析幾何大題的命題特點(diǎn)可概括如下:依綱靠本,查基考能;樸實(shí)取材,獨(dú)具匠心;不斷創(chuàng)新,關(guān)注交匯;交切中點(diǎn),核是線圓;長(zhǎng)度面積,最值定值;平行垂直,向量駕馭;求軌探跡,運(yùn)動(dòng)探究;數(shù)形結(jié)合,各領(lǐng)風(fēng)騷;靈氣十足,回味無(wú)窮;文理有別,意境

2、深遠(yuǎn). 本文檔由 高中數(shù)學(xué)免費(fèi)下載平臺(tái)：數(shù)學(xué)1618（ ）為您分享，更多資料盡在數(shù)學(xué)1618復(fù)習(xí)建議1.加強(qiáng)直線和圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，初步掌握了解決直線與圓錐曲線有關(guān)問(wèn)題的基本技能和基本方法。2由于直線與圓錐曲線是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，選擇、填空題靈活多變，思維能力要求較高，解答題背景新穎、綜合性強(qiáng)，代數(shù)推理能力要求高，因此有必要對(duì)直線與圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容、高考的 熱點(diǎn)問(wèn)題作深入的研究。3在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，再通過(guò)縱向深入，橫向聯(lián)系，進(jìn)一步掌握解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的思想和方法，提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。4.在注重提高計(jì)算能力的同時(shí)，要加強(qiáng)心理輔導(dǎo)，幫助學(xué)生克服懼怕計(jì)算的心態(tài)。【試題常

3、見(jiàn)設(shè)計(jì)形式】近四年新教材高考對(duì)解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類型： 求曲線方程(類型確定、類型未定)； 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題(含切線問(wèn)題)； 與曲線有關(guān)的最(極)值問(wèn)題； 與曲線有關(guān)的幾何證明(對(duì)稱性或求對(duì)稱曲線、平行、垂直)； 探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征； 解析幾何雖然內(nèi)容龐雜，但基本問(wèn)題卻只有幾個(gè).如求直線與圓錐曲線的方程；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程；求特定對(duì)象的值；求變量的取值范圍或最值；不等關(guān)系的判定與證明；圓錐曲線有關(guān)性質(zhì)的探求與證明等.對(duì)各類問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)從理論上掌握幾種基本方法，使之在實(shí)際應(yīng)用中有法可依，克服解題的盲目性.如“求變量的取值范圍”，可指導(dǎo)學(xué)生掌握三種

4、方法：幾何法（數(shù)形結(jié)合），函數(shù)法和不等式法. 從宏觀上把握解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的解題要點(diǎn)，能幫助學(xué)生易于找到解題切入點(diǎn)，優(yōu)化解題過(guò)程，常用的解題策略有：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；設(shè)而不求，變式消元；利用韋達(dá)定理溝通坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系；發(fā)掘平面幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算；用函數(shù)與方程思想溝通等與不等的關(guān)系；注意對(duì)特殊情形的檢驗(yàn)和補(bǔ)充；充分利用向量的工具作用；注意運(yùn)算的可行性分析，等等。運(yùn)算是解析幾何的瓶頸，它嚴(yán)重制約考生得分的高低，甚至形成心理障礙.教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生注重算理、算法，細(xì)化運(yùn)算過(guò)程，轉(zhuǎn)化相關(guān)條件，回避非必求量，注意整體代換等運(yùn)算技能，從能力的角度提高對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，反思運(yùn)算失誤的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，

5、不斷提高運(yùn)算水平. 【突破方法技巧】1突出解析幾何的基本思想：解析幾何的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，通過(guò)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，因此要掌握求曲線方程的思路和方法，它是解析幾何的核心之一.求曲線的方程的常用方法有兩類： 一類是曲線形狀明確，方程形式已知(如直線、圓、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等)，常用待定系數(shù)法求方程.戰(zhàn)略合作伙伴：有機(jī)蔬菜專賣(mài)網(wǎng)：居家購(gòu)菜網(wǎng)（http:/www.like- ） 另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般采用以下方法：（1）直譯法：將原題中由文字語(yǔ)言明確給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系直接翻譯成由動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示的等量關(guān)系式.（2）代入法：所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)有著相互關(guān)系，

6、可用所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）表示出已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入已知的曲線方程.（3）參數(shù)法：通過(guò)一個(gè)（或多個(gè)）中間變量的引入，使所求點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系更容易確立，消去參數(shù)得坐標(biāo)的直接關(guān)系便是普通方程. （4）交軌法：動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)構(gòu)成的，由x,y滿足的兩個(gè)動(dòng)曲線方程中消去參數(shù)，可得所求方程.故交軌法也屬參數(shù)法.2.熟練掌握直線、圓及圓錐曲線的基本知識(shí)(1)直線和圓直線的傾斜角及其斜率確定了直線的方向.需要注意的是：()傾斜角的范圍是：0<；()所有的直線必有傾斜角，但未必有斜率.直線方程的四種特殊形式，每一種形式都有各自成立的條件，應(yīng)在不同的題設(shè)條件下靈活使用.如截距式不能表示平行于x

7、軸,y軸以及過(guò)原點(diǎn)的直線，在求直線方程時(shí)尤其是要注意斜率不存在的情況.討論點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般可從代數(shù)特征(方程組解的個(gè)數(shù))或幾何特征(點(diǎn)或直線到圓心的距離與兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系)去考慮，其中幾何特征較為簡(jiǎn)捷、實(shí)用.(2)橢圓 完整地理解橢圓的定義并重視定義在解題中的應(yīng)用.橢圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a(2aF1F2)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.還有另一種定義（圓錐曲線的統(tǒng)一定義）：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比為常數(shù)e(0e1)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，（順便指出：e1，e=1時(shí)的軌跡分別為雙曲線和拋物線）.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，決定于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸.

8、焦點(diǎn)是F（±c,0）時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab0)；焦點(diǎn)是F（0，±c）時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab0).這里隱含，此關(guān)系體現(xiàn)在OFB(B為短軸端點(diǎn))中.深刻理解a，b，c，e，的本質(zhì)含義及相互關(guān)系，實(shí)際上就掌握了幾何性質(zhì).(3)雙曲線 類比橢圓，雙曲線也有兩種定義，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式.同樣要重視定義在解題中的運(yùn)用，要深刻理解幾何量a，b，c，e， 的本質(zhì)含義及其相互間的關(guān)系.雙曲線的漸近線是區(qū)別于橢圓的一道“風(fēng)景線”，其實(shí)它是矩形的兩條對(duì)角線所在的直線（參照課本）. 雙曲線=±1(a0,b0)隱含了一個(gè)附加公式此關(guān)系體現(xiàn)在OAB(A,B分別為實(shí)軸，虛軸的一個(gè)端點(diǎn))中；特

9、別地，當(dāng)a=b時(shí)的雙曲線稱為等軸（邊）雙曲線，其離心率為 .(4)拋物線 拋物線的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡（F l）.定義指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離相等，并在解題中有突出的運(yùn)用.拋物線方程（標(biāo)準(zhǔn)）有四種形式：和 (p0)，選擇時(shí)必須判定開(kāi)口與對(duì)稱軸.掌握幾何性質(zhì)，注意分清2p , p ,的幾何意義.3.掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法 (1)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x的一元方程ax2bxc=0，然后利用“”法. (2)有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，設(shè)而不求

10、;有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重視圓錐曲線的定義的運(yùn)用，以簡(jiǎn)化運(yùn)算. (3)有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，除了利用韋達(dá)定理外，要注意靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算. (4)有關(guān)垂直關(guān)系問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用斜率關(guān)系(或向量方法)及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體處理. (5)有關(guān)圓錐曲線關(guān)于直線l的對(duì)稱問(wèn)題中，若A，A是對(duì)稱點(diǎn)，則應(yīng)抓住AA的中點(diǎn)在l上及kAA·kl=1這兩個(gè)關(guān)鍵條件解決問(wèn)題. (6)有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的存在性問(wèn)題，一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗(yàn)證法”來(lái)解決.【典型例題分析】考點(diǎn)一、曲線（軌跡）方程的求法常見(jiàn)的求軌跡方程的方法：（1）單動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題直接法（五步曲）+ 待定系數(shù)法

11、（定義法）；（2）雙動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題代入法；（3）多動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題參數(shù)法 + 交軌法?！纠?】2010寧夏、設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)斜率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。（1）求的離心率；（2） 設(shè)點(diǎn)滿足，求的方程（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為?！纠?】2010北京、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。（I）解：因?yàn)?/p>

12、點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得化簡(jiǎn)得 .故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積 又直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離.于是的面積當(dāng)時(shí)，得又，所以=，解得。因?yàn)?，所以故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則.因?yàn)?所以所以即，解得因?yàn)椋怨蚀嬖邳c(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【例3】2010遼寧、設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,. （I）求橢圓C的離心率；（II）如果|AB|=，求橢圓C

13、的方程.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分【例4】2010廣東、一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 （1）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式；（2）若過(guò)點(diǎn)H(0, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且 ,求h的值。故，即。（2）設(shè)，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，即。同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，消去得，即，從而，即?？键c(diǎn)二、圓錐曲線的幾何性質(zhì)圓錐曲線中的基本元素：長(zhǎng)短軸，焦距，漸近線，離心率等，在自身多處綜合就會(huì)演變成中檔題，要求熟練掌握其關(guān)系，靈活運(yùn)用圖形幫助分析。圓錐曲線第一定義中的限制條件

14、、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用；常用的解題技巧要熟記于心.【例5】如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解：()由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長(zhǎng)半軸a=3，從而短半軸 b=， 所以橢圓的方程為()由得 因?yàn)椴粸闄E圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上.由()知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以由方程組 解得即P點(diǎn)坐標(biāo)為【例6】2010江西設(shè)橢圓：，拋物線：. (1) 若經(jīng)過(guò)的兩

15、個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；(2) 設(shè)，又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若的垂心為，且的重心在上，求橢圓和拋物線的方程解：（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，可得：，由得橢圓的離心率（2）由題設(shè)可知關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則由的垂心為，有，所以 由于點(diǎn)在上，故有 式代入式并化簡(jiǎn)得：，解得或（舍去），所以，故，所以的重心為，因?yàn)橹匦脑谏系茫海?，又因?yàn)樵谏?，所以，得所以橢圓的方程為：，拋物線的方程為：考點(diǎn)三、 有關(guān)圓錐曲線的定義的問(wèn)題利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.【例7】如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn) P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn) 已知四邊形為平行四邊形， （）寫(xiě)出雙曲線C的

16、離心率與的關(guān)系式；（）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程 解：四邊形是，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又， （）當(dāng)時(shí)，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求【例8】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線 （）求橢圓的方程；（）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)， 若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi) 2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi) 解法2：由（）得A

17、（2，0），B（2，0） 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x4上，即y2 又點(diǎn)M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡(jiǎn)后可得 從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi) 考點(diǎn)四、 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題（1）求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法。 （2）

18、注意韋達(dá)定理的應(yīng)用。 弦長(zhǎng)公式：斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)則 （3）注意斜率不存在的情況的討論和焦半徑公式的使用。（4）有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題 <1>已知直線與圓錐曲線方程，求弦的中點(diǎn)及與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，常用韋達(dá)定理。 <2>有關(guān)弦的中點(diǎn)軌跡，中點(diǎn)弦所在直線方程，中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，有時(shí)采用“差分法”可簡(jiǎn)化運(yùn)算?！纠?】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為 在曲線C上. （）求雙曲線C的方程； （）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若OEF的面積為求直線l的方程解：()依題意，由a2+b2

19、=4，得雙曲線方程為（0a24），將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求雙曲線方程為()解：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,k()(1,).設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由式得x1+x2=于是|EF|=而原點(diǎn)O到直線l的距離d,SOEF=若SOEF，即解得k=±,滿足.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【例10】設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，定點(diǎn)(，0) （1）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在的曲線方程； （2）

20、求證：三點(diǎn)共線解：（1）設(shè)，AN直線，則， 設(shè)，則，解得，代入雙曲線方程，并整理得，即G點(diǎn)所在曲線方程為（2）設(shè)，PA斜率為k，則切線PA的方程為：由，消去y并整理得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相切，從而= = 0，及，解得因此PA的方程為： 同理PB的方程為：又在PA、PB上， 即點(diǎn)，都在直線上，又也在上，A、M、B三點(diǎn)共線考點(diǎn)五、圓錐曲線綜合應(yīng)用平面解析幾何與平面向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，所以這兩者多有結(jié)合，在它們的知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，也是高考命題的一大亮點(diǎn).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題是?？汲Ｐ隆⒔?jīng)久不衰的一個(gè)考查重點(diǎn)，另外，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題等綜合性問(wèn)題

21、也是高考的?？碱}型.解析幾何題一般來(lái)說(shuō)計(jì)算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細(xì)算”，近幾年解析幾何問(wèn)題的難度有所降低，但仍是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，對(duì)考生的意志品質(zhì)和數(shù)學(xué)機(jī)智都是一種考驗(yàn)，是高考試題中區(qū)分度較大的一個(gè)題目，有可能作為今年高考的一個(gè)壓軸題出現(xiàn).圓錐曲線的有關(guān)最值問(wèn)題：圓錐曲線中的有關(guān)最值問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 <1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。圓錐曲線的有

22、關(guān)范圍問(wèn)題：設(shè)法得到不等式，通過(guò)解不等式求出范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘弑硎緸榱硪粋€(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出范圍；圓錐曲線中的存在性問(wèn)題：存在性問(wèn)題，其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立.【例11】2010大綱全國(guó)I、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D（）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .【命題意圖】本小題為解析幾何與平面向量綜合的問(wèn)題，主要考查拋物線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)與圓的方程

23、的求解、平面向量的數(shù)量積等知識(shí),考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力、運(yùn)算能力和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求思想. 解：設(shè)，的方程為.（）由知， 因?yàn)?， 故，解得 所以的方程為又由知故直線BD的斜率，因而直線BD的方程為因?yàn)镵F為的平分線，故可設(shè)圓心，到及BD的距離分別為.由得，或（舍去），故圓M的半徑.所以圓M的方程為.【例12】2010山東、如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率

24、分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.）在雙曲線上，所以有，即，所以=1。（）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則由（）知，所以設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，由方程組消y得：，設(shè)，則由韋達(dá)定理得：所以|AB|=，同理可得|CD|=，又因?yàn)?，所以?+=，所以存在常數(shù)，使得恒成立。【例13】2010湖南、為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地視冰川面為平面形，以過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過(guò)km的區(qū)域；在直線的左側(cè)，

25、考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)km的區(qū)域（）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（）如圖6所示，設(shè)線段，是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間.xy已融化區(qū)域冰川圖6.x=2解：（）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為.當(dāng)x2時(shí)，由題意知；當(dāng)x<2時(shí)，由知，點(diǎn)P在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上.此時(shí)短半軸長(zhǎng).因而其方程為.故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為C1：（x2）和C2：（x<2）.（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，過(guò)點(diǎn)的直線為，則直線的方程分別為，.設(shè)直

26、線l平行于直線，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得.由=0，解得m=8或m=8.從圖中可以看出，當(dāng)m=8時(shí)，直線l與C2的公共點(diǎn)到直線的距離最近，此時(shí)直線l的方程為，l與之間的距離為.又直線到C1和C2的最短距離，而>3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3.設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得，所以n4.故冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年.【例14】2010福建、已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的

27、距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！久}意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為F（-2，0），從而有，解得，又，所以，故橢圓C的方程為。（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以有，解得，另一方面，由直線OA與的距離4可得：，從而，由于，所以符合題意的直線不存在?！纠?5】2010浙江、已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). （）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 的

28、重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解： （）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以,得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為。（）解：設(shè)。 由，消去得則由，知，且有。由于，故為的中點(diǎn)，由，可知設(shè)是的中點(diǎn)，則，由題意可知即即而 所以即又因?yàn)榍宜浴Ｋ缘娜≈捣秶??！就黄朴?xùn)練】1、如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.（I）求曲線E的方程；（II）過(guò)點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點(diǎn)H、Q，求|HQ|.【解】（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|.2分又動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距

29、2c=2. 5分曲線E的方程為6分（2）直線的斜率直線的方程為8分由10分設(shè)，12分2、已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程； （2）設(shè)直線m過(guò)點(diǎn)A，斜率為k，當(dāng)時(shí)，曲線E的上支上有且僅有一點(diǎn)C到直線m的距離為，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).解（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：；（2）設(shè)直線m：，依題意，點(diǎn)C在與直線m平行，且與m之間的距離為的直線上，設(shè)此直線為，由，即，把代入，整理得：，則，即，由得：，此時(shí)，由方程組 .3、在直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP，P為垂足.（1）求線

30、段PP中點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)Q(2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)，且以 為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明文由.【解】（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點(diǎn)，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圓上的任意一點(diǎn)則則有得軌跡C的方程為 （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn). 所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線方程為 由 由= 即 即，四邊形OANB為平行四邊形 假設(shè)存在矩形OANB，

31、則，即， 即， 于是有 得 設(shè)， 即點(diǎn)N在直線上. 存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為AyxOBGFF1圖44、設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）【解析】（1）由得，當(dāng)?shù)茫珿點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過(guò)作軸的垂線與拋

32、物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理 以為直角的只有一個(gè)。若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。5、設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為.（）求橢圓的方程；（）已知過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證： ; （）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值解 ：（1）由題意得： 橢圓的方程為(2)由（1）知是橢圓的左焦點(diǎn)，離心率設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則作，與軸交于點(diǎn)H(如圖)點(diǎn)A在橢圓上 同理 。6、已知拋物線，點(diǎn)M(m,0)在x軸的正半軸上，過(guò)M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為

33、坐標(biāo)原點(diǎn).（）若m=1，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；（）若存在直線l使得成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.則,所以 因?yàn)辄c(diǎn)A, B在拋物線C上, 所以, 由，消去得. -10分若此直線l使得成等比數(shù)列，則，即，所以，因?yàn)?，所以，整理?-12分因?yàn)榇嬖谥本€l使得成等比數(shù)列，所以關(guān)于x1的方程有正根，因?yàn)榉匠痰膬筛e為m2>0, 所以只可能有兩個(gè)正根，所以，解得.故當(dāng)時(shí)，存在直線l使得成等比數(shù)列. -14分方法二：（）解：設(shè)使得成等比數(shù)列的直線AB方程為或,當(dāng)直線AB方程為時(shí), ，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列, 所以，即，解得m=4，或m=0(舍)當(dāng)直線AB方程為時(shí)，由，得，設(shè)A, B兩點(diǎn)坐

34、標(biāo)為, 則 由m>0, 得.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列, 所以,所以， 因?yàn)锳, B兩點(diǎn)在拋物線C上，所以,-11分由，消去, 得,因?yàn)榇嬖谥本€l使得成等比數(shù)列，所以,綜上，當(dāng)時(shí)，存在直線l使得成等比數(shù)列. 7、2010天津、已知橢圓(0)的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。()求橢圓的方程：()設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)。已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(-，0)，點(diǎn)(0，)在線段的垂直平分線上，且=4。求的值。解：()由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為()：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x

35、+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上。 8、已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn). （1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；（3）求PAB面積的最大值。 解：（1）由題可得，設(shè)則，2分，點(diǎn)在曲線上，則，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 5分（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，

36、設(shè)PB的斜率為，6分則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，同理可得，則，. 9分所以：AB的斜率為定值. 10分（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得P到AB的距離為，12分則 。當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)三角形PAB面積的最大值為。14分9、湖北、已知一條曲線C在y軸右邊，C上沒(méi)一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1.()求曲線C的方程；()是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有連個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有? 若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（）設(shè)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足： （）化簡(jiǎn)得 （）（）設(shè)過(guò)點(diǎn)（）的直線與曲線C上交點(diǎn)為設(shè)直線的方程為，由得，于是 又， ， 又，于是不等式等價(jià)于 由式，不等式等價(jià)于 對(duì)任意實(shí)數(shù)t，的最小值為0，所以不等式對(duì)于一切t成立等價(jià)于，即由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線C有兩個(gè)焦點(diǎn)A、B的任一直線，都有且m的取值范圍是。10、四川省文已知定點(diǎn)A(1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)P(x,y)，則化簡(jiǎn)得x21(y0)4分(2)當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為yk(x2)(k0