高中數(shù)學 過圓錐曲線焦點弦端點切線的一個性質(zhì)論

1、. 過圓錐曲線焦點弦端點切線的一個性質(zhì) 經(jīng)過圓的直徑兩端點的切線是平行直線，這是一個眾所周知的結(jié)論，那么經(jīng)過圓錐曲線焦點弦兩端點的切線是否也有很優(yōu)美的結(jié)論呢？本人經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)經(jīng)過圓錐曲線焦點弦兩端點的切線確實有很好的性質(zhì)，下面就對標準位置的圓錐曲線過焦點弦兩端點切線性質(zhì)作一研究。 我們先來研究拋物線的性質(zhì)性質(zhì)一：過拋物線焦點的弦AB兩端點的切線的交點的軌跡是相應(yīng)的準線,且是定值證明：設(shè)拋物線的方程為（），過焦點的焦點弦為，設(shè)，則過兩點的切線的方程分別為ABPFNCD由得.M因為.所以.又因為.所以，即.當然證明，也可以用拋物線的光學性質(zhì)來證顯得更為簡潔.過作軸，過作X軸 由拋物線的光學性質(zhì)知：

2、 即 即利用平幾知識及拋物線定義容易得到.（證明略）拋物線有上述性質(zhì)，那么橢圓、雙曲線是否也有類似的性質(zhì)呢？經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)確實存在類似的性質(zhì)性質(zhì)二：過橢圓焦點的弦（不與長軸重合）兩端點的切線的交點的軌跡是焦點相應(yīng)的準線，且的取值范圍為(為橢圓的離心率) 性質(zhì)三：若過雙曲線焦點的直線與雙曲線交于兩點,過兩點的雙曲線的切線的交點的軌跡是焦點相應(yīng)的準線（除去該準線與漸近線的交點）,且當在同一支上時的取值范圍為；當在兩支上時的范圍是.(為雙曲線的離心率) 先證明性質(zhì)二： 設(shè)橢圓的右焦點為，焦點弦（不與長軸重合）兩端點的坐標為，則過兩點的切線的方程分別為： 由得 （*）由 ，三點共線 所以 代入（*）得

3、，即點的軌跡是焦點相應(yīng)的準線下面證明的取值范圍為：不失一般性設(shè)點在軸上方，點在軸下方,即則即為的角. ，的角的正切值為 =設(shè)所在直線為代入橢圓方程即得 化簡整理得 ， 又 因為在是增函數(shù)故 的取值范圍是即下面證明性質(zhì)三： 設(shè)雙曲線的右焦點為，過焦點的直線與雙曲線交于兩點的坐標為，過兩點的切線分別為，其方程分別為： APBF 由得 （*）由 ， 三點共線 ， 所以 代入（*）得（）即點的軌跡是焦點相應(yīng)的準線（除去準線與漸近線的交點）下面證明的取值范圍：(1)當在同一支上時，不失一般性設(shè)點在軸上方，點在軸下方，即,則即為到的角.如圖所示 ， 到的角的正切值為 = 設(shè)所在直線為, 因為在同一支上,所以 ，將代入雙曲線方程化簡整理得 ， 又 ， 因為在是增函數(shù)， 故 的取值范圍是即(2)當不在在同一支上時，不失一般性設(shè)點在右支、點在左支，根據(jù)對稱性先考慮的情況，則即為到的角，如圖所示： ，到的角的正切值為APBF =. 設(shè)所在直線為, 因為在兩支上且，所以 . 將代入雙曲線方程化簡整理得 , . 又 . . , . 因為在是增函數(shù)， 故 的取值范圍是根據(jù)對稱性知當時上述結(jié)論也成立所以當在兩支上時 的取值