高中數(shù)學(xué)2011年高考題型專題沖刺精講(數(shù)學(xué))專題五：解析幾何(教師版)

1、.2011年高考題型專題沖刺精講（數(shù)學(xué)）專題五 解析幾何【命題特點】近三年高考解析幾何每年出一道滿分為12分的解析幾何大題.究其原因,一是解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,二是同學(xué)們在未來學(xué)習(xí)、發(fā)展中的需要所致.細(xì)細(xì)品讀這三年的解析幾何大題,感覺如山間的涓涓清泉滋潤心田,甘甜可口,不愿離去.為了找到清泉流向遠(yuǎn)方的目標(biāo),我從其志、探其源、求其真.經(jīng)過探究,發(fā)現(xiàn)這幾年的解析幾何大題的命題特點可概括如下:依綱靠本,查基考能;樸實取材,獨具匠心;不斷創(chuàng)新,關(guān)注交匯;交切中點,核是線圓;長度面積,最值定值;平行垂直,向量駕馭;求軌探跡,運動探究;數(shù)形結(jié)合,各領(lǐng)風(fēng)騷;靈氣十足,回味無窮;文理有別,意境

2、深遠(yuǎn). 本文檔由 高中數(shù)學(xué)免費下載平臺：數(shù)學(xué)1618（ ）為您分享，更多資料盡在數(shù)學(xué)1618復(fù)習(xí)建議1.加強直線和圓錐曲線的基礎(chǔ)知識，初步掌握了解決直線與圓錐曲線有關(guān)問題的基本技能和基本方法。2由于直線與圓錐曲線是高考考查的重點內(nèi)容，選擇、填空題靈活多變，思維能力要求較高，解答題背景新穎、綜合性強，代數(shù)推理能力要求高，因此有必要對直線與圓錐曲線的重點內(nèi)容、高考的 熱點問題作深入的研究。3在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，再通過縱向深入，橫向聯(lián)系，進一步掌握解決直線與圓錐曲線問題的思想和方法，提高我們分析問題和解決問題的能力。4.在注重提高計算能力的同時，要加強心理輔導(dǎo)，幫助學(xué)生克服懼怕計算的心態(tài)。【試題常

3、見設(shè)計形式】近四年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個類型： 求曲線方程(類型確定、類型未定)； 直線與圓錐曲線的交點問題(含切線問題)； 與曲線有關(guān)的最(極)值問題； 與曲線有關(guān)的幾何證明(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直)； 探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征； 解析幾何雖然內(nèi)容龐雜，但基本問題卻只有幾個.如求直線與圓錐曲線的方程；求動點的軌跡或軌跡方程；求特定對象的值；求變量的取值范圍或最值；不等關(guān)系的判定與證明；圓錐曲線有關(guān)性質(zhì)的探求與證明等.對各類問題，學(xué)生應(yīng)從理論上掌握幾種基本方法，使之在實際應(yīng)用中有法可依，克服解題的盲目性.如“求變量的取值范圍”，可指導(dǎo)學(xué)生掌握三種

4、方法：幾何法（數(shù)形結(jié)合），函數(shù)法和不等式法. 從宏觀上把握解決直線與圓錐曲線問題的解題要點，能幫助學(xué)生易于找到解題切入點，優(yōu)化解題過程，常用的解題策略有：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；設(shè)而不求，變式消元；利用韋達定理溝通坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系；發(fā)掘平面幾何性質(zhì)，簡化代數(shù)運算；用函數(shù)與方程思想溝通等與不等的關(guān)系；注意對特殊情形的檢驗和補充；充分利用向量的工具作用；注意運算的可行性分析，等等。運算是解析幾何的瓶頸，它嚴(yán)重制約考生得分的高低，甚至形成心理障礙.教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生注重算理、算法，細(xì)化運算過程，轉(zhuǎn)化相關(guān)條件，回避非必求量，注意整體代換等運算技能，從能力的角度提高對運算的認(rèn)識，反思運算失誤的經(jīng)驗教訓(xùn)，

5、不斷提高運算水平. 【突破方法技巧】1突出解析幾何的基本思想：解析幾何的實質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，因此要掌握求曲線方程的思路和方法，它是解析幾何的核心之一.求曲線的方程的常用方法有兩類： 一類是曲線形狀明確，方程形式已知(如直線、圓、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等)，常用待定系數(shù)法求方程.戰(zhàn)略合作伙伴：有機蔬菜專賣網(wǎng)：居家購菜網(wǎng)（http:/www.like- ） 另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般采用以下方法：（1）直譯法：將原題中由文字語言明確給出動點所滿足的等量關(guān)系直接翻譯成由動點坐標(biāo)表示的等量關(guān)系式.（2）代入法：所求動點與已知動點有著相互關(guān)系，

6、可用所求動點坐標(biāo)（x,y）表示出已知動點的坐標(biāo)，然后代入已知的曲線方程.（3）參數(shù)法：通過一個（或多個）中間變量的引入，使所求點的坐標(biāo)之間的關(guān)系更容易確立，消去參數(shù)得坐標(biāo)的直接關(guān)系便是普通方程. （4）交軌法：動點是兩條動曲線的交點構(gòu)成的，由x,y滿足的兩個動曲線方程中消去參數(shù)，可得所求方程.故交軌法也屬參數(shù)法.2.熟練掌握直線、圓及圓錐曲線的基本知識(1)直線和圓直線的傾斜角及其斜率確定了直線的方向.需要注意的是：()傾斜角的范圍是：0<；()所有的直線必有傾斜角，但未必有斜率.直線方程的四種特殊形式，每一種形式都有各自成立的條件，應(yīng)在不同的題設(shè)條件下靈活使用.如截距式不能表示平行于x

7、軸,y軸以及過原點的直線，在求直線方程時尤其是要注意斜率不存在的情況.討論點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時，一般可從代數(shù)特征(方程組解的個數(shù))或幾何特征(點或直線到圓心的距離與兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系)去考慮，其中幾何特征較為簡捷、實用.(2)橢圓 完整地理解橢圓的定義并重視定義在解題中的應(yīng)用.橢圓是平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a(2aF1F2)的動點的軌跡.還有另一種定義（圓錐曲線的統(tǒng)一定義）：平面內(nèi)到定點的距離和到定直線的距離之比為常數(shù)e(0e1)的動點軌跡為橢圓，（順便指出：e1，e=1時的軌跡分別為雙曲線和拋物線）.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，決定于焦點所在的坐標(biāo)軸.

8、焦點是F（±c,0）時，標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab0)；焦點是F（0，±c）時，標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab0).這里隱含，此關(guān)系體現(xiàn)在OFB(B為短軸端點)中.深刻理解a，b，c，e，的本質(zhì)含義及相互關(guān)系，實際上就掌握了幾何性質(zhì).(3)雙曲線 類比橢圓，雙曲線也有兩種定義，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式.同樣要重視定義在解題中的運用，要深刻理解幾何量a，b，c，e， 的本質(zhì)含義及其相互間的關(guān)系.雙曲線的漸近線是區(qū)別于橢圓的一道“風(fēng)景線”，其實它是矩形的兩條對角線所在的直線（參照課本）. 雙曲線=±1(a0,b0)隱含了一個附加公式此關(guān)系體現(xiàn)在OAB(A,B分別為實軸，虛軸的一個端點)中；特

9、別地，當(dāng)a=b時的雙曲線稱為等軸（邊）雙曲線，其離心率為 .(4)拋物線 拋物線的定義：平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡（F l）.定義指明了拋物線上的點到焦點與準(zhǔn)線的距離相等，并在解題中有突出的運用.拋物線方程（標(biāo)準(zhǔn)）有四種形式：和 (p0)，選擇時必須判定開口與對稱軸.掌握幾何性質(zhì)，注意分清2p , p ,的幾何意義.3.掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法 (1)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x的一元方程ax2bxc=0，然后利用“”法. (2)有關(guān)弦長問題，應(yīng)用弦長公式及韋達定理，設(shè)而不求

10、;有關(guān)焦點弦長問題，要重視圓錐曲線的定義的運用，以簡化運算. (3)有關(guān)弦的中點問題，除了利用韋達定理外，要注意靈活運用“點差法”，設(shè)而不求，簡化運算. (4)有關(guān)垂直關(guān)系問題，應(yīng)注意運用斜率關(guān)系(或向量方法)及韋達定理，設(shè)而不求，整體處理. (5)有關(guān)圓錐曲線關(guān)于直線l的對稱問題中，若A，A是對稱點，則應(yīng)抓住AA的中點在l上及kAA·kl=1這兩個關(guān)鍵條件解決問題. (6)有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的存在性問題，一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗證法”來解決.【典型例題分析】考點一、曲線（軌跡）方程的求法常見的求軌跡方程的方法：（1）單動點的軌跡問題直接法（五步曲）+ 待定系數(shù)法

11、（定義法）；（2）雙動點的軌跡問題代入法；（3）多動點的軌跡問題參數(shù)法 + 交軌法。【例1】2010寧夏、設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數(shù)列。（1）求的離心率；（2） 設(shè)點滿足，求的方程（II）設(shè)AB的中點為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為?！纠?】2010北京、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（I）解：因為

12、點B與A關(guān)于原點對稱，所以點得坐標(biāo)為.設(shè)點的坐標(biāo)為由題意得化簡得 .故動點的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點的坐標(biāo)為，點，得坐標(biāo)分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積 又直線的方程為，點到直線的距離.于是的面積當(dāng)時，得又，所以=，解得。因為，所以故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標(biāo)為.解法二：若存在點使得與的面積相等，設(shè)點的坐標(biāo)為則.因為,所以所以即，解得因為，所以故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標(biāo)為.【例3】2010遼寧、設(shè)橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,. （I）求橢圓C的離心率；（II）如果|AB|=，求橢圓C

13、的方程.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分【例4】2010廣東、一條雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點。 （1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式；（2）若過點H(0, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值。故，即。（2）設(shè)，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個交點知，即。同理，由與E只有一個交點知，消去得，即，從而，即?？键c二、圓錐曲線的幾何性質(zhì)圓錐曲線中的基本元素：長短軸，焦距，漸近線，離心率等，在自身多處綜合就會演變成中檔題，要求熟練掌握其關(guān)系，靈活運用圖形幫助分析。圓錐曲線第一定義中的限制條件

14、、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點內(nèi)容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧要熟記于心.【例5】如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（）求點P的軌跡方程；（）若,求點P的坐標(biāo). 解：()由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸 b=， 所以橢圓的方程為()由得 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構(gòu)成三角形.在PMN中， 將代入，得故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上.由()知，點P的坐標(biāo)又滿足，所以由方程組 解得即P點坐標(biāo)為【例6】2010江西設(shè)橢圓：，拋物線：. (1) 若經(jīng)過的兩

15、個焦點，求的離心率；(2) 設(shè)，又為與不在軸上的兩個交點，若的垂心為，且的重心在上，求橢圓和拋物線的方程解：（1）因為拋物線經(jīng)過橢圓的兩個焦點，可得：，由得橢圓的離心率（2）由題設(shè)可知關(guān)于軸對稱，設(shè)，則由的垂心為，有，所以 由于點在上，故有 式代入式并化簡得：，解得或（舍去），所以，故，所以的重心為，因為重心在上得：，所以，又因為在上，所以，得所以橢圓的方程為：，拋物線的方程為：考點三、 有關(guān)圓錐曲線的定義的問題利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.【例7】如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點 P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點，為坐標(biāo)原點 已知四邊形為平行四邊形， （）寫出雙曲線C的

16、離心率與的關(guān)系式；（）當(dāng)時，經(jīng)過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程 解：四邊形是，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又， （）當(dāng)時，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求【例8】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線 （）求橢圓的方程；（）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點（4，0）的任意一點， 若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明：點在以為直徑的圓內(nèi) 2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 解法2：由（）得A

17、（2，0），B（2，0） 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點兩直線AP與BP的交點P在準(zhǔn)線x4上，即y2 又點M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡后可得 從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 考點四、 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題（1）求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法。 （2）

18、注意韋達定理的應(yīng)用。 弦長公式：斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB，若A、B兩點的坐標(biāo)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)則 （3）注意斜率不存在的情況的討論和焦半徑公式的使用。（4）有關(guān)中點弦問題 <1>已知直線與圓錐曲線方程，求弦的中點及與中點有關(guān)的問題，常用韋達定理。 <2>有關(guān)弦的中點軌跡，中點弦所在直線方程，中點坐標(biāo)問題，有時采用“差分法”可簡化運算?！纠?】已知雙曲線的兩個焦點為 在曲線C上. （）求雙曲線C的方程； （）記O為坐標(biāo)原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若OEF的面積為求直線l的方程解：()依題意，由a2+b2

19、=4，得雙曲線方程為（0a24），將點（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求雙曲線方程為()解：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,k()(1,).設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由式得x1+x2=于是|EF|=而原點O到直線l的距離d,SOEF=若SOEF，即解得k=±,滿足.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【例10】設(shè)點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點(，0) （1）過點作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在的曲線方程； （2）

20、求證：三點共線解：（1）設(shè)，AN直線，則， 設(shè)，則，解得，代入雙曲線方程，并整理得，即G點所在曲線方程為（2）設(shè)，PA斜率為k，則切線PA的方程為：由，消去y并整理得：，因為直線與雙曲線相切，從而= = 0，及，解得因此PA的方程為： 同理PB的方程為：又在PA、PB上， 即點，都在直線上，又也在上，A、M、B三點共線考點五、圓錐曲線綜合應(yīng)用平面解析幾何與平面向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，所以這兩者多有結(jié)合，在它們的知識點交匯處命題，也是高考命題的一大亮點.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是?？汲Ｐ?、經(jīng)久不衰的一個考查重點，另外，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題等綜合性問題

21、也是高考的常考題型.解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細(xì)算”，近幾年解析幾何問題的難度有所降低，但仍是一個綜合性較強的問題，對考生的意志品質(zhì)和數(shù)學(xué)機智都是一種考驗，是高考試題中區(qū)分度較大的一個題目，有可能作為今年高考的一個壓軸題出現(xiàn).圓錐曲線的有關(guān)最值問題：圓錐曲線中的有關(guān)最值問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 <1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。圓錐曲線的有

22、關(guān)范圍問題：設(shè)法得到不等式，通過解不等式求出范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘弑硎緸榱硪粋€變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出范圍；圓錐曲線中的存在性問題：存在性問題，其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點的坐標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立.【例11】2010大綱全國I、已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關(guān)于軸的對稱點為D（）證明：點F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .【命題意圖】本小題為解析幾何與平面向量綜合的問題，主要考查拋物線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)與圓的方程

23、的求解、平面向量的數(shù)量積等知識,考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理論證的能力、運算能力和解決問題的能力，同時考查了數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求思想. 解：設(shè)，的方程為.（）由知， 因為 ， 故，解得 所以的方程為又由知故直線BD的斜率，因而直線BD的方程為因為KF為的平分線，故可設(shè)圓心，到及BD的距離分別為.由得，或（舍去），故圓M的半徑.所以圓M的方程為.【例12】2010山東、如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率

24、分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.）在雙曲線上，所以有，即，所以=1。（）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則由（）知，所以設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，由方程組消y得：，設(shè)，則由韋達定理得：所以|AB|=，同理可得|CD|=，又因為，所以有=+=，所以存在常數(shù)，使得恒成立?！纠?3】2010湖南、為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過km的區(qū)域；在直線的左側(cè)，

25、考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過km的區(qū)域（）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（）如圖6所示，設(shè)線段，是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.xy已融化區(qū)域冰川圖6.x=2解：（）設(shè)邊界曲線上點P的坐標(biāo)為.當(dāng)x2時，由題意知；當(dāng)x<2時，由知，點P在以為焦點，長軸長的橢圓上.此時短半軸長.因而其方程為.故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為C1：（x2）和C2：（x<2）.（II）設(shè)過點的直線為，過點的直線為，則直線的方程分別為，.設(shè)直

26、線l平行于直線，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得.由=0，解得m=8或m=8.從圖中可以看出，當(dāng)m=8時，直線l與C2的公共點到直線的距離最近，此時直線l的方程為，l與之間的距離為.又直線到C1和C2的最短距離，而>3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3.設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得，所以n4.故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為4年.【例14】2010福建、已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的

27、距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點為F（-2，0），從而有，解得，又，所以，故橢圓C的方程為。（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因為直線與橢圓有公共點，所以有，解得，另一方面，由直線OA與的距離4可得：，從而，由于，所以符合題意的直線不存在?！纠?5】2010浙江、已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點. （）當(dāng)直線過右焦點時，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點， 的

28、重心分別為.若原點在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍. 解： （）因為直線經(jīng)過，所以,得，又因為，所以，故直線的方程為。（）解：設(shè)。 由，消去得則由，知，且有。由于，故為的中點，由，可知設(shè)是的中點，則，由題意可知即即而 所以即又因為且所以。所以的取值范圍是。【突破訓(xùn)練】1、如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.（I）求曲線E的方程；（II）過點A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點H、Q，求|HQ|.【解】（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|.2分又動點N的軌跡是以點C（1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距

29、2c=2. 5分曲線E的方程為6分（2）直線的斜率直線的方程為8分由10分設(shè)，12分2、已知兩點，動點P在y軸上的射影為Q，（1）求動點P的軌跡E的方程； （2）設(shè)直線m過點A，斜率為k，當(dāng)時，曲線E的上支上有且僅有一點C到直線m的距離為，試求k的值及此時點C的坐標(biāo).解（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為，則點，因為，所以，即動點P的軌跡方程為：；（2）設(shè)直線m：，依題意，點C在與直線m平行，且與m之間的距離為的直線上，設(shè)此直線為，由，即，把代入，整理得：，則，即，由得：，此時，由方程組 .3、在直角坐標(biāo)系中，已知一個圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP，P為垂足.（1）求線

30、段PP中點M的軌跡C的方程；（2）過點Q(2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點，且以 為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標(biāo)原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明文由.【解】（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圓上的任意一點則則有得軌跡C的方程為 （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點. 所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，N點所在直線方程為 由 由= 即 即，四邊形OANB為平行四邊形 假設(shè)存在矩形OANB，

31、則，即， 即， 于是有 得 設(shè)， 即點N在直線上. 存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為AyxOBGFF1圖44、設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）【解析】（1）由得，當(dāng)?shù)?，G點的坐標(biāo)為，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋

32、物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理 以為直角的只有一個。若以為直角，設(shè)點坐標(biāo)為，、兩點的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。5、設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為.（）求橢圓的方程；（）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證： ; （）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求 的最小值解 ：（1）由題意得： 橢圓的方程為(2)由（1）知是橢圓的左焦點，離心率設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則作，與軸交于點H(如圖)點A在橢圓上 同理 。6、已知拋物線，點M(m,0)在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點，O為

33、坐標(biāo)原點.（）若m=1，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；（）若存在直線l使得成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍.則,所以 因為點A, B在拋物線C上, 所以, 由，消去得. -10分若此直線l使得成等比數(shù)列，則，即，所以，因為，所以，整理得 -12分因為存在直線l使得成等比數(shù)列，所以關(guān)于x1的方程有正根，因為方程的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個正根，所以，解得.故當(dāng)時，存在直線l使得成等比數(shù)列. -14分方法二：（）解：設(shè)使得成等比數(shù)列的直線AB方程為或,當(dāng)直線AB方程為時, ，因為成等比數(shù)列, 所以，即，解得m=4，或m=0(舍)當(dāng)直線AB方程為時，由，得，設(shè)A, B兩點坐

34、標(biāo)為, 則 由m>0, 得.因為成等比數(shù)列, 所以,所以， 因為A, B兩點在拋物線C上，所以,-11分由，消去, 得,因為存在直線l使得成等比數(shù)列，所以,綜上，當(dāng)時，存在直線l使得成等比數(shù)列. 7、2010天津、已知橢圓(0)的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。()求橢圓的方程：()設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點。已知點的坐標(biāo)為(-，0)，點(0，)在線段的垂直平分線上，且=4。求的值。解：()由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為()：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x

35、+2),于是A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上。 8、已知橢圓兩焦點分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點. （1）求P點坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；（3）求PAB面積的最大值。 解：（1）由題可得，設(shè)則，2分，點在曲線上，則，從而，得.則點P的坐標(biāo)為. 5分（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，

36、設(shè)PB的斜率為，6分則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，同理可得，則，. 9分所以：AB的斜率為定值. 10分（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得P到AB的距離為，12分則 。當(dāng)且僅當(dāng)取等號三角形PAB面積的最大值為。14分9、湖北、已知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1.()求曲線C的方程；()是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有連個交點A,B的任一直線，都有? 若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（）設(shè)是曲線C上任意一點，那么點滿足： （）化簡得 （）（）設(shè)過點（）的直線與曲線C上交點為設(shè)直線的方程為，由得，于是 又， ， 又，于是不等式等價于 由式，不等式等價于 對任意實數(shù)t，的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于，即由此可知，存在正數(shù)m，對于過點且與曲線C有兩個焦點A、B的任一直線，都有且m的取值范圍是。10、四川省文已知定點A(1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.解：(1)設(shè)P(x,y)，則化簡得x21(y0)4分(2)當(dāng)直線BC與x軸不垂直時，設(shè)BC的方程為yk(x2)(k0